12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

eigentlichen Bewegungsgleichungen aufzustellen, genügt es daher völlig, die Funktion T nur als
Funktion der reduzierten Koordinaten χ α , der zugehörigen Geschwindigkeiten ˙χ α und der Zeit t
auf dem Unterraum Qt zu kennen. Die Koordinaten ζ l brauchen wir dazu überhaupt nicht.
Das gleiche gilt für die rechte Seite der Bewegungsgleichung (12.20). Um die Komponenten
Fα der dynamischen Kraft zu berechnen, benötigen wir die zusätzlichen Koordinaten ζ l außerhalb
des physikalischen Unterraumes Qt nicht. Wenn wir die Kraft ursprünglich als Funktion der
affinen Koordinaten q µ durch ihre Komponenten Fµ dargestellt haben, so ergeben sich die Komponenten
Fα aus dem üblichen Transformationsverhalten eines dualen Vektors. Das hatten wir
bereits in (11.43) aufgeschrieben, oder in der Form (11.58) für ein N-Teilchen-System. In dem
hier verwendeten speziellen Koordinatensystem ergeben sich daraus die Komponenten
Fα = ∂qµ
∂χ α Fµ, Fl = ∂qµ
∂ζ l Fµ. (12.21)
In die eigentlichen Bewegungsgleichungen (12.20) gehen nur die Komponenten Fα ein.Es genügt
deshalb, die ursprünglichen Koordinaten q µ als Funktion der reduzierten Koordinaten χ α zu kennen.
Wir müssen nur eine explizite Darstellung der Lösungen der Zwangsbedingung kennen. Nur,
wenn wir die Zwangskräfte berechnen wollen, benötigen wir zur Berechnung von Fl die zusätzlichen
Koordinaten ζ l .
Besonders einfach ist die Situation wieder dann, wenn alle Kräfte Potenzialkräfte sind. In diesem
Fall gilt statt (12.21) einfach Fα = −∂V/∂χ α und Fl = −∂V/∂ζ l . Wir müssen dazu nur das
Potenzial als Funktion der angepassten Koordinaten {χ α } und {ζ l } darstellen. Und auch hier gilt,
dass wir für die eigentlichen Bewegungsgleichungen die Funktion V nur auf Qt, also für ζ l = 0
kennen müssen. Denn zur Berechnung der Komponenten Fα müssen wir nur die Ableitungen des
Potenzials nach den Koordinaten χ α bilden.
In jedem Fall können wir die Bewegungsgleichungen wieder in der gemischten Form (11.67)
aufschreiben, die alle möglichen Fälle von konservativen und nicht konservativen Kräften umfasst.
Auch die Lagrange-Funktion L = T − V müssen wir dazu nur auf Qt kennen, das heißt
als Funktion der reduzierten Koordinaten χ α , der Geschwindigkeiten ˙χ α und der Zeit t. Zusätzlich
müssen wir dann nur noch diejenigen Kräfte, die sich nicht aus dem Potenzial V ableiten,
gemäß (12.21) in dem angepassten Koordinatensystem darstellen. Formal ergeben sich wieder
die gleichen Bewegungsgleichungen, nämlich
reduzierte
Bewegungsgleichung
d
dt
∂L ∂L
α −
∂ ˙χ ∂χ α = Fα. (12.22)
Unabhängig davon, welche Form der Bewegungsgleichungen wir verwenden, sind es jetzt nur
noch 3 N − K Differenzialgleichungen, die wir lösen müssen. Das sind genau so viele, wie das
System Freiheitsgrade besitzt. Besonders für Systeme mit sehr vielen Zwangsbedingungen bedeutet
das eine erhebliche Reduktion der Zahl der Bewegungsgleichungen.
Dass das neue Verfahren sehr effizient ist, sieht man schon an dem einfachen Beispiel des Pendels.
In diesem Fall sind die reduzierten Koordinaten die Winkelkoordinaten (ϑ, ϕ). Wir können
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die Lagrange-Funktion unmittelbar als Funktion dieser Koordinaten und ihrer Zeitableitungen
ausdrücken, indem wir in (12.13) r = ℓ setzen. Das ergibt
L = T − V = 1
2 m ℓ2� ˙ ϑ 2 + sin 2 ϑ ˙ϕ 2 � − m g ℓ cos ϑ. (12.23)
Sie hängt jetzt nur noch von den Koordinaten (ϑ, ϕ) und den Geschwindigkeiten ( ˙ ϑ, ˙ϕ) ab.
Der prinzipielle Unterschied zu der früheren Herleitung ist, dass wir jetzt nicht mehr zuerst die
kinetische und potenzielle Energie eines frei beweglichen Teilchens in Kugelkoordinaten ausrechnen
müssen, um dann eine erweiterte Lagrange-Funktion zu definieren, indem wir die Zwangsbedingung
mit einem Multiplikator addieren. Statt dessen müssen wir nur noch die Energien für
tatsächlich realisierbare Orte und Geschwindigkeiten bestimmen, also für Bahnen mit r(t) = ℓ,
die im physikalischen Konfigurationsraum Qt liegen, der in diesem Fall zeitunabhängig ist.
Aufgabe 12.4 Man zeige, dass die Lagrange-Gleichungen (12.22) für die Funktion (12.23) und
mit Fα = 0 jetzt unmittelbar die Pendelgleichungen (12.15) liefern.
Aufgabe 12.5 Was passiert, wenn der Pendelkörper zusätzlich eine Ladung q trägt, und sich
am Aufhängepunkt des Pendels eine Ladung Q befindet? Zum Gravitationspotenzial VG =
m g r cos ϑ kommt dann noch ein elektrisches Potenzial VE = Q q/r hinzu. Hat dies irgendeinen
Einfluss auf die Bewegungen des Pendels?
Einfache Beispiele
Wir wollen nun das gerade hergeleitete Verfahren anwenden und die Bewegungsgleichungen für
ein paar typische Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen aufstellen. Es wird sich zeigen,
dass die praktische Anwendung im Einzelfall meist sehr viel einfacher ist als die allgemeine
Herleitung.
Zunächst betrachten wir nur konservative Systeme, deren Kräfte sich aus einem zeitunabhängigen
Potenzial ableiten lassen. Für solche Systeme haben wir nun ein sehr einfaches Rezept zur
Herleitung der Bewegungsgleichungen. Man führt zunächst einen Satz von reduzierten Koordinaten
χ α ein, um die physikalisch möglichen Konfigurationen zu parametrisieren. Auf diese Weise
definiert man implizit den reduzierten Konfigurationsraum Q. Es ist gar nicht mehr nötig, diesen
zuerst mit Hilfe von Zwangsbedingungen als Teilmenge eines erweiterten Konfigurationsraumes
�Q zu definieren. Es genügt, die Lösungsmenge dieser Zwangsbedingungen zu beschreiben, was
oft wesentlich einfacher ist.
Dann muss man nur noch die kinetische Energie T und die potenzielle Energie V des Systems
als Funktion der Koordinaten χ α , der Geschwindigkeiten ˙χ α und der Zeit t darstellen. Daraus
ergibt sich die Lagrange-Funktion L = T − V, und aus ihr können wir unmittelbar die Bewegungsgleichungen
(12.22) ableiten. Bei einem konservativen System steht auf der rechten Seite
einfach Null.
In Abbildung 12.2 sind ein paar einfache mechanische Systeme dieser Art dargestellt. In der
Abbildung (a) bewegt sich ein Teilchen auf einer vorgegeben Kurve. Die Kurve soll sich in der