12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

nicht eingeht. Nur der Term, der proportional zu ˙ϕ 2 ist, erscheint in der Bewegungsgleichung
d ∂L ∂L d � � 2
− = m (ℓ − c t) ˙ϕ = 0. (12.56)
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ dt
Auch hier wird die Bewegungsgleichung wieder in einer Form geliefert, aus der wir sofort den
entscheidenden Erhaltungssatz ablesen können. In der Klammer steht natürlich wieder der Drehimpuls.
Dass er erhalten ist, ergibt sich auch daraus, dass die Zwangskraft, die auf den Körper
wirkt, eine Zentralkraft ist. Als Lösung findet man
m (ℓ − c t) 2 ˙ϕ = pϕ ⇒ ˙ϕ =
pϕ
pϕ
2 ⇒ ϕ(t) =
. (12.57)
m (ℓ − c t) c m (ℓ − c t)
Für t → ℓ/c, wenn das Seil ganz eingezogen wird, wird der Körper offenbar immer schneller und
umläuft das Zentrum unendlich oft. Berechnen wir die kinetische Energie als Funktion der Zeit,
so ergibt sich
T − 1
2 m c2 = 1
2 m (ℓ − c t)2 ˙ϕ 2 =
pϕ 2
2 → ∞ für t → ℓ/c. (12.58)
2 m (ℓ − c t)
Wo kommt diese Energie her? Sie muss offenbar als mechanische Leistung von der Zwangskraft
aufgebracht werden, also von der äußeren Instanz geliefert werden, die das Seil verkürzt. Um das
zu zeigen, berechnen wir für dieses Beispiel die Zwangskraft. Wir führen dazu auf dem Konfigurationsraum
die zusätzliche Koordinate r ein und definieren die erweiterte Lagrange-Funktion
mit einem Multiplikator λ und der Zwangsbedingung C = r − ℓ + c t,
�L = 1
2 m� ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 � − λ (r − ℓ + c t). (12.59)
Der Lagrange-Multiplikator ist dann bis auf das Vorzeichen die r-Komponente der Zwangskraft,
und die ϕ-Komponente der Zwangskraft verschwindet,
Aus der Bewegungsgleichung für r ergibt sich
Zr = −λ ∂C
∂r = −λ, Zϕ = −λ ∂C
= 0. (12.60)
∂ϕ
d ∂
dt
� L
∂ ˙r − ∂ � L d � � 2 pϕ
= m ˙r − m r ˙ϕ + λ ⇒ Zr = −λ = −
∂r dt
2
3 . (12.61)
m (ℓ − c t)
Auch die Zwangskraft divergiert für t → ℓ/c. Um das Seil ganz einzuziehen, wird schließlich
eine unendliche Kraft benötigt. Die einzige Ausnahme liegt vor, wenn pϕ = 0 ist. Dann wird der
Körper einfach radial nach innen gezogen. In diesem Fall ist gar keine Zwangskraft erforderlich,
da sich der Körper ohnehin geradlinig und gleichförmig mit der Geschwindigkeit c auf das Loch
zu bewegen würde.
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Aufgabe 12.22 Man berechne die Gesamtlänge des von dem Körper zurückgelegten Weges im
Zeitintervall 0 < t < ℓ/c.
Aufgabe 12.23 Man diskutiere auch dieses Beispiel wieder mit einer zusätzlichen Reibungskraft,
die proportional zur Geschwindigkeit des Körpers auf der Ebene ist.
Das mechanische System in Abbildung 12.4(b) ist zu dem gerade diskutierten in einem gewissen
Sinne komplementär. Dort befindet sich ein Körper auf einer Stange, die mit einer Winkelgeschwindigkeit
ω rotiert. Auch hier bewegt sich der Körper in einer Ebene, jedoch wird diesmal
statt der radialen Koordinate die Winkelkoordinate durch die Zwangsbedingung vorgegeben. Am
einfachsten gehen wir hier von der Darstellung (12.59) der Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen
in Polarkoordinaten aus, und setzen ϕ = ω t. Daraus ergibt sich
L = 1
2 m ˙r2 + 1
2 m ω2 r 2 . (12.62)
Die einzige verbleibende Koordinate r auf dem reduzierten Konfigurationsraum gibt an, in welcher
Entfernung vom Drehpunkt sich der Körper befindet. Sie kann hier auch negativ werden,
wenn sich die Stange in beide Richtungen erstreckt.
Diese Lagrange-Funktion kennen wir bereits. Es ist die gleiche Funktion (12.26), die wir auch
schon für die über die Tischkante gleitende Kette gefunden haben. Folglich ergeben sich auch
die gleichen Lösungen. Es handelt sich um zwei äquivalente mechanische Systeme. Da sie die
gleiche Lagrange-Funktion besitzen, besitzen sie auch die gleichen dynamischen Eigenschaften.
Der Körper auf der Stange “sieht” offenbar das Potenzial eines harmonischen Oszillators, allerdings
wieder mit dem falschen Vorzeichen, V (r) = −m ω 2 r 2 /2. Bei r = 0 befindet sich eine
instabile Gleichgewichtslage. Nach beiden Seiten fällt das Potenzial ab, so dass der Körper nach
außen beschleunigt wird. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung ist
r(t) = b e ω t + c e −ω t . (12.63)
Die rotierende Stange ist eine Schleuder, auf der der Körper exponentiell nach außen beschleunigt
wird.
Aufgabe 12.24 Die rotierende Stange lässt sich wie folgt variieren. Die Rotationsachse muss
nicht zur Stange senkrecht stehen. Der Körper bewegt sich dann nicht in einer Ebene, sondern
auf einem Kegel. Nehmen wir an, die Stange rotiere mit einer Winkelgeschwindigkeit ω um die
z-Achse und bilde mit dieser einen Winkel α. Zusätzlich spürt der Körper die Gravitationskraft.
Wo befindet sich jetzt die Gleichgewichtslage? Handelt es sich um eine stabile oder instabile
Gleichgewichtslage?
Das rotierende Pendel
Ein weiteres Beispiel für ein System mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen ist das angetriebene
Pendel in Abbildung 12.5(a). Der Aufhängepunkt rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit ω auf
einem Kreis mit Radius a. Die Länge des Pendels sei ℓ.