Anfänger Projekt Praktikum: Wasserrakete

Anfänger Projekt Praktikum:
Wasserrakete
Bergenthal, Benedikt
Strotmann, Simon
Becker, Pascal
Kühn, Jan
Mingels, Stephan
Hartbrich, Oskar
Tutor : Pauly, Christian
Sommersemester 2010

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
2 Aufbau 4
3 Theorie 7
3.1 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Raketengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Relevante Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Messverfahren 12
4.1 Aufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Messfehler / Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Auswertung 18
5.1 Exemplarische Diskussion einer Flugkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Auswertung der Messreihe mit variablem Druck . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Auswertung der Messreihe mit variabler Füllhöhe . . . . . . . . . . . . . 22
6 Simulation 26
6.1 Theoretische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3 Quelltext und Erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4 Flugkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.5 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.6 Ergebnisse & Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6.1 Abweichung unterhalb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.6.2 Abweichung oberhalb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.7 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Zusammenfassung 35
3

2 Aufbau
1 Einleitung
In diesem Versuch werden wir uns mit dem Bau einer Wasserrakete beschäftigen. Hierbei
ist es naheliegend zu diesem Zweck PET-Flaschen zu verwenden, welche neben einem
geringen Gewicht zusätzlich sehr stabil gegenüber hohen Drücken sind. Letzteres ist not-
wendig, da die Rakete über einen hohen Luftdruck in der Flasche betrieben wird. Dazu
wird sie beispielsweise über einen Kompressor befüllt. Anschließend kann die Luft über
die Flaschenmündung entweichen und treibt aufgrund der Impulserhaltung die Flasche
an. Da Luft aber eine zu geringe Masse besitzt um der Flasche einen genügend großen
Schub zu verleihen, wird die Flasche zusätzlich zu einem gewissen Anteil mit Wasser
befüllt. Dies erzeugt beim Austreten einen größeren Impuls.
Ziel des Versuchs ist es die Raketentrajektorien genauer zu untersuchen. Dabei können
verschiedene Parameter wie Luftdruck und Wasserbefüllung variiert werden. Diese Mes-
sungen sollen zum Schluss mit einer selbst programmierten numerischen Simulation für
die Flugbahn der Raketen verglichen werden.
2 Aufbau
Zur Realisierung der Wasserrakete (vgl. Abbildung 1) benutzen wir 1,5l-Einwegflaschen.
Im Verlauf der Arbeiten stellte sich heraus, dass diese für Drücke bis 8 bar oder höher
geeignet sind.
Die Düse der Rakete stellt dabei ein Kupplungsstecker für Gartenschläuche von Gar-
dena mit 1“ Gewindedurchmesser dar, welcher auf dem Flaschenhals befestigt wurde.
Die Öffnung des Steckers hat einen Durchmesser von 8 mm. Da zwar der Durchmes-
ser des Flaschenhalses mit dem Gewindedurchmesser des Steckers übereinstimmt, nicht
aber das Gewinde selber, wurde das Gewinde der PET-Flasche in einem Wasserbad er-
hitzt. Dadurch wurde der Kunststoff so weich, dass sich der Stecker aufschrauben ließ.
Anschließend wurde er zur besseren Abdichtung mit dem Klebstoff UHU PU MAX der
Firma Henkel mit der Flasche verklebt.
Somit lässt sich die Rakete in die zum Stecker gehörige Kupplung in der Startvorrichtung
setzen. Die Kupplung befindet sich an einem Ende eines 1/2“ Gartenschlauch, an des-
sen anderen Ende sich ein mit Schlauchschellen befestigtes Schrader-Ventil (Autoventil)
4

efindet. An das Ventil kann zur Luftbefüllung der Rakete ein Kompressor (Typ 36723
der Firma Filmer) angeschlossen werden. Laut Hersteller ist der Kompressor für Drücke
bis zu 12 bar ausgelegt. Da der Kompressor kein eigenes Netzteil besitzt, wurde er mit
einem 12 V Akku betrieben.
Zur Stabilisierung der Startvorrichtung ist das Schlauchende mit der Kupplung an einer
Spanplatte befestigt, welche über Schraubzwingen mit einem Geländer am Universitäts-
gebäude verbunden ist. Zusätzlich wurden zwei Führungsleinen parallel an das Gebäu-
de gespannt, an denen die Rakete über kurze PVC-Führungsröhren befestigt wurde.
Die Leinen haben einen Durchmesser von etwa 3 mm und wurden straff gespannt, um
Schwingungen und daraus resultierende Beeinflussungen der Rakete zu vermeiden. Beim
Aufbau musste darauf geachtet werden, dass die Führungsröhren möglichst reibungsarm
über die Leinen gleiten können. Durch dieses Leitsystem ist eine stabile Raketentrajekto-
rie gewährleistet. Die auftretenden Reibungseffekte lassen aber sich nur schwer abschät-
zen. Durch die Führungsleinen und die Höhe des Gebäudes ist die maximale Flughöhe
auf etwa 23 m begrenzt.
Abbildung 1: Wasserrakete in der Startvorrichtung. Zur besseren Sichtbarkeit wurde die
Flasche mit oranger Signalfarbe lackiert. Sie ist über Gewebeband mit den
Führungsröhrchen verbunden.
5

2 Aufbau
In diesem Aufbau wurden folgende Geräte/Materialien verwendet :
6
• 1,5l-PET-Einwegflaschen
• Gartenschlauchkupplung/-stecker (Gardena)
• 1/2“ Gartenschlauch
• Schrader-Ventil
• Schlauchschellen
• Gewebeband
• Orange Signalfarbe
• Filmer 36723 Kompressor 12 V/12 bar
• 12 V Akku
• Spanplatte
• Führungsleinen
• Digitale Videokamera Canon EOS 500d (zur Messung der Raketenflugbahn; siehe
Kapitel 4)

3 Theorie
3.1 Kräfte
Um den Flug einer Wasserrakete theoretisch zumindest ansatzweise zu diskutieren, sollen
zunächst die auf eine Wasserrakete wirkenden Kräfte erläutert werden. Wir betrachten
die Rakete auf einer eindimensionalen Flugbahn. Das Koordinatensystem sei so gewählt,
dass der Nullpunkt im Startpunkt der Rakete liegt und nach oben hin positiv gezählt
wird.
Die Vortriebskraft wird durch den schnellen Ausstoß von Wasser aus der Düse erzeugt,
welches durch komprimierte Luft im Restteil der Flasche beschleunigt wird. Aus der
Impulserhaltung folgt dann mit v(t) der aktuellen Geschwindigkeit der Rakete inkl.
enthaltenem Restwasser, vW asser(t) der Ausstoßgeschwindigkeit des Wassers, m(t) der
Gesamtmasse der Rakete inkl. Wasser, raus(t) = dm
dt
|p1| = |p2|
der aktuellen Ausstoßrate.
Der Gesamtimpuls der Rakete ist die Summe (bzw. im kontinuierlichen Fall das Integral)
über alle infinitesimalen ausgestoßenen Wassermengen. Der beim direkten Differenzieren
des Impulses erzeugte Term dvm
taucht garnicht erst auf, da das ausgestoßene Wasser
dt
keine Einheit bildet und damit m nur infinitesimal klein bleibt.
� t
p1 =
0
dm(τ)
dτ
· vW asser(τ)dτ
⇒ Faus = dp1
dt = raus(t) · vwasser(t)
Jegliches ausströmende Wasser wird jedoch von der Gesamtmasse der Rakete abgezogen,
daraus ergibt sich
m(t) = m0 −
� t
0
raus(t)dt.
Insbesondere für den Flug einer Rakete ohne Reibungskräfte bedeutet dies:
v(τ) =
� τ
0
vwasser(t) · raus(t)
m0 − � τ dt
0 raus(t)dt
7

3 Theorie
Dies ist schon für den einfachen Fall ohne Reibung keine allgemein lösbare Differential-
gleichung mehr.
Gegen diese Bewegung nach oben wirkt Reibung sowohl an der Umgebungsluft als auch
am Seil. Luftreibung tritt sowohl laminar als auch nichtlaminar auf.
Flam ∝ −v
Fnlam ∝ −v 2 )
Bei den von uns erreichten Geschwindigkeiten ist die Luftreibung als turbulent anzuneh-
men, der laminare Reibungsterm wird vernachlässigbar. Für eine normale Wasserflasche
mit 8, 5cm Durchmesser, cW = 0, 4 ergibt sich bei einer typischen Geschwindigkeit von
15 m
s
eine gegen die Flugrichtung wirkende Kraft von
Fdrag = cW · A · ρLuft
2
· v 2 = 0, 31N.
Über die Reibung am Seil ist nichts genaues bekannt. Es tritt in jedem Fall Gleitreibung
der Form
Fgleit = µg · FN
auf. Die Normalkraft FN wird von der Rakete durch Verdrehung gegen die Flugrichtung,
also aus der zur eigentlichen Sollrichtung rechtwinkligen Geschwindigkeitskomponente
erzeugt. Höherer Betrag der Geschwindigkeit bedingt also wahrscheinlich eine höhere
Normalkraft auf das Führungsseil. Denkbar ist auch, dass mit höheren Geschwindigkeit
die Chance auf ein Verdrehen der Flasche überproportional steigt und damit die Seil-
reibung von einer höheren Potenz der Geschwindigkeit abhängt. Es gibt also in jedem
Fall eine Geschwindigkeitsabhängigkeit. Sollte diese in der Praxis linear oder quadratisch
ausfallen liesse sie sich in die Lufteibungskoeffizienten integrieren.
Natürlich wirkt auch die Gravitation auf die Flasche. Da die Gesamtmasse der Flasche
jedoch ständig sinkt mit zeitlich verändertem Betrag, ist m = m(t) und es gilt:
8
Fg(t) = −m(t) · g

3.2 Raketengleichung
3.2 Raketengleichung
Vereinfacht man das oben verwendete Modell weit genug (und lässt einige für die Was-
serrakete sehr wichtige Rahmenbedingungen außer acht) ergibt sich die sogenannte „Ra-
ketengleichung“. Diese wurde ursprünglich aufgestellt um die Trajektorie für z.B. Fest-
körperraketen herzuleiten. Dabei wird eine Treibstufe konstanter Treibkraft (und damit
Ausstoßgeschwindigkeit) angenommen, die Masse (als Treibstoff) über einen gewissen
Zeitraum beschleunigt und ausstößt. Gerade die konstante Ausstoßgeschwindigkeit ist
bei einer Wasserrakete nicht gegeben. Angenommen ein Kraftstoß dp wirkt in einem
infinitesimal kurzen Zeitraum auf die Rakete, so ergibt sich wie oben aus der Impulser-
haltung
daraus ergibt sich sofort
dp = −dm · vaus.
dv = −vaus · dm
m .
Dies ist bereits eine separierte Differentialgleichung. Integration und Einsetzen der Start-
bedingung m = m0 = 0 (zu Beginn ist noch keine Masse m ausgestoßen worden) ergibt
die Lösung
Die Ausstoßrate ist konstant r:
v(m) = vaus · ln
� �
m0
.
m
m(t) = −rt
� �
rt
⇒ v(t) = −vaus · ln
Die Geschwindigkeit einer solchen Rakete ist also theoretisch unbeschränkt, insbesondere
nicht durch vaus.
3.3 Relevante Größen
Wie man aus den vorher gezeigten Formeln erkennen kann, ist die Beschleunigung der
Rakete stärkstens von der Geschwindigkeit und Menge des ausgestoßenen Wassers ab-
hängig. Es muss überlegt werden welche der eventuell einstellbaren Größen einer Rakete
wieviel Effekt auf die Flugbahn und erreichbare Maximalhöhe haben kann.
m0
9

3 Theorie
Hauptfaktor dafür ist mit Sicherheit der Luftdruck innerhalb der Flasche. Die kompri-
mierte Luft ist der Energieträger der Wasserrakete. Aus der kinetischen Gastheorie ist
bekannt, dass die in einem idealen, zweiatomigen (Luft besteht mit N2 und O2 größten-
teils aus zweiatomigen Gasen, der zusätzliche Freiheitsgrad der Vibration ist bei Raum-
temperatur nicht relevant) Gas gespeicherte Energie
E = 5
2 NkBT
entspricht, damit also linear in der Anzahl der Teilchen und damit im Druck ist. Ma-
ximale Leistungssteigerungen lassen sich also vermutlich (unsere Messungen bestätigen
dies) durch Erhöhung des Fülldrucks erreichen.
Die für Beschleunigung benutzbare Energie entspricht der Differenz aus der inneren Ener-
gie der Luft vor dem Start und der inneren Energie einer bei Normaldruck luftgefüllten
Flasche.
Ein = 5
2 kBT (Np − N0)
Um eine obere Abschätzung für die erreichbare Höhe einer solchen Rakete anzugeben,
gehen wir von einer mit 6bar komplett luftgefüllten Flasche von 1,5l Volumen und 80g
Gewicht aus. Unter Vernachlässigung von Reibung und dem variablen Gewicht einer
solchen Flasche auf dem Flugweg soll die gesamte innere Energie in potentielle Energie
der Gravitation umgewandelt werden.
⇒ h =
Ein = 2022J = mgh
5
2kBT (Np − N0)
mg
= 2577m.
Genauso kann man eine obere Schranke für die Maximalgeschwindigkeit angeben
⇒ v =
Ein = 1
2 mv2
� 5
2 kBT (Np − N0)
2m
= 112 m
s .
Diese Werte sind natürlich in der Realität nicht annähernd zu erreichen. Praktisch führt
die Rakete zumindest während des Starts ein erhebliches ihres Eigengewichts in Wasser
mit. Durch das mitgeführte Wasser kann die Rakete auch nicht 1,5l komprimierte Luft
10

3.3 Relevante Größen
enthalten. Zusätzlich führen Luftreibung und Strömungsverluste zu einem verringerten
Wirkungsgrad.
Ebenso wichtig für das Erreichen einer optimalen Flughöhe ist das richtige Mischungsver-
hältnis von Luft zu Wasser. Es ist leicht einzusehen, dass in den Grenzfällen VLuft
VW asser
und VLuft
VW asser
>> 1

4 Messverfahren
4 Messverfahren
4.1 Aufnahme
Im Folgenden möchten wir die Raketenflugbahn in Ab-
hängigkeit von der Befüllung und des Drucks messen.
Diese Messungen basieren auf der Aufnahme mit ei-
ner digitalen Videokamera. Die Kamera (Canon EOS
500d) wurde auf einem Stativ befestigt und so positio-
niert, dass die Kamera die gesamte erwartete Flughöhe
von maximal 23 m erfassen konnte (siehe Abbildung
2). Der Einsatz eines Stativs ermöglichte eine unverwa-
ckelte, reproduzierbare Aufnahmesituation.
Der gewählte Aufnahmemodus war 720p30. Dies be-
deutet, dass wir 30 Vollbilder mit einer Auflösung von
1280x720 Pixeln pro Sekunde erhalten. Schätzt man
die gesamte Höhe des Bildausschnitts auf 25 m ab, so
erhält man die ungefähre Relation von 50 Pixel pro Me-
ter bzw. 2 cm pro Pixel. Das Auflösungsvermögen von
2 cm erscheint uns hinreichend genau. Auch die zeitli-
che Auflösung von 1
30
s war akzeptabel.
Jedoch war es nicht direkt möglich aus diesen Informa-
tionen die genaue Höhe der Wasserflasche abzuleiten,
Abbildung 2: Blickwinkel der
Kamera
denn das verwendete Objektiv an der Kamera wies perspektivische Verzerrungen vor. So
ist das Bildmaterial besonders im oberen Bereich im Vergleich zur Bildmitte gestaucht.
Dieses Problem erfordert eine Eichung, welche im späteren Kapitel erläutert wird. Die
erzeugten Filmdateien wurde am Computer in Einzelbilder zerlegt, sinnvoll benannt und
gespeichert. Uns lagen nun Bilderserien im Abstand von ungefähr 1
30
12
s vor.

4.2 Eichung
4.2 Eichung
Wie bereits erwähnt, ist das Bildmaterial verzerrt bzw. gestaucht. Eine Möglichkeit
wäre diesen Abbildungsfehler genau zu untersuchen und mittels Bildbearbeitung eine
Korrektur der Bilder durchzuführen. Die erschien uns in Anbetracht der einfachen nach-
folgenden Alternative als nicht zweckmäßig bzw. zu aufwendig. Stattdessen ließen wir
von der obersten Ebene einen Faden hinab und befestigten diesen an der Flasche. Von
der Startposition aus zogen wir nun die Flasche stückweise jeweils um einen Meter nach
oben und schossen ein Foto.
Das Abmessen der gezogenen Fadenlänge geschah mit einem Gliedermaßstab. Den Feh-
ler beim Ablesen und dem Hochziehen schätzten wir auf 0,5 cm. Im Vergleich zu der
möglichen Auflösung von 2 cm mittels der Kamera, kann dieser Fehler vernachlässigt
werden.
Aus den aufgenommenen Fotos wurde ein Bild erstellt, welche alle Positionen der Flasche
beinhaltet. Die Abbildung 3 zeigt zwei Ausschnitte der Eichung, einmal das untere Ende
und einmal das obere Ende. Im direkten Vergleich sieht man die oben beschriebene
Verzerrung deutlich. Daher war eine solche Eichung notwendig.
13

4 Messverfahren
(a) unteres Ende (b) oberes Ende
Abbildung 3: Ausschnitte aus der Eichung. Die Zahlen bezeichnen die jeweils die Höhe
der Flasche in Metern.
14

4.3 Auswertung
4.3 Auswertung
Nach dem Zerlegen der Videodateien und Erstellung einer Eichung war es uns möglich
die Flugkurve der Rakete zu ermitteln. Dazu wurden die Bilddateien einzeln ausgewer-
tet, indem die Position der Rakete mit den Eichungspunkten vergleichen wurde. Somit
erreichten wie eine Genauigkeit von ±0, 1 Meter. In der Abbildung 4 ist eine solche
Flugkurve aufgezeichnet.
Abbildung 4: Beispiel einer Auswertung für 3 Bar
15

4 Messverfahren
4.4 Messfehler / Probleme
Das größte Problem bei der Messung mit einer Videokamera, ist die Bewegungsunschär-
fe. Die Abbildung 5 soll dieses Problem verdeutlichen. Bewegungsunschärfe entsteht,
wenn die Belichtungszeit in Relation zu Geschwindigkeit des Objektes zu lang ist. D.h.
das Objekt bewegt sich während der Belichtung signifikant weiter. Leider war die Be-
lichtungszeit im Videomodus an der genutzten Kamera nicht einstellbar. Eine geringe
Bewegunsunschärfe wie in der Abbildung 5(a) ist unerheblich. Ist sie jedoch so stark
vorhanden, wie in Abbildung 5(b), so ist die Auswertung schwierig. Es wurde versucht
das obere und das untere Ende der Flasche zu erkennen und dann die gemittelte Position
zu bestimmen.
(a) langsam (b) schnell
Abbildung 5: Beispiele für die Bewegungsunschärfe. Links ist auf den beiden Bildern
jeweils die Flasche in der zu messenden Höhe zu sehen; rechts sieht man
die Eichung.
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4.4 Messfehler / Probleme
Eine weitere Fehlerquelle ist der Videostandard 720p30. Die Vorgabe sind zwar 30 Bil-
der pro Sekunde, wie genau dies aber von der Kamera eingehalten wird, ist nicht im
Benutzerhandbuch notiert. Wir schätzen diesen Fehler großzügig mit 10 % ab.
Die Kamera mitsamt Stativ wurde zwischen den einzelnen Versuchsreihen abgebaut.
Dadurch resultiert eine gewisse Abweichung in der Position der Kamera. Diese beläuft
sich auf wenige Zentimeter und im Vergleich zu dem Bildausschnitt von ungefähr 25 Me-
ter, ist auch dies vernachlässigbar. Die Auswertung der Versuchsreihen mit der Eichung
wurde dadurch nicht gestört.
17

5 Auswertung
5 Auswertung
Nun werden wir die Raketenflugbahn in Abhängigkeit der Befüllung und des Drucks
im Inneren der Rakete untersuchen. Dabei benutzen wir das in Kapitel 4 beschriebene
Messverfahren.
5.1 Exemplarische Diskussion einer Flugkurve
Wir wollen exemplarisch an einer geeigneten Messung den Verlauf der Flugkurve, der
dabei auftretenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen untersuchen. Im nachfol-
gendem Diagramm ist die Flugkurve schwarz, die Geschwindigkeit rot und die Beschleu-
nigung blau gezeichnet. Die Graphen für die Geschwindigkeit und der Beschleunigung
ergeben sich aus Ableitungen einer stark geglätteten Funktion der Flugkurve.
Abbildung 6: Füllhöhe: 1,2 l bei 4 bar
Die Senkrechte markiert die Zeit zu der der Ausfluss des Wasser abgeschlossen ist. Den
Zeitpunkt haben wir aus den Einzelbildern der Aufnahmen entnommen.
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5.1 Exemplarische Diskussion einer Flugkurve
In der Startphase verläuft die Flugbahn zunächst flach, wird aber sehr bald steiler. Das
liegt daran, dass Wasser ausgestoßen wird, bis zu dem Zeitpunkt, welcher mit der Senk-
rechten markiert ist. Dadurch wird die Wasserrakete leichter und steigt so schneller. An
der markierten Stelle ist das gesamte Wasser ausgestoßen, sodass die Flugkurve dort
einen Wendepunkt hat. Ab diesem Punkt fliegt die Rakete aufgrund von Trägheit wei-
ter, wird dabei aber von der Gravitation abgebremst. In der Flugkurve beobachtet man
diesen Umstand dadurch, dass die Flugkurve flacher wird, bis sie ihren Scheitelpunkt,
bzw. maximale Höhe erreicht hat. Ab dieser Stelle fällt die leere Flasche nahezu frei, nur
gebremst durch Reibungen.
Bei der Geschwindigkeits- und Beschleunigungskurve beobachten wir an markanten Stel-
len Übereinstimmungen:
Das Maximum der Geschwindigkeit befindet sich ungefähr an der markierten Stelle, d.h.
nach dem gesamten Ausfluss des Wasser wird die Rakete nicht mehr schneller. Dement-
sprechend ist daraufhin die Beschleunigung im Allgemeinen a < 0. Die Geschwindigkeit
ist ab ihrem Maximum nahezu linear, Abweichungen erklären sich wiederum durch Rei-
bungen.
Für die Beschleunigung hätten wir erwartet, dass sie ab dieser Stelle konstant bei einem
Wert von a ≈ g liegt. Entgegen dieser Erwartung schwanken die Werte für die Beschleu-
nigung stark. Ursache hierfür können Ungenauigkeiten beim Ablesen der Höhe, welche
sich durch die Ableitungen extrem fortpflanzen, sodass sie trotz der starken Glättung
für Abweichungen vom erwarteten Ergebnis sorgen.
Die große Abweichungen am Ende der Graphen für Geschwindigkeit und Beschleunigung
sind dadurch zu erklären, dass wir zum Abbremsen der Flasche die Führungsleinen zu-
sammendrückt haben, was zu einer erhöhten Reibung geführt hat.
Um generell die Reibungseffekte zu untersuchen, stellen wir einen Vergleich zwischen der
Flugbahn nach dem Scheitelpunkt und einem freien Fall (Parabelflug) an:
19

5 Auswertung
Abbildung 7: Füllhöhe: 1,2 l bei 4 bar
Vergleicht man die Flugkurve mit der Parabel, so stimmen beide bei niedrigen Geschwin-
digkeiten, d.h. nahe des Scheitelpunkts, einigermaßen überein. Wird die leere Flasche
durch den Fall schneller, so treten Reibungseffekte in den Vordergrund, sodass die Abwei-
chung zum Parabelflug immer größer wird. Dies lässt vermuten, dass ein Reibungsterm
(die Luftreibung) proportional zur Geschwindigkeit existiert. Ein weiterer konstanter
Reibungsterm (Reibung an den Führungsleinen) ist mit dieser Abweichung vereinbar.
Wir werten lediglich eine Messung ausführlich aus, da durch die Glättung viele Infor-
mationen verloren gehen und dennoch durch große Schwankungen kein gut verwertbares
Ergebnis erzielen kann, betrachten wir bei der Auswertung der Messreihen nur die Flug-
bahn, sind uns jedoch bewusst, dass oben beschriebene Phänomene analog gelten.
5.2 Auswertung der Messreihe mit variablem Druck
Als erstes haben wir den Einfluss des Drucks betrachtet. Die Wasserfüllmenge in der
Flasche wurde möglichst genau bei m = 1, 2l festgesetzt.
20

5.2 Auswertung der Messreihe mit variablem Druck
Aus den Daten, welche wir aus den einzelnen Frames der Filmsequenzen entnehmen,
können wir nun Messreihen mit variablem Druck erstellen(Abbildung 8).
Abbildung 8: Messreihe mit variablem Druck.
Es wurden sieben Flüge mit Drücken im Bereich von p = (3, 4, 5, 6) bar ausgewertet.
Was zunächst auffällt ist, dass die maximale Höhe des Fluges von dem Druck abhängt.
Je höher der Druck gewählt ist, desto höher fliegt die Rakete.
Das Maximum der Flughöhe ist bei Drücken p ≥ 4 bar ablesbar. In den anderen Versu-
chen mit höheren Drücken erzielte die Wasserrakete eine so große Geschwindigkeit, dass
sie in der Abbremsvorrichtung am Ende des Leitsystems stecken blieb. Dies beobach-
teten wir insbesondere in der Messung der Flugkurve unter Verwendung eines Drucks
von p = 6 bar. Bei den Messungen, in den der Druck ausreichend gering gewählt wurde,
verläuft die Flugbahn nach Erreichen des Maximums gemäß der Erwartung abwärts.
Die Messungen sind insgesamt innerhalb der systematischen Fehler wie in erster Li-
nie eine ungenaue Füllhöhe, aber auch Reibung, Wind und anderer Faktoren, die un-
21

5 Auswertung
sere Messungen verfälschen, reproduzierbar. Dies zeigen zumindest die Messungen mit
gleichem Druck, denn grob betrachtet divergieren die jeweiligen zueinander gehörenden
Kurven erst ab dem Wendepunkt, da ab diesem Punkt lediglich Reibungseffekte eine
Rolle spielen.
Setzt man sich also das Ziel, eine Wasserrakete zu bauen, die eine möglichst hohe Reich-
weite erlangt, so folgt aus diesen Messungen ganz klar:
Je mehr Druck verwendet wird, desto mehr kinetische Energie bekommt die Rakete - und
hat demnach eine höhere Reichweite. Dies beobachtet man insbesondere bei dem Flug
mit p = 6 bar. Die Flugkurve befindet sich innerhalb unseres gesamten Messbereichs (das
23 m lange Leitsystem) noch in der Beschleunigungsphase. Die Rakete erreicht hierbei
eine geschätzte Geschwindigkeit von v ≈ 30 m,
welche wir anhand der im Messbereich
s
liegenden Flugbahn bestimmen.
5.3 Auswertung der Messreihe mit variabler Füllhöhe
Mit dieser Messreihe wollen wir den Einfluss der Füllhöhe des Wassers innerhalb der Fla-
sche auf die Flughöhe untersuchen. Daraus möchten wir nach Möglichkeit eine optimale
Füllhöhe ermitteln, mit der die Rakete die größte Höhe bei gegebenem Druck erreichen
würde.
Dazu haben wir die Flasche mit unterschiedlichen Wassermengen befüllt und die daraus
resultierenden Flugkurven wie oben beschrieben aufgenommen. Um aus den Füllhöhen
schließlich auf die Menge des Wassers schließen zu können, die sich der Flasche befan-
den, haben wir nach dem Montieren Markierungen auf die Flasche gezeichnet. Anhand
dieser Markierungen konnten wir anschließend die Füllhöhe bestimmen und die Men-
ge des Wassers durch Wiegen der bis zur Markierung gefüllten Flasche abzüglich ihres
Leergewichts bestimmen.
Die Versuchsreihe wurde jeweils mit 3 bar gestartet. Dieser Druck zeigte sich als geeignet,
da er auch bei großen Füllmengen, also hohem Gewicht der Flasche, noch kleine, aber
auswertbare Flugkurven erzeugte. Weiterhin prallte die Flasche bei Flügen mit weniger
Wasser erst spät gegen das Ende der uns zur Verfügung stehenden Flugbahn.
Die Flüge wurden dabei mit den Füllhöhen zwischen 0, 193 l und 1, 5 l durchgeführt.
Dabei ergeben sich die folgenden Flugbahnen:
22

5.3 Auswertung der Messreihe mit variabler Füllhöhe
Abbildung 9: Messreihe mit unterschiedlichen Füllhöhen
Man sieht an den Graphen der Messreihe, dass die Flüge in einem gewissen Rahmen
reproduzierbar sind. Besonders bei sehr großen oder sehr kleinen Füllmengen ist die
Übereinstimmung der Kurven für Flüge mit gleichen Füllhöhen in weiten Teilen gegeben.
Abweichungen sind auch hier durch unterschiedliche Reibungen der Führungsröhrchen
an den Leinen und andere äußere Einflüsse wie Wind etc. zu erklären.
An der Messreihe mit einer Füllhöhe von 0, 522 l sieht man, dass der Flugverlauf in der
oberen Hälfte der Flugbahn stark gedämpft verläuft. Dies ist dadurch zu erklären, dass
die Führungsleinen während dieses Flugs nicht vollständig parallel ausgerichtet waren,
sondern sich nach oben hin annäherten. Daraus resultierte eine höhere Reibung an den
Leinen und dadurch die stark gekrümmte Flugbahn. Diese Messung ist daher für die
Auswertung nicht mehr relevant und hier nur aufgeführt, um den Einfluss der Reibung
noch einmal zu verdeutlichen.
Davon abgesehen, ist erkennbar, dass bei Messungen mit einer großen Wassermenge die
Flugbahn recht flach verläuft. Bei einer nahezu voll gefüllten Flasche (≈ 1, 5 l) beträgt
die maximale Flughöhe nur knapp 1 l. Dies ist dadurch zu erklären, dass sich Wasser
im Gegensatz zu Luft inkompressibel ist. Bringt man also mit dem Kompressor Druck
23

5 Auswertung
auf die volle Flasche, so wird die geringe Menge an Restluft innerhalb des Systems ent-
sprechend komprimiert, nicht jedoch das Wasser. Da aber nur wenig Luft in der Flasche
vorhanden ist, entweicht der Druck aus der Flasche schnell, ohne dabei große Mengen an
Wasser auszustoßen. Dadurch wird nur wenig Rückstoß erzeugt und die Flasche steigt
nur minimal.
Startet man die Rakete mit einer geringeren Wassermenge, so ist innerhalb der Rakete
mehr Luft, die komprimiert werden und dadurch beim Expandieren wiederum Wasser
aus der Flasche drücken kann. Dadurch erhöht sich die Energie, die durch das Aufbauen
des Drucks in der Luft gespeichert wird und damit auch die Steighöhe, die mit der ge-
speicherten Energie überwunden werden kann. So ist zu erklären, dass die Graphen für
Füllmengen von 1, 45 l und 1, 01 l ihr Maximum deutlich höher haben, teilweise sogar
außerhalb des von uns messbaren Bereichs.
Füllt man noch weniger Wasser in die Flasche, so wird das Maximum ihrer Flugkurve
ab einer gewissen Füllmenge nicht weiter steigen, sondern eher sinken. Dies liegt daran,
dass die Rakete schon zu früh keinen Treibstoff mehr hat und der Druck sich durch
Ausstoß von Luft entlädt, welche aufgrund der geringen Masse keinen großen Rückstoß
erzielt.
Als Optimum ist daher ein Kompromiss zu finden, sodass die Rakete relativ wenig Was-
ser beinhaltet, um sie möglichst leicht zu halten und mit dem gegebenen Rückstoß eine
möglichst große Beschleunigung erfährt, und ausreichend viel Wasser, um lange genug
Wasser in der Rakete zu haben, welches ausgestoßen werden kann und damit für Antrieb
sorgt.
Innerhalb der von uns durchgeführten Messungen zeigt sich eine Füllmenge von 0, 76 l
Wasser in der Flasche als die Messung mit der größten Flughöhe. Zwar hat die Messung
mit 0, 193 l Wasser einen steileren Anstieg, allerdings ist am Ende der Kurven bereits eine
Abflachung zu erkennen, welche darauf schließen lässt, dass die Flasche schon dort durch
Gravitation und Reibung stärker gebremst wird, als dies bei Messungen mit 0, 5762 l
Wasser der Fall ist. Es ist also zu erwarten, dass die Flasche mit größerer Füllmenge
höher fliegen wird, da ihre Geschwindigkeit am Ende unserer Messstrecke noch größer
ist.
Innerhalb der von uns durchgeführten Messreihen mit einem Druck von 3 bar erweist
sich also ein Verhältnis von ungefähr 1:1 als optimal. Es ist jedoch unsicher, ob sich bei
einer korrekt durchgeführten Messung mit einer Wassermenge von ca. 0, 5 l nicht eine
größere Flughöhe hätte erreichen lassen, was das Verhältnis einer optimalen Füllung auf
24

2:1 verändern würde.
5.3 Auswertung der Messreihe mit variabler Füllhöhe
Dabei ist generell zu sagen, dass eine Bestimmung der optimalen Füllhöhe eine Messrei-
he mit weitaus kleineren Schritten bei der Variation der Füllhöhe erfordern würde, was
uns aus Zeitgründen nicht möglich war. Ebenso können wir aus der von uns durchge-
führten Messreihen nicht aussagen, ob das optimale Verhältnis eine Abhängigkeit vom
verwendeten Druck aufweist, was uns nicht unwahrscheinlich erscheint.
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6 Simulation
6 Simulation
Abschließend haben wir zusätzlich eine Simulation für die Flugbahn der Rakete ge-
schrieben. Ziel dieser Simulation ist eine möglichst exakte Vorhersage der Flugbahn bei
verschiedenen Raketenkonfigurationen.
6.1 Theoretische Berechnung
Die Simulation erfolgte in kleinen Schritten der Zeit δt, welche normalerweise auf 0,01
s gesetzt wurde. Danach wird folgender Ablauf solange wiederholt, bis die Rakete eine
negative Höhe hat und somit wieder am Boden angekommen ist. Somit erhält man eine
numerische Simulation des Flugs der Rakete. Hierbei werden der Luftwiderstand, die
Wassermenge und der innen Druck der Flasche berücksichtig. Nicht berücksichtigt wird
die Reibung am Draht, da die Flasche nach jedem Flug neu befestigt wird und dieser
Faktor dadurch zu zufällig wird. Hier nun eine Beschreibung des Ablaufs der Simulation.
26
1. Ausgestoßenes Wasservolumen mit Hilfe des Gesetzes von Hagen-Poiseuille berech-
nen
dV (p)
dt
= pπ( dR
2 )4
8ηlR
Hierbei sind dR und lR der Durchmesser bzw. die Länge der Düse und η die Vis-
kosität von Wasser (ηH2O(20 ◦ C) ≈ 1 mPa s ).
2. Höhe der ausgestoßenen Wassersäule berechnen
3. Ausstoßgeschwindigkeit berechnen
hW =
V (p)
πd 2 R
4
v = hW
δt
(1)
(2)
(3)

4. Ausgestoßene Masse berechnen
6.1 Theoretische Berechnung
m = V ρ (4)
5. Masse des Wassers in der Flasche um die ausgestoßene Masse verringern
6. Impuls des ausgestoßenen Wassers berechnen
7. Impulserhaltung anwenden
pW = mv (5)
vsys = pW
msys
8. Gravitation berücksichtigen und geänderte Geschwindigkeit berechnen
9. Luftwiderstand berücksichtigen und subtrhieren
(6)
vsys = vsys − 9, 81 m
δt (7)
s2 vsys = vsys − ρLuftv 2 sysAcw
msys
δt (8)
Hierbei ist A die Grundfläche der Flasche und cw der cW -Wert der Flasche. 1
10. Neue Höhe bestimmen
1 Hierzu mehr im Kapitel zur Abweichung
h = vsysδt (9)
27

6 Simulation
6.2 Simulation
6.3 Quelltext und Erklärung
In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Teile des Programmquelltextes besprochen
und erklärt 2 . Triviale Abschnitte, so z.B. Ausgabeanweisungen, werden ausgelassen.
Das ausgestoßene Wasservolumen wird über die selbstdefinierte Methode "flow" berech-
net
double flow ( double pressure , double pipe_diam , double pipe_length ){
double r e s u l t = ( p r e s s u r e ∗PI∗pipe_diam∗pipe_diam∗pipe_diam∗pipe_diam )
return r e s u l t ;
}
/(8 ∗ pipe_length )∗ eta ;
Somit erfolgen die Schritte 1-3 des Ablauf mit folgendem Code:
i f ( massofwater > 0 ){
} else {
}
vol_exa = flow ( i n n e r p r e s s u r e , pipe_diameter , pipe_length )
∗ time_slot ∗ rho ;
height_exa = vol_exa /
( PI ∗( pipe_diameter ∗ pipe_diameter ) / 4 ) ;
velo_exa = height_exa / time_slot ;
velo_exa= 0 ;
Die Bedingung ist erforderlich, da nur solange Wasser ausgestoßen werden kann, wie
auch Wasser in der Flasche ist. Danach folgen die Schritte 4-6, die wieder eine Bedingung
erfordern, welche die Ausführung unterbindet, wenn kein Wasser mehr vorhanden ist.
// c o n s e r v a t i o n o f momentum #1
mass_exa = vol_exa ∗ rho ;
2 Der gesamte Quelltext befindet im Anhang
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massofwater −= mass_exa ;
mom_exa = velo_exa ∗ mass_exa ;
// r e c a l c u l a t e mass
i f ( massofwater > 0 ) {
} else {
}
mass_system = massofwater+mass_bottle ;
mass_system = mass_bottle ;
6.3 Quelltext und Erklärung
Der letzte wichtige Schritt in der Simulation ist die Anwendung der Impulserhaltung
auf das gesamte System, dessen Masse in der Bedingung des letzten Anweisungsblocks
folgt. Außerdem bricht der Programm ab sobald die Höhe kleiner als -1 ist. Dies ist
erforderlich, da die Schleife, in der das Programm läuft, keine Abbruchbedingungen hat
( for(;;) ).
// c o n s e r v a t i o n o f momentum #2
velo_system += (mom_exa /mass_system ) ;
// g r a v i t a i o n
velo_system += −9.81 ∗ time_slot ;
// aerodynamic drag
velo_system += −((0.5∗ rho_air ∗ velo_system ∗ velo_system
∗area_cap∗ c f )/ mass_system )∗ time_slot ;
// add the new h e i g h t
height += velo_system ∗ time_slot ;
// r e c a l c p r e s s u r e
i n n e r p r e s s u r e −= i n n e r p r e s s u r e ∗
( volume_bottle /( volume_bottle + ( massofwater ∗ 0 , 0 0 1 ) ) ) ;
// break i f we ’ re s t u c k in the ground
i f ( height < −1 ) {
}
break ;
Die hierauf folgenden Anweisungen beinhalten nur noch Ausgaben und Aufräumen und
werden deshalb hier nicht mehr aufgeführt.
29

6 Simulation
6.4 Flugkurve
Abbildung 10: Optimierte Flasche
Phase 1 ist die Beschleunigungsphase in der das Wasseraustritt, wie auch bei der realen
Falsche. Hierbei geibt es nur teilweise eine Abweichung in der die Simulation langsamer
beschleunigt, als die reale Flasche. Mehr hierzu in Kapitel zur Abweichung.
Phase 2 ist die Flugphase in der die Flasche nicht mehr beschleunigt und durch die
Gravitation gebremst wird.
Phase 3 ist der freie Fall. Bei der simulierten Flasche wird im freien Fall nur der Luftwi-
derstand berücksichtigt, nicht aber die Reibung am Draht. Daher auch die Abweichungen
in der Fallzeit.
6.5 Optimierung
Da die Simulation mit den gemessenen Werten extreme Abweichungen hatte haben wir
die Länge der Austrittsröhre in unserer Simulation von 0,02265 m auf 0,008 m optimiert.
Folgender Plot zeigt die Verbesserung mit den neuen Werten.
30

Abbildung 11: Optimierte Flasche
6.6 Ergebnisse & Auswertung
Durch diese Optimierung war es uns möglich die Simulation besser an die Bedingungen
der Messreihen anzupassen. Wie man sieht sind die Abweichungen in der Startphase und
in der Höhe geringer als mit den gemessenen Werten.
6.6 Ergebnisse & Auswertung
Aufgrund der großen Menge an Daten (ca. 500 Datenpaare pro Simulationsreihe), die die
Simulation erzeugt, sind in diesem Abschnitt keine Ausgaben eingefügt, sondern diese
im Anhang beigelegt.
Als Ersatz für die Ausgaben sind Plots der Simulationen mit den Messdaten der Flüge
eingefügt.
31

6 Simulation
32
Abbildung 12: 4 Bar
Abbildung 13: 5 Bar

Abbildung 14: 6 Bar
6.6 Ergebnisse & Auswertung
Deutlich zu erkennen ist, dass die Werte der Simulation erst unterhalb der Messdaten
liegen und dann oberhalb.
6.6.1 Abweichung unterhalb
Diese Abweichungen können durch unsere Simulation nicht erklärt werden. Da die Strö-
mung beim Austritt nicht laminar ist und somit Hagen-Poiseuille nicht mehr gültig ist,
sollten die Messwerte unterhalb der Simulation liegen und nicht oberhalb.
6.6.2 Abweichung oberhalb
Die Abweichung oberhalb der Messdaten kann durch die Reibung an den Seilen und
die nicht ideal parallele Ausrichtung dieser erklärt werden. Diese Reibung wird in der
Simulation nicht berücksichtigt. Es wäre zwar prinzipel möglich einen Reibungsfaktor
in die Simulation einzubauen, da aber die Flasche vor jedem Flug neu an den Seilen
33

6 Simulation
befestigt wird kann dieser nicht mit einem einfachen freien Fall bestimmt werden. Des
weiteren ist der cW -Wert der Flasche eine Näherung, die auf einer Scheibe basiert und
nicht auf einem flaschenförmigen Körper. Dies erklärt teilweise auch, dass die Simulation
eine größere Steigung hat als die eigentliche Messung. Auch nach einigen Modifikationen
des cW -Werts war es nicht möglich, eine bessere Übereinstimmung zu erzeugen.
6.7 Fazit
Eine Beschreibung der Flüge der Rakete ist mit unserer Simulation qualitativ möglich,
jedoch gibt es noch einige Effekte die in der Simulation nicht berücksichtig werden und
werden können. So zum Beispiel: Wind, Befestigung an den Seilen, cW -Wert der Flasche,
. . .
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7 Zusammenfassung
Der Bau der Wasserrakete verlief insgesamt erfolgreich, sodass wir früh erfolgreiche Test-
flüge starten konnten. Anschließend haben wir verschiedene Messungen der Raketenflug-
bahn bei verschiedenen Drücken und Befüllungen durchgeführt. Diese waren hinreichend
gut reproduzierbar und entsprachen unseren Erwartungen. Exemplarisch wurde die Ge-
schwindigkeit und die Beschleunigung der Rakete durch Ableiten der Flugbahn ermittelt.
Die Messung der Geschwindigkeit lieferte eine akzeptable Kurve, wohingegen die Be-
schleunigung aufgrund von Messfehlern bei Aufnahme der Flugbahn völlig unbrauchbar
war. Diese Messfehler kamen durch verschiedene Reibungseffekte sowie durch Messfehler
bei der Raketenbefüllung zustande.
Abschließend haben wir unsere Messungen mit der Simulation verglichen. Ähnlichkeiten
der Flugkurven waren hierbei deutlich zu erkennen, dennoch wichen die Messungen z.T.
stark von den simulierten Werten ab.
Zusammenfassend ist der Versuch aber dennoch recht erfolgreich verlaufen. Leider wur-
den eventuell zu wenig Untersuchungen an der Rakete durchgeführt. Beispielsweise hät-
te man die Ausflussgeschwindigkeit des Wassers sowie die Reibungskräfte (Luftreibung,
Reibung an Führungsleinen) experimentell genauer untersuchen können. Dies hätte es
ermöglicht die Simulation entsprechend anzupassen und zu verbessern. Zudem hätten
die Reibungskräfte an den Leinen konstanter gehalten werden können. Hierzu hätte man
einen an den Führungsleinen fest angebrachten Schlitten konstruieren können, in dem
die Raketen nach jedem Flug wieder einsteckt werden kann. Dies hätte verschieden star-
ke Reibungen vermieden. Ebenso wäre ein präziseres Manometer zur Druckmessung in
der Flasche sowie eine Möglichkeit die Wasserfüllmenge genauer zu bestimmen sinnvoll.
Zusätzlich wäre es sinnvoll die Führungsleinen an ein höheres Gebäude zu spannen. Da-
durch könnten auch Flüge mit Raketenkonfigurationen gemessen werden, die die Rakete
eine größere Höhe als 23 m erreichen lassen, vollständig gemessen werden.
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