12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

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Aufgabe 12.20 Anstatt das Rad an der untersten Stelle abzubremsen, können wir uns vorstellen, dass es in der Ebene, die in Abbildung 12.3 schraffiert dargestellt ist, an einem festen Ring reibt. Es wirkt dann an zwei Stellen eine Reibungskraft, nämlich jeweils auf die beiden Teilchen, die sich gerade in der x-y-Ebene befinden. Auch hier machen wir den Ansatz, dass die Reibungskräfte proportional zu den Geschwindigkeiten dieser beiden Teilchen und ihren entgegengerichtet sind. Welche der beiden Bewegungen des Rades wird jetzt schneller abgebremst, die Drehung um die Achse, oder die Drehung der Achse in der Ebene? Aufgabe 12.21 In Abbildung 12.3(c) ist die Achse des Rades gar nicht mehr fixiert. Sie kann nun auch kippen. Für den dritten Freiheitsgrad führen wir die Koordinate ϑ ein, die den Winkel zwischen der Achse des Rades und der z-Achse misst. Die Koordinate wird deshalb so gewählt, weil (ϑ, ϕ) dann die üblichen Kugelkoordinaten sind, die die Ausrichtung der Achse im Raum festlegen, und χ wieder der Drehwinkel des Rades um die Achse ist. Man zeige zunächst, dass der Ort des Teilchens Nummer n jetzt wie folgt gegeben ist, rn = o + R sin χn e ′ � � (ϕ) + R cos χn cos ϑ e(ϕ) − sin ϑ ez . (12.50) Man bestimme daraus die Geschwindigkeiten der Teilchen und zeige, dass die kinetische Energie durch die Funktion T = Θ 2 ˙χ2 + Θ 4 ˙ ϑ 2 + Θ 4 (1 + cos2 ϑ) ˙ϕ 2 + Θ cos ϑ ˙χ ˙ϕ, mit Θ = M R 2 , (12.51) gegeben ist. Aus ihr lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ableiten. Aus denen für die Koordinaten χ und ϕ ergibt sich, dass die Impulse pχ = ∂T/∂ ˙χ und und pϕ = ∂T/∂ ˙ϕ Erhaltungsgrößen sind, da die Ableitungen ∂T/∂ϕ und ∂T/∂χ verschwinden. Man benutze das, um die Bewegungsgleichung für ϑ mit Hilfe eines effektives Potenzial darzustellen, Θ 2 ¨ ϑ = −� V ′ pχ (ϑ), mit V �(ϑ) = 2 + pϕ 2 − 2 pχ pϕ cos ϑ Θ sin 2 . (12.52) ϑ Man skizziere das effektive Potenzial und diskutiere qualitativ die möglichen Bewegungsformen des Rades. Zeitabhängige Zwangsbedingungen PSfrag replacements Als nächstes wollen wir ein paar einfache Beispiele für Systeme mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen diskutieren, um zu zeigen, dass auch solche Systeme sehr effizient mit Hilfe der Lagrangeschen bzw. d’Alembertschen Bewegungsgleichungen beschrieben werden können. Der reduzierte Konfigurationsraum Qt ist dann zu jedem Zeitpunkt t eine andere Teilmenge des erweiterten Konfigurationsraumes � Q, und wir müssen zeitabhängige Koordinaten verwenden, um die Zwangsbedingungen zu lösen. Als erstes betrachten wir ein System, das dem Pendel mit variabler Länge sehr ähnlich ist. Es ist allerdings einfacher, da keine Gravitationskraft wirkt und die Bewegung nur in einer Ebene 51 (c) (d) c m ϕ ω (a) (b) Abbildung 12.4: Zwei einfache mechanische System mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen. Im ersten Beispiel gleitet der Körper auf einer Tischplatte und dabei an einem Seil nach innen gezogen (a). Der einzige Freiheitsgrad ist die Winkelkoordinaten ϕ. Im zweiten Beispiel gleitet der Körper auf einer rotierenden Stange (b). Der einzige Freiheitsgrad ist jetzt die radiale Koordinaten r. stattfindet. Es ist in Abbildung 12.4(a) dargestellt. Ein Körper der Masse m befindet sich auf einem Tisch. Er ist an einem Seil befestigt, das durch ein Loch im Tisch eingezogen wird. Die Länge des Seiles ist ℓ zur Zeit t = 0, und sie soll sich mit einer konstanten Geschwindigkeit c verkürzen. Offenbar hat das System nur einen Freiheitsgrad. Die Länge des Seiles ist vorgegeben, so dass als einzige unabhängige Koordinate der Winkel ϕ bleibt, der angibt, in welcher Richtung sich der Körper, vom Loch aus gesehen, befindet. Wenn (x, y) kartesische Koordinaten in der Ebene sind, wobei sich der Ursprung im Loch befindet, so gilt für den Ort des Körpers x = (ℓ − c t) cos ϕ, y = (ℓ − c t) sin ϕ. (12.53) Daraus können wir wieder die kinetische Energie berechnen. Allerdings müssen wir jetzt die explizite Zeitabhängigkeit der Koordinaten beachten. Es ist ˙x = −(ℓ − c t) ˙ϕ sin ϕ − c cos ϕ, ˙y = (ℓ − c t) ˙ϕ cos ϕ − c sin ϕ, (12.54) und daher T = L = 1 2 m � ˙x 2 + ˙y 2 � = 1 2 m (ℓ − c t)2 ˙ϕ 2 + 1 2 m c2 . (12.55) Das gleiche Resultat hätten wir natürlich auch aus der Darstellung (11.60) der kinetischen Energie in Zylinderkoordinaten entnehmen können, indem wir dort r = ℓ − c t und z = 0 setzen. Den konstanten Term m c2 /2 können wir vernachlässigen, da er in die Bewegungsgleichungen r m
nicht eingeht. Nur der Term, der proportional zu ˙ϕ 2 ist, erscheint in der Bewegungsgleichung d ∂L ∂L d � � 2 − = m (ℓ − c t) ˙ϕ = 0. (12.56) dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ dt Auch hier wird die Bewegungsgleichung wieder in einer Form geliefert, aus der wir sofort den entscheidenden Erhaltungssatz ablesen können. In der Klammer steht natürlich wieder der Drehimpuls. Dass er erhalten ist, ergibt sich auch daraus, dass die Zwangskraft, die auf den Körper wirkt, eine Zentralkraft ist. Als Lösung findet man m (ℓ − c t) 2 ˙ϕ = pϕ ⇒ ˙ϕ = pϕ pϕ 2 ⇒ ϕ(t) = . (12.57) m (ℓ − c t) c m (ℓ − c t) Für t → ℓ/c, wenn das Seil ganz eingezogen wird, wird der Körper offenbar immer schneller und umläuft das Zentrum unendlich oft. Berechnen wir die kinetische Energie als Funktion der Zeit, so ergibt sich T − 1 2 m c2 = 1 2 m (ℓ − c t)2 ˙ϕ 2 = pϕ 2 2 → ∞ für t → ℓ/c. (12.58) 2 m (ℓ − c t) Wo kommt diese Energie her? Sie muss offenbar als mechanische Leistung von der Zwangskraft aufgebracht werden, also von der äußeren Instanz geliefert werden, die das Seil verkürzt. Um das zu zeigen, berechnen wir für dieses Beispiel die Zwangskraft. Wir führen dazu auf dem Konfigurationsraum die zusätzliche Koordinate r ein und definieren die erweiterte Lagrange-Funktion mit einem Multiplikator λ und der Zwangsbedingung C = r − ℓ + c t, �L = 1 2 m� ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 � − λ (r − ℓ + c t). (12.59) Der Lagrange-Multiplikator ist dann bis auf das Vorzeichen die r-Komponente der Zwangskraft, und die ϕ-Komponente der Zwangskraft verschwindet, Aus der Bewegungsgleichung für r ergibt sich Zr = −λ ∂C ∂r = −λ, Zϕ = −λ ∂C = 0. (12.60) ∂ϕ d ∂ dt � L ∂ ˙r − ∂ � L d � � 2 pϕ = m ˙r − m r ˙ϕ + λ ⇒ Zr = −λ = − ∂r dt 2 3 . (12.61) m (ℓ − c t) Auch die Zwangskraft divergiert für t → ℓ/c. Um das Seil ganz einzuziehen, wird schließlich eine unendliche Kraft benötigt. Die einzige Ausnahme liegt vor, wenn pϕ = 0 ist. Dann wird der Körper einfach radial nach innen gezogen. In diesem Fall ist gar keine Zwangskraft erforderlich, da sich der Körper ohnehin geradlinig und gleichförmig mit der Geschwindigkeit c auf das Loch zu bewegen würde. 52 Aufgabe 12.22 Man berechne die Gesamtlänge des von dem Körper zurückgelegten Weges im Zeitintervall 0 < t < ℓ/c. Aufgabe 12.23 Man diskutiere auch dieses Beispiel wieder mit einer zusätzlichen Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit des Körpers auf der Ebene ist. Das mechanische System in Abbildung 12.4(b) ist zu dem gerade diskutierten in einem gewissen Sinne komplementär. Dort befindet sich ein Körper auf einer Stange, die mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Auch hier bewegt sich der Körper in einer Ebene, jedoch wird diesmal statt der radialen Koordinate die Winkelkoordinate durch die Zwangsbedingung vorgegeben. Am einfachsten gehen wir hier von der Darstellung (12.59) der Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen in Polarkoordinaten aus, und setzen ϕ = ω t. Daraus ergibt sich L = 1 2 m ˙r2 + 1 2 m ω2 r 2 . (12.62) Die einzige verbleibende Koordinate r auf dem reduzierten Konfigurationsraum gibt an, in welcher Entfernung vom Drehpunkt sich der Körper befindet. Sie kann hier auch negativ werden, wenn sich die Stange in beide Richtungen erstreckt. Diese Lagrange-Funktion kennen wir bereits. Es ist die gleiche Funktion (12.26), die wir auch schon für die über die Tischkante gleitende Kette gefunden haben. Folglich ergeben sich auch die gleichen Lösungen. Es handelt sich um zwei äquivalente mechanische Systeme. Da sie die gleiche Lagrange-Funktion besitzen, besitzen sie auch die gleichen dynamischen Eigenschaften. Der Körper auf der Stange “sieht” offenbar das Potenzial eines harmonischen Oszillators, allerdings wieder mit dem falschen Vorzeichen, V (r) = −m ω 2 r 2 /2. Bei r = 0 befindet sich eine instabile Gleichgewichtslage. Nach beiden Seiten fällt das Potenzial ab, so dass der Körper nach außen beschleunigt wird. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung ist r(t) = b e ω t + c e −ω t . (12.63) Die rotierende Stange ist eine Schleuder, auf der der Körper exponentiell nach außen beschleunigt wird. Aufgabe 12.24 Die rotierende Stange lässt sich wie folgt variieren. Die Rotationsachse muss nicht zur Stange senkrecht stehen. Der Körper bewegt sich dann nicht in einer Ebene, sondern auf einem Kegel. Nehmen wir an, die Stange rotiere mit einer Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse und bilde mit dieser einen Winkel α. Zusätzlich spürt der Körper die Gravitationskraft. Wo befindet sich jetzt die Gleichgewichtslage? Handelt es sich um eine stabile oder instabile Gleichgewichtslage? Das rotierende Pendel Ein weiteres Beispiel für ein System mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen ist das angetriebene Pendel in Abbildung 12.5(a). Der Aufhängepunkt rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius a. Die Länge des Pendels sei ℓ.
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Seite 17 und 18: folgen. Das ist genau dann der Fall
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