12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

Wechselwirkungen der Teilchen untereinander als auch die möglicherweise von außen einwirkenden
Kräfte. Die Zwangskräfte Zµ sind dagegen diejenigen Kräfte, von denen wir nur wissen,
was sie bewirken, aber uns nicht damit auseinandersetzen wollen oder können, wie sie entstehen.
Das Ziel ist es, diese unbekannten Kräfte aus dem Gleichungssystem (12.3) zu eliminieren.
Betrachten wir zuerst den Fall, dass nur eine einzige Zwangsbedingung C(q, t) = 0 vorliegt.
Wir können in diesem Fall die Zwangskraft Zµ als Grenzfall einer Potenzialkraft ansehen. Wir
stellen uns vor, dass ein sehr hohes und steiles Potenzial das System daran hindert, sich von dem
Unterraum des Konfigurationsraumes zu entfernen, in dem C(q, t) = 0 ist. Ein solches Potenzial
ist durch
V(q, t) = 1
Λ C(q, t)2
(12.4)
2
gegeben, wobei Λ eine große Zahl sein soll. Sie muss natürlich die richtige physikalische Dimension
haben, damit V eine Energie ist. Das Potenzial bewirkt eine rücktreibende Kraft
∂V(q, t)
Zµ(q, t) = −
∂q µ
∂C(q, t)
= −Λ C(q, t)
∂q µ . (12.5)
Sie zeigt in Richtung des Gradienten der Funktion C(q, t) im Konfigurationsraum. Die
Zeitabhängigkeit spielt dabei keine Rolle. Sie bewirkt nur, dass zu unterschiedlichen Zeiten am
selben Ort im Konfigurationsraum unterschiedliche Kräfte wirken.
Was passiert nun, wenn wir den Grenzwert Λ → ∞ bilden? Das Potenzial wird dann unendlich
hoch, außer dort, wo C(q, t) = 0 ist. Das System, das immer nur eine endliche Energie besitzt,
wird gezwungen, sich dort aufzuhalten. Die Zwangskraft stellt sich dabei so ein, dass sie endlich
bliebt, denn trotz der Zwangsbedingung erfahren die einzelnen Teilchen ja nur endliche Beschleunigungen.
Während Λ wächst, geht der Faktor C(q, t) gegen Null, denn das System wird immer
stärker gezwungen, in der Nähe des erlaubten Unterraumes zu bleiben. Es bliebt schließlich im
Grenzfall ein Ausdruck für die Zwangskraft, dessen Betrag wir nicht kennen. Denn dieser ergibt
sich aus dem Grenzwert des Produktes Λ C(q, t), und der hängt von der tatsächlich realisierten
Bewegung ab. Aber wir kennen die Richtung dieser Kraft. Sie zeigt in Richtung des Gradienten
der Funktion C(q, t) im Konfigurationsraum.
Aus der realistischen Annahme, dass eine Zwangskraft in Wirklichkeit eine sehr starke Potenzialkraft
ist, folgt also, dass sie stets in die Richtung des Gradienten der Zwangsbedingung
zeigt. Auch hier geht wieder die Eigenschaft ein, dass die Kraft ein dualer Vektor auf dem Konfigurationsraum
ist. Denn sonst würde eine solche Aussage keinen Sinn ergeben. Nur bei einem
Ein-Teilchen-System, dessen Konfigurationsraum mit dem dreidimensionalen Euklidischen
Raum identisch ist, ist sie äquivalent zu der Aussage, dass die Zwangskraft auf den möglichen
Bewegungsrichtungen senkrecht steht, denn nur dann steht uns immer eine Metrik zur Verfügung.
Eine wesentliche Voraussetzung bei dieser Überlegung ist, dass der Gradient ∂C/∂q µ überall
dort, wo C = 0 ist, nicht verschwindet. Das ist die Analogie zu der Eigenschaft einer gewöhnlichen
reellen Funktion von einer Variablen, eine einfache Nullstelle zu haben, also eine Nullstelle,
an der nicht gleichzeitig ihre Ableitung verschwindet. Anschaulich heißt das, dass die Funktion
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C in jede Richtung weg von der Nullstellenmenge linear ansteigt oder abfällt. Ohne diese Voraussetzung
könnten wir die Zwangskraft nicht auf diese Weise darstellen.
Aufgabe 12.1 Davon abgesehen haben wir bei der Formulierung der Zwangsbedingungen aber
eine gewisse Freiheit. Es seien C und ˜ C zwei Funktionen auf Q, die dieselbe Nullstellenmenge haben,
und deren Gradienten auf dieser Nullstellenmenge nirgendwo verschwinden. Man zeige, dass
dann die Gradienten beider Funktion zumindest auf der Nullstellenmenge in dieselbe Richtung
zeigen. Es gilt ∂ ˜ C/∂q µ ∝ ∂C/∂q µ überall dort, wo C = 0 und ˜ C = 0 ist.
Das ganze lässt sich leicht auf ein System von mehreren Zwangsbedingungen erweitern. Wir betrachten
dann einfach ein Potenzial, das das System zwingt, alle Zwangsbedingungen zu erfüllen,
zum Beispiel
V(q, t) = 1
2
�
Λkl C k (q, t) C l (q, t) ⇒ Zµ(q, t) = − �
k,l
kl
Λkl C k (q, t) ∂Cl (q, t)
∂q µ . (12.6)
Hier ist Λkl irgendeine symmetrische, positive K×K-Matrix, deren Einträge wir so wählen, dass
alle Summanden die Dimension einer Energie haben. Das Potenzial V ist dann überall dort positiv,
wo mindestens eine Zwangsbedingung nicht Null ist, und Null genau dort, wo alle Zwangsbedingungen
erfüllt sind.
Lassen wir nun die Einträge der Matrix Λkl, oder zumindest deren Eigenwerte gegen Unendlich
gehen, so wird das System wieder gezwungen, die Zwangsbedingungen zu erfüllen. Denn das
Potenzial bleibt nur dort endlich, wo alle Zwangsbedingungen erfüllt sind. Die dann wirkende
Zwangskraft ist eine Linearkombination der Gradienten ∂C k /∂q µ . Wir schreiben dafür
Zµ = − �
k
λk
∂C k
µ . (12.7)
∂q
Die unbekannten Koeffizienten λk werden Lagrange-Multiplikatoren genannt. Sie werden erst
durch die tatsächlich realisierte Bewegung des Systems bestimmt und hängen dann natürlich auch
von der Zeit ab.
Auch hier setzen wir wieder voraus, dass sich jede mögliche Zwangskraft so darstellen lässt.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Gradienten X k µ = ∂C k /∂q µ einen Satz von K linear unabhängigen
dualen Vektoren bilden, und zwar an jeder Stelle der gemeinsamen Nullstellenmenge
der Funktionen C k . Anschaulich heißt das wieder, dass in jede Richtung weg von der Nullstellenmenge
mindestens eine der Zwangsbedingungen linear ansteigt. Nun unter dieser Voraussetzung
wird durch das Potenzial (12.6) in jede Richtung eine lineare rücktriebende Kraft erzeugt.
Wenn wir das hier beschriebene Verfahren anwenden wollen, müssen wir die Zwangsbedingungen
also immer so formulieren, dass ihre Gradienten zumindest auf der Nullstellenmenge linear
unabhängig sind. Beim Pendel ist dies der Fall. Der Gradient Xµ = ∂C/∂q µ von (12.1) ist in kartesischen
Koordinaten Xx = 2 x, Xy = 2 y und Xz = 2 z, oder in Kugelkoordinaten Xr = 2 r,