12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

ordinatensystem {χ α } auf dem physikalischen Konfigurationsraum Qt einzuführen. Der Index
α läuft dabei von 1 bis 3 N − K, oder nimmt Werte aus irgendeiner Indexmenge mit 3 N − K
Elementen an. Beim Pendel sind dies die Winkelkoordinaten (ϑ, ϕ), mit denen wir jeden Punkt
auf der Kugeloberfläche identifizieren, also jede physikalisch mögliche Konfiguration des Pendels
erfassen können.
Wir finden solche Koordinaten, indem wir die Zwangsbedingungen “auflösen”. Die Zwangsbedingungen
C k ({q µ }, t) = 0 sind K Gleichungen für 3 N Unbekannte, nämlich die ursprünglichen
Koordinaten q µ auf Q. Wenn wir annehmen, dass die Gleichungen genügend regulär sind, dann
lässt sich die Lösungsmenge zu jeder Zeit t durch 3 N − K Parameter darstellen. Diese Parameter
bezeichnen wir mit χ α , und wir betrachten sie als Koordinaten auf dem physikalischen
Konfigurationsraum Qt. Jede tatsächlich realisierbare Konfiguration wird dann durch die Angabe
ihrer Koordinaten χ α identifiziert, und folglich können wir jede realisierbare Bahn durch die
Koordinatenfunktion χ α (t) vollständig beschreiben.
Da es sich im allgemeinen um krummlinige Koordinaten handelt, wird es jedoch nicht immer
möglich sein, ein Koordinatensystem zu finden, das den ganzen physikalischen Konfigurationsraum
abdeckt und jedem Punkt eindeutig einen Satz von Koordinaten zuordnet. Die für das
Pendel verwendeten Kugelkoordinaten sind zum Beispiel an den Polen, also den beiden Gleichgewichtslagen
des Pendels nicht wohldefiniert. Es genügt aber für die folgenden Überlegungen,
dass zumindest ein Teil von Q durch ein solches Koordinatensystem abgedeckt wird. Wir beschränken
uns dann zunächst auf Bewegungen, die in dieser Teilmenge stattfinden. Im nächsten
Kapitel werden wir uns ein wenig ausführlicher mit diesem Problem beschäftigen und zeigen, wir
man es umgehen kann.
In Abbildung 12.1(b) sind die Koordinatenlinien von χ α auf dem Unterraum Q = Qt eingezeichnet.
Wir können sie wie folgt zu einem Koordinatensystem von � Q ergänzen. Wir fügen noch
K zusätzliche Koordinaten ζ l hinzu, so dass der reduzierte Konfigurationsraum Qt die Koordinatenfläche
ζ l = 0 ist. Die Koordinatenlinien der zusätzlichen Koordinaten ζ l zeigen also aus dem
physikalischen Unterraum hinaus, in die K verbleibenden Richtungen. Zumindest in einer gewissen
Umgebung von Qt bekommen wir auf diese Weise ein vollständiges Koordinatensystem
({χ α }, {ζ l }) auf � Q, wobei der Index α insgesamt 3 N − K Werte annimmt, und der Index l über
K Werte läuft.
In diesem Koordinatensystem haben die Zwangsbedingungen C k eine sehr einfache Darstellung.
Wenn wir sie in der Nähe des reduzierten Konfigurationsraumes in eine Taylor-Reihe in den
Koordinaten ζ l entwickeln, dann fallen die konstanten Glieder weg, denn die Zwangsbedingungen
C k sind ja genau dort gleich Null, wo auch die Koordinaten ζ l Null sind. Es gilt also
C k = X k l ζ l + O(ζ l ) 2 mit X k l = ∂Ck
∂ζ l
�
�
� . (12.18)
ζl =0
Die Koeffizienten X k l bilden eine K×K-Matrix, deren Einträge im allgemeinen noch von den
Koordinaten χ α und der Zeit abhängen. Es handelt sich also um Funktionen auf dem reduzierten
Konfigurationsraum Qt.
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Die Matrix X k l ist sogar überall auf Qt invertierbar. Das folgt aus der Voraussetzung, dass die
Gradienten der Zwangsbedingungen linear unabhängig sind. Die Einträge der Matrix X k l sind
die einzigen nicht verschwindenden Komponenten dieser Gradienten in dem angepassten Koordinatensystem,
denn die übrigen Komponenten X k α = ∂C k /∂χ α sind überall auf Qt gleich Null,
weil dort die Zwangsbedingungen verschwinden, also insbesondere konstant sind. Die Einträge
der K×K-Matrix X k l bilden daher ein System von K linear unabhängigen Vektoren, also eine
invertierbare Matrix.
Beim Pendel können wir als eine zusätzliche Koordinate mit den verlangen Eigenschaften zum
Beispiel ζ = r − ℓ wählen. Die Zwangsbedingung lautet dann C = r 2 − ℓ 2 = ζ (2 ℓ + ζ) =
X ζ + O(ζ 2 ), und offenbar ist sie genau dann gleich Null, wenn ζ = 0 ist. Außerdem ist sie von
der Form (12.18), wobei die 1×1-Matrix X = 2 ℓ in diesem Fall konstant, und natürlich auch
invertierbar ist.
Nachdem wir ein solches angepasstes Koordinatensystem eingeführt haben, ergibt sich alles
andere fast von selbst. Wir müssen jetzt nur noch die d’Alembertschen Bewegungsgleichungen
aufschreiben. Da wir nun zwei Sätze von Koordinaten {χ α } und {ζ l } haben, zerfallen auch die
Bewegungsgleichungen entsprechend. Betrachten wir zunächst die für die Koordinaten ζ l . Für sie
ergibt sich
d
dt
∂T
∂ ˙ ∂T
−
l
ζ ∂ζ l = Fl − �
k
λk
∂C k
∂ζ l = Fl − �
λk X k l. (12.19)
Hier haben wir benutzt, dass wir nur solche Bahnen q(t) betrachten müssen, die zu jedem Zeitpunkt
t in Qt liegen. Wir können also, nachdem wir die Bewegungsgleichungen aufgestellt haben,
überall ζ l = 0 und natürlich auch ˙ ζ l = 0 setzen. Auf der rechten Seite bedeutet das, dass wir die
Gradienten der Zwangsbedingungen durch die oben definierte Matrix X k l ausdrücken können.
Da diese Matrix wissen wir, dass sie invertierbar ist. Folglich lassen sich diese Gleichungen
immer nach λk auflösen. Es handelt sich nicht um Bewegungsgleichungen im eigentlichen Sinne.
Diese Gleichungen bestimmen die Lagrange-Multiplikatoren und damit die Zwangskräfte.
Man sieht auch sofort, dass jede zusätzliche dynamische Kraftkomponente Fl in eine “verbotene”
Richtung, also in Richtung einer Koordinaten ζ l , automatisch eine entsprechende zusätzliche,
entgegengesetzt ausgerichtete Zwangskraft bewirkt.
Die eigentlichen Bewegungsgleichungen sind die für die Koordinaten χ α . Sie lauten
d ∂T ∂T
α −
dt ∂ ˙χ ∂χ α = Fα − �
k
λk
k
∂C k
∂χ α = Fα. (12.20)
Auch hier können wir ζ l = 0 und ˙ ζ l = 0 setzen, nachdem wir die Gleichungen aufgestellt haben,
denn es kommen ja nur solche Bahnen in betracht. Die Zwangsbedingungen fallen dann ganz
weg, denn ihre Ableitungen in Richtung der Koordinaten χ α verschwinden.
Das entscheidende ist nun, dass wir hier bereits ζ l = 0 und ˙ ζ l = 0 setzen können, bevor wir
die partiellen Ableitungen von T auf der linken Seite berechnen. Es werden nämlich gar keine
Ableitungen in Richtung der Koordinaten ζ l oder der Geschwindigkeiten ˙ ζ l gebildet. Um die