12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

folgen. Das ist genau dann der Fall, wenn die dualen Vektoren Zµ und Xµ zueinander proportional
sind. Die Zwangsbedingung bestimmt also unmittelbar die Richtung der Zwangskraft. Beides
zusammen impliziert
Zµ = −Λ Xµ Xν ˙q ν , (12.74)
wobei Λ wieder irgendeine große positive Zahl ist. Sie hat in diesem Fall die Bedeutung einer Reibungskonstanten.
Das Vorzeichen ergibt sich aus der Forderung, dass die von der Reibungskraft
erbrachte Leistung negativ sein muss, wenn sich das System in eine verbotene Richtung bewegt.
Das ist genau dann der Fall, wenn Λ > 0 ist, denn dann ist immer Zµ ˙q µ ≤ 0, und das Gleichheitszeichen
gilt nur dann, wenn Xµ ˙q µ = 0 ist, die Bewegung also in eine erlaubte Richtung
erfolgt.
Liegen mehrere Zwangsbedingungen vor, so können wir analog den Ansatz machen, dass die
Reibungskraft irgendeine lineare Funktion der verbotenen Geschwindigkeiten X k µ ˙q µ ist. Außerdem
muss sie eine Linearkombination der dualen Vektoren X k µ sein, denn nur dann verschwindet
die erbrachte Leistung für erlaubte Geschwindigkeiten. Das ergibt
Zµ = − �
k,l
Λkl X k µ X l ν ˙q ν . (12.75)
Die K×K-Matrix Λkl muss wieder positiv sein, damit die von der Reibungskraft erbrachte Leistung
Zµ ˙q µ immer negativ ist, wenn eine Bewegung in eine verbotene Richtung erfolgt.
Der Rest des Argumentes ist genau dasselbe wie zuvor für die holonomen Zwangsbedingungen.
Wir bilden jetzt den Grenzwert, in dem die Einträge der Matrix Λkl, oder zumindest ihre
Eigenwerte unendlich groß werden. Dann wird das System gezwungen, nur noch Bewegungen in
erlaubte Richtungen auszuführen, weil Bewegungen in verbotene Richtungen unendlich schnell
exponentiell abgebremst werden. Der Ausdruck X l ν ˙q ν in (12.75) geht dann gegen Null, und zwar
so, dass die Zwangskraft Zµ endlich bleibt.
Nach dem Grenzübergang wissen nur noch, dass Zµ eine Linearkombination der dualen Vektoren
X k µ ist. Die Koeffizienten kennen aber nicht. Wir schreiben dafür wieder
Zµ = − �
λk X k µ. (12.76)
k
Die dualen Vektorfelder X k µ spielen hier offenbar dieselbe Rolle wie in (12.7) die Gradienten
∂C k /∂q µ der holonomen Zwangsbedingungen. Die Analogie hatten wir schon weiter oben hergestellt.
Wenn X k µ die Gradienten von skalaren Funktionen C µ sind, dann sind die Zwangsbedingungen
X k µ ˙q µ nur scheinbar anholonom, und das System verhält sich ansonsten wir eines
mit holonomen Zwangsbedingungen. Daher steht auch in (12.76) der bekannte Ausdruck für die
Zwangskraft.
Ebenfalls ganz analog zu den holonomen Zwangsbedingungen sind die Lagrange-
Multiplikatoren λk wieder unbekannte Funktionen der Zeit. Sie ergeben sich erst aus den Be-
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wegungsgleichungen
d
dt
∂T ∂T
µ −
∂ ˙q
∂q µ = Fµ − �
λk X k µ, X k µ ˙q µ = 0. (12.77)
k
Anders als im Falle der holonomen Zwangsbedingungen lassen sich diese Gleichungen allerdings
nicht aus einer erweiterten Lagrange-Funktion ableiten, auch wenn die dynamischen Kräfte Fµ
Potenzialkräfte sind. Der Grund dafür ist, dass es sich bei den Zwangskräften um Reibungskräfte
handelt, und diese lassen sich nicht aus einer Lagrange-Funktion ableiten.
Zusammenfassend ergibt sich daraus die folgende allgemeine Strategie zum Aufstellen der
Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System mit Zwangsbedingungen. Zuerst lösen wir
die holonomen Zwangsbedingungen, indem wir vom erweiterten Konfigurationsraum � Q zu einem
reduzierten Konfigurationsraum Q übergehen. Sind die holonomen Zwangsbedingungen
zeitabhängig, so ist dieser Raum zu jeder Zeit t ein anderer Unterraum Qt von � Q. Die Dimension
dieses Raumes ist die Anzahl der Freiheitsgrade des System.
In jedem Fall können wir auf Q bzw. Qt ein Koordinatensystem {q µ } einführen, und die Energiefunktionen
T und V, bzw. die Komponenten Fµ der dynamischen Kräfte als Funktionen der
Koordinaten q µ , der zugehörigen Geschwindigkeiten ˙q µ und der Zeit t darstellen. Dann müssen
wir nur noch die anholonomen Zwangsbedingung in die Bewegungsgleichungen einbauen, indem
wir für jede solche Zwangsbedingung X k = X k µ ˙q µ = 0 einen Lagrange-Multiplikator λk
einführen, und eine entsprechende Zwangskraft λk X k µ zu den Bewegungsgleichungen (12.77)
hinzufügen.
Zusammen mit den Zwangsbedingungen selbst ergibt sich dann ein System von Differenzialgleichungen
für die Funktionen q µ (t) und λk(t). Jedoch gehen die Multiplikatoren nur linear in
diese Gleichungen ein, so dass wir sie leicht eliminieren können, indem wir solche Linearkombinationen
der Bewegungsgleichungen bilden, in denen sie verschwinden. Wir werden das gleich
an einem Beispiel zeigen. Solange wir nicht an den Zwangskräften interessiert sind, müssen wir
nur die Bewegungsgleichungen für die Koordinatenfunktionen q µ (t) lösen.
Aufgabe 12.27 Ein N-Teilchen-System unterliege K holonomen und K ′ anholonomen Zwangsbedingungen.
Man zeige, dass die Lösungen der Bewegungsgleichungen dann von 6 N −2 K−K ′
unabhängigen Parametern abhängen. Es müssen also 6 N − 2 K − K ′ Anfangsbedingungen festgelegt
werden.
Das rollende Rad
Als anschauliches Beispiel für ein System mit anholonomen Zwangsbedingungen betrachten wir
nun noch einmal das Rad aus Abbildung 12.3. Seine Achse soll jetzt aber nicht fixiert sein, sondern
es soll auf einer ebenen Fläche rollen. Es könnte sich zum Beispiel um eine rollende Münze
auf einem Tisch handeln. Um das prinzipielle Vorgehen zuerst an einem sehr einfachen Fall zu
erläutern, soll die Achse des Rades zwar im Raum beweglich, aber fest ausgerichtet sein. Sie soll
wie in Abbildung 12.3(a) stets in Richtung der x-Achse zeigen.