Kapitel 3 Halbleiter

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3.1. HALBLEITEREIGENSCHAFTEN UND HALL–EFFEKT 71 Metall σ ne λe µe ΘD Ω −1 cm −1 10 22 cm −3 10 −6 cm cm 2 V −1 s −1 K Cu 6.5 · 10 5 8.5 4.3 47 310 Ag 6.7 · 10 5 5.8 5.7 72 220 Au 5.0 · 10 5 5.9 4.2 53 175 Na 2.3 · 10 5 2.5 3.6 57 160 Cs 5.3 · 10 5 0.9 1.0 37 40 Tabelle 3.1: Charakteristische Daten für einige Metalle: Leitfähigkeit σ für 0 ◦ C, Dichte ne und mittlere freie Weglänge λe der quasifreien Elektronen, Elektronenbeweglichkeit µe für 300 K und Debye-Temperatur ΘD. schwingendes Gitteratom für das Elektron bildet, proportional zu T , und da wstoß proportional zur Stoßfläche ist, folgt wstoß ∼ T . Insgesamt erwartet man also Experimentell wird jedoch beobachtet, daß 3 − σ ∼ T 2 (3.11) σ ∼ T −1 (3.12) und entsprechend ergibt sich experimentell für den spezifischen Widerstand ρ = 1 σ auch für den Ohm’schen Widerstand R: und damit R ∼ T (3.13) Die quantenmechanische Behandlung des Problems liefert die experimentell beobachtete Temperaturabhängigkeit: die Energien der Elektronen sind nicht Boltzmann-verteilt, sondern gehorchen der sogenannten Dirac-Verteilung mit der Folge, daß ¯v in Gl. 3.9 durch die sogenannte Fermigeschwindigkeit zu ersetzen ist, die nahezu temperaturunabhängig ist. Bei Leitern ist daher das Temperaturverhalten der Leitfähigkeit ausschließlich durch die freie Weglänge bestimmt, und damit wird σ ∼ 1 T . Quantitativ wird für hohe Temperaturen die Temperaturabhängigkeit von R parametrisiert durch R(T ) = RΘ · T ΘD (3.14) wobei die Debye-Temperatur ΘD das Material charakterisiert. Bei tiefen Temperaturen in der Nähe der Sprungtemperatur, die den Übergang zur Supraleitung angibt, wird R ∼ T 5 . Tabelle ΘD 3.1 zeigt charakteristische Daten für einige Metalle. 3.1.1.3 Isolatoren Isolatoren sind u.a. Festkörper mit großer Bandlücke (=Energiedifferenz) zwischen höchstem Valenzbandzustand und (bei tiefen Temperaturen) nur geringfügig besetztem Leitungsband. Es gibt praktisch keine quasifreien Elektronen. Für die thermische Anregung bei der Temperatur T gilt für die Übergangswahrscheinlichkeit w aus dem Valenz- in das Leitungsband ∆E − k w ∼ e B T (3.15)
72 KAPITEL 3. HALBLEITER Stoff σ Ω−1cm−1 Diamant 10−16 Bernstein < 10−20 Quarzglas < 10−19 Hartgummi 10−16 Tabelle 3.2: Leitfähigkeit einiger Isolierstoffe bei 300 K. und die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit von Isolatoren zeigt generell ein entsprechendes Verhalten: σ ∼ e − ∆W Iso k B T (3.16) wobei allerdings ∆WIso i.A. nicht mit einer Bandlücke identifizierbar ist. Die Tabelle 3.2 zeigt die Leitfähigkeit einiger Isolierstoffe. 3.1.1.4 Undotierte Halbleiter Reine, undotierte Halbleiter sind schlechte Leiter (z.B. Silizium). Sie weisen eine kleine Bandlücke zwischen voll besetztem Valenzband und nicht- (bzw. geringfügig durch thermische Anregung) besetztem Leitungsband auf. Bei der Anregung vom Valenz- in das Leitungsband entsteht im Valenzband eine Lücke (ein Defektelektron oder Loch), das als positiver Ladungsträger zur Leitfähigkeit beiträgt. Die Gl. 3.5 für die Leitfähigkeit ist demgemäß zu modifizieren: σ = qe · (nµn + pµp) (3.17) Dabei sind n und p die Elektronen- und Löcher-Konzentrationen und µn und µp die zugehörigen Beweglichkeiten. Im Gegensatz zu metallischen Leitern können die Ladungsträger nicht mehr als frei angesehen werden. Das Konzept der effektiven Masse erlaubt es, Ladungsträger- Konzentrationen sowie das Verhalten der Halbleiter bei Anwesenheit äußerer elektrischer und magnetischer Felder theoretisch zu behandeln. Die Neutralitätsbedingung für undotierte Halbleiter fordert n = p = ni (3.18) ni heißt Eigenleitungskonzentration oder Inversionsdichte. Theoretisch erhält man für ni den folgenden Ausdruck: wobei meff n , meff p ni ∼ (m eff n m eff p ) 3 4 T 3 ∆E − 2 2k e B T (3.19) die effektiven Massen der Elektronen und der Löcher, T die Temperatur und ∆E die Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband bedeuten. Die Kristalleigenschaften gehen über ∆E und über die effektiven Massen in diesen Ausdruck für die Eigenleitungskonzentration ein. Die Temperaturabhängigkeit hat also die Form ni = n◦T 3 ∆E − 2 2k e B T (3.20) Die Beweglichkeiten µn und µp sind auch für reine undotierte Halbleiter sehr schwer zu berechnen. Messungen zeigen, daß sie zum Teil drastisch voneinander verschieden sind, wobei i.A. µn > µp
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Seite 9 und 10: 76 KAPITEL 3. HALBLEITER Hierbei si
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