12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

eplacements
(d)
ω
ϑ
ℓ
m
Abbildung 12.5: Der Aufhängepunkt des Pendels (a) rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit
ω und zwingt das Pendel, ebenfalls mit dieser Winkelgeschwindigkeit zu rotieren. Der einzige
Freiheitsgrad ist der Auslenkwinkel ϑ. Es ergibt sich eine stabile Gleichgewichtslage (b), bei der
das Pendel nach außen ausgelenkt ist, sowie bei hinreichend hoher Antriebsgeschwindigkeit eine
zweite stabile Gleichgewichtslage (c), bei der das Pendel nach innen ausgelenkt ist.
Legen wir den Koordinatenursprung o in die Mitte dieses Kreises, so befindet sich der
Aufhängepunkt zur Zeit t am Ort o + a e(ω t), wobei e(ϕ) wieder der Einheitsvektor (12.41)
ist. In der einfachsten Version kann das Pendel nur in eine Richtung schwingen, und zwar in der
Ebene, die von ez und e(ω t) aufgespannt wird. Es wird also gezwungen, mit dem Antrieb mit zu
rotieren. Wir betrachten zuerst nur diese Version.
Als einzige reduzierte Koordinate haben wir dann den Auslenkwinkel ϑ. Der Pendelkörper
befindet sich am Ort
r = o + (a + ℓ sin ϑ) e(ω t) − ℓ cos ϑ ez. (12.64)
Ein positiver Winkel ϑ bedeutet, dass das Pendel “nach außen”, also in die Richtung ausgelenkt
ist, in die der Antrieb gerade zeigt. Für negatives ϑ ist das Pendel dagegen “nach innen”, also zur
der Rotationsachse hin ausgelenkt.
Wie üblich berechnen wir die kinetische Energie, indem wir erst die Geschwindigkeit bestim-
men,
(a)
˙r = (a + ℓ sin ϑ) ω e ′ (ω t) + ℓ ˙ ϑ � �
cos ϑ e(ω t) + sin ϑ ez , (12.65)
und anschließend das Betragsquadrat davon bilden. Daraus ergibt sich die kinetische Energie T ,
und für das Potenzial V setzen wir wie üblich das Gravitationspotenzial an,
T = 1
2 m ℓ2 ˙ ϑ 2 + 1
2 m ω2 (a + ℓ sin ϑ) 2 , V = −m g ℓ cos ϑ. (12.66)
ϑ−
ϑ+
(b)
(c)
53
(a)
(b)
(c)
(d)
−π
V
ω = 0 ω < ω0
−π
ω = ω0
V
π
π
−π
−π
ω > ω0
V
V
ϑ+
ϑ− ϑ+ ϑ− ϑ+
Abbildung 12.6: Das effektive Potenzial für das rotierende Pendel mit a = 0.2 ℓ. Die Antriebsfrequenz
ω nimmt von oben links nach unten rechts zu.
Bilden wir daraus die Lagrange-Funktion L = T − V, so hat diese wieder die übliche Form einer
Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen in einem effektiven Potenzial,
L = 1
2 m ℓ2 ˙ ϑ 2 − � V (ϑ), mit � V (ϑ) = −m g ℓ cos ϑ − 1
2 m ω2 (a + ℓ sin ϑ) 2 . (12.67)
Die Bewegungsgleichung für die Auslenkung ϑ ist folglich die für ein gewöhnliches Teilchen in
einem Potenzial � V (ϑ), nur dass es sich hier um eine periodische Koordinate handelt, also ϑ und
ϑ + 2 π dieselbe Pendelstellung repräsentieren.
Die Form des effektiven Potenzials � V hängt von den Parametern des Pendels ab. Entscheidend
sind zwei dimensionslose Größen, nämlich das Verhältnis des Radius a des Antriebs zur Pendellänge
ℓ, sowie das Verhältnis der Antriebsfrequenz ω zur Eigenfrequenz � g/ℓ des Pendels.
Für einige typische Fälle ist das Potenzial in Abbildung 12.6 dargestellt.
Für ω = 0 handelt es sich um ein gewöhnliches Pendel ohne Antrieb. Es gibt eine stabile
Gleichgewichtslage bei ϑ = 0 und eine instabile Gleichgewichtslage bei ϑ = ±π. Schaltet man
den Antrieb ein, so verschiebt sich die stabile Gleichgewichtslage nach außen. Das Pendel wird
durch die Drehung von der Rotationsachse weg ausgelenkt und kann um die neue stabile Gleichgewichtslage
bei ϑ = ϑ+ > 0 schwingen. Abbildung 12.5(b) zeigt die “Ruhelage”, bei der das
Pendel starr mit dem Antrieb rotiert. Für ω → ∞ geht ϑ+ → π/2. Bei einem sehr schnellen
Antrieb steht das Pendel beinahe horizontal. Das ist natürlich genau das, was man erwartet.
Interessanterweise gibt es eine kritische Antriebsfrequenz ω = ω0, bei der für ϑ = ϑ− < 0 eine
zweite Gleichgewichtslage auftritt. Diese ist zunächst instabil, da es sich um einen Sattelpunkt
des Potenzials handelt. Für ω > ω0 spaltet sie jedoch in eine stabile und eine instabile Gleichge-
π
π