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11.2 Musterlösungen Abituraufgaben 2012 11.2.2 Analysis Aufgabengruppe I Teil 2
d) Tangente bestimmen y = mx + t bei S(0|0, 2)
m = f ′ (0) =
18e0 = 18 = 18 = 0, 18
(e 0 +9) 2 (10) 2 100
y = 0, 18 · x + t Setze S y (0|0, 2) ein
0, 2 = 0, 18 · 0 + t → t = 0, 2 → y = 0, 18 · x + 0, 2
e) hier: ∫ 4
0
2e x
e x +9
hier: f ′ (x) = e x f(x) = e x + 9
Formel zur Integration:
∫ f ′ (x)
dx = ln |f(x)| + c
f(x)
die 2 lässt du als Faktor im Zähler einfach mit · stehen Diese Formel funktioniert,
wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht!
→ [2 · ln |e x + 9|] 4 0 = 2 · [ln |e 4 + 9| − ln |e 0 + 9|] = 2 · ln |e 4 + 9| − ln |10| ≈ 3, 7
f) Die Umkehrbarkeit hast du schon in 1c) bewiesen! Ist eine Funktion G f streng
monoton steigend(fallend), dann ist sie umkehrbar! In 1c) haben wir gezeigt,
dass G f streng monoton steigt!
→ G f ist umkehrbar! Wir nennen sie G f −1
Nun zur Definitionsmenge und Wertemenge von f −1 (x)
Es gilt immer D f = W f −1, also D f = R = W f −1 und W f = D f −1
W f =]0; 2[ siehe Grenzwerte aus 1b)
→ D f −1 =]0; 2[ d.h. der Graph von G f −1 ist nur von ]0; 2[ definiert, nimmt aber
als W f −1 = R alle y-Werte an.
Zeichnerisch bekommt man G f −1 aus G f , indem man G f an der Winkelhalbierenden
des I. und III. Quadranten spiegelt!
2. a) Wachstum in den ersten 2 Monaten
Start: f(0) = 2e0
e 2 +9 = 0, 2
nach 2 Monaten: f(2) = 2e2
e 2 +9 ≈ 0, 9
Wachstum f(2) − f(0) = 0, 9 − 0, 2 = 0, 7[m] ˆ=70[cm]
das Wachstum in den ersten zwei Monaten betrug also 70cm!
b) Höhe 1, 5 → f(x) = 1, 5
c○Alexander Pernsteiner
Abi – Crasher
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