12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

eplacements
(c)
(d)
q3
2 q3
q
¡
q1
Xµ ˙q µ = 0
(a) (b)
¢
Abbildung 12.7: Eine anholonome Zwangsbedingung schränkt die Geschwindigkeit ˙ ∈ TQ
an jeder Stelle ∈ Q im Konfigurationsraum auf einen Untervektorraum ein (a). Über einen
geeigneten Weg kann trotzdem jeder Punkt im Konfigurationsraum erreicht werden (b).
bewegen. Dann hätten wir drei solche Zwangsbedingungen, nämlich ˙x1 − ˙x2 = 0, ˙y1 − ˙y2 = 0
und ˙z1 − ˙z2 = 0.
Auf dem Konfigurationsraum Q lassen sich solche Einschränkungen an die Bewegungsrichtungen
immer als ein lineares Gleichungssystem darstellen, das die Komponenten der Geschwindigkeiten
˙q µ zu erfüllen haben. Die Koeffizienten in diesem Gleichungssystem sind die Größen
X k µ in (12.72), die im allgemeinen vom Ort q und von der Zeit t abhängen können. Wir können
sie als einen Satz von K dualen Vektorfeldern auf Q auffassen.
Eine anholonome Zwangsbedingung wird durch ein duales Vektorfeld auf dem Konfigurationsraum
eines mechanischen System definiert. Sie verbietet Bewegungen in
ein bestimmte Richtung.
Um den Unterschied zwischen einer holonomen und einer anholonomen Zwangsbedingung
deutlich zu machen, betrachten wir noch einmal eine holonome Zwangsbedingung der Form
C(q, t) = 0. Eine solche Zwangsbedingung impliziert natürlich auch eine Einschränkung der
möglichen Bewegungsrichtungen. Leiten wir nämlich die gegebene Gleichung nach der Zeit ab,
so ergibt sich Xµ(q, t) ˙q µ = 0, mit Xµ = ∂C/∂q µ . Die Einschränkung der Bewegungsrichtung
ist also genau von der Form (12.72).
Es gibt aber einen wesentlichen Unterschied. Im allgemeinen muss das duale Vektorfeld Xµ,
das eine anholonome Zwangsbedingung Xµ ˙q µ = 0 definiert, nicht der Gradient irgendeiner skalaren
Funktion C sein. Was das bedeutet, wird in Abbildung 12.7(b) veranschaulicht. Nehmen wir
an, wie befinden uns an einer Stelle q1 ∈ Q im Konfigurationsraum. Ein zweiter Zustand q2 ∈ Q
ist von dort aus auf dem direkten Weg unerreichbar, weil wir dazu in eine verbotene Richtung
gehen müssten.
Betrachten wir zuerst den Fall, dass Xµ = ∂C/∂q µ der Gradient einer skalaren Funktion ist.
q 2
¡
1
¢
¡
2
q 1
55
Dann ist der Wert der Funktion C entlang jedes erlaubten Weges konstant. Denn genau das besagt
die Gleichung Xµ ˙q µ = ∂C/∂q µ ˙q µ = 0. Das System darf sich nur in solche Richtungen bewegen,
in die die Funktion C konstant ist, also eine verschwindende Richtungsableitung hat. Wenn zwei
Konfigurationen q1 und q2 entlang eines erlaubten Weges miteinander verbunden werden können,
dann muss die Funktion C für beide denselben Wert haben.
Umgekehrt, wenn die Funktion C für die beiden Konfigurationen q1 und q2 verschiedene Werte
hat, dann können wir daraus unmittelbar schießen, dass sich das System niemals von q1 nach
q2 bewegen kann. Es verbleibt immer in einem Unterraum mit C = konst. Liegt eine solche
“scheinbar” anholonome Zwangsbedingung vor, dann verhält sich das System wie bei einer entsprechenden
holonomen Zwangsbedingung C − konst = 0, mit dem einzigen Unterschied, dass
die Konstante beliebig vorgegeben werden kann.
Wenn das Vektorfeld Xµ, das die Zwangsbedingung Xµ ˙q µ = 0 definiert, jedoch nicht der
Gradient irgendeiner skalaren Funktion zw ist, dann können wir dieses Argument nicht mehr
anwenden. Dann ist es im allgemeinen so, wie in Abbildung 12.7(b) gezeigt. Obwohl die zwei
Konfigurationen q1 und q2 nicht auf dem direkten Weg miteinander verbunden werden können,
gibt es einen Umweg, auf dem das System doch von q1 nach q2 gelangen kann. In diesem Fall ist
die Zwangsbedingung “echt” anholonom. Sie lässt ich nicht als Zeitableitung einer holonomen
Zwangsbedingung darstellen.
Wir werden für beide Fälle gleich ein Beispiel kennen lernen. Für die allgemeine Beschreibung
von anholonomen Zwangsbedingungen spielt es zunächst keine Rolle, ob es sich um “echt”
oder “scheinbar” anholonome Bedingungen handelt. Entscheidend ist nur, dass der Konfigurationsraum
selbst nicht eingeschränkt wird, sondern nur die möglichen Bewegungsrichtungen.
Um die Bewegungsgleichungen zu formulieren, gehen wir von der d’Alembertschen Form aus,
wobei wir die Kräfte wieder in dynamische Kräfte und Zwangskräfte aufteilen,
d
dt
∂T ∂T
µ −
∂ ˙q ∂q µ = Fµ + Zµ. (12.73)
Am Anfang dieses Kapitels hatten wir gezeigt, dass wir eine holonome Zwangsbedingung als
Grenzfall einer unendlich starken Potenzialkraft verstehen können. Analog gilt für eine anholonome
Zwangsbedingung, dass sie als Grenzfall einer unendlich starken Reibungskraft betrachtet
werden kann. Eine Bewegung in eine verbotene Richtung würde eine unendliche Kraft erfordern,
um diese Reibung zu überwinden.
Wir wollen daher versuchen, die Zwangskraft Zµ erst als Reibungskraft darzustellen, um dann
einen geeigneten Grenzwert zu bilden. Der Einfachheit halber soll zunächst nur eine Zwangsbedingung
Xν ˙q ν = 0 vorliegen. Solange sich das System frei bewegen kann, ist Xν ˙q ν gerade die
Geschwindigkeitskomponente in die eigentlich verbotene Richtung. Die Reibungskraft Zµ soll
daher proportional zu dieser Geschwindigkeit sein. Wir machen also für die Reibungskraft einen
linearen Ansatz.
Eine weitere Bedingung an die Reibung ist, dass sie keine mechanische Leistung erbringt, wenn
die Bewegung des Systems in eine erlaubte Richtung erfolgt. Aus Xµ ˙q µ = 0 soll also Zµ ˙q µ = 0