12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

Aufgabe 12.13 Für kleine Auslenkungwinkel α, β ≪ 1 lassen sich die Winkelfunktionen in
(12.32) in eine Taylor-Reihe entwickeln. Man vernachlässige alle Terme, die von vierter Ordnung
oder höher in α, β, ˙α oder ˙ β sind. Man zeige, dass sich dann die Lagrange-Funktion für einen
gekoppelten harmonischen Oszillator ergibt. Welches sind die Eigenfrequenzen dieses Systems,
und wie sehen die Eigenmoden aus?
Aufgabe 12.14 Um einen Eindruck von den Bewegungen des Doppelpendels zu bekommen, kann
man die Bewegungsgleichungen (12.33) numerisch integrieren. Man gibt als Anfangsbedingungen
α(t0), β(t0), ˙α(t0) und ˙ β(t0) vor, und berechnet anschließend die Funktionen α(t) und β(t)
mit einem geeigneten numerischen Verfahren. Solche sind in den gängigen “intelligenten” Programmiersprachen
wie Mathematica oder Maple vorprogrammiert, so dass man letztlich nur die
Differenzialgleichungen und die Anfangsbedingungen eingeben muss. Es ist sogar möglich, das
Verfahren so weit zu automatisieren, dass man nur die Lagrange-Funktion eingeben muss.
Aufgabe 12.15 In Abbildung 12.2(d) ist ein weiteres mechanisches System mit nur einem Freiheitsgrad
dargestellt. Zwei Körper sind über eine starre Rolle miteinander verbunden. Die Seile,
an denen die Körper hängen, sind jedoch auf verschiedenen Radien aufgewickelt. Als verallgemeinerte
Koordinaten kann wahlweise der Drehwinkel der Rolle oder die Länge eines der beiden
herabhängenden Seile verwendet werden. Welche Beziehung besteht zwischen diesen Größen?
Man finde die Lagrange-Funktion und löse die Bewegungsgleichungen. Die kinetische Energie
der Rolle kann entweder vernachlässigt werden, oder es kann der weiter unten hergeleitete Ausdruck
(12.36) verwendet werden.
Das fixierte Rad
Ein etwas anspruchsvolleres mechanisches System ist in Abbildung 12.3 dargestellt. Es dient zur
Vorbereitung auf ein späteres Kapitel, in dem wir uns mit den Drehbewegungen eines starren
Körpers beschäftigen werden. In der hier gezeigten vereinfachten Version lässt es sich jedoch mit
den bereits zur Verfügung stehenden Mitteln beschreiben.
In der einfachsten Version von Abbildung 12.3(a) betrachten wir ein Rad, dessen Achse im
Raum fixiert ist. Es kann sich also nur um diese vorgegebene Achse drehen, und besitzt folglich
nur einen Freiheitsgrad. Dies ist der Drehwinkel χ. Wir machen außerdem die vereinfachte
Annahme, dass sich die gesamte Masse M des Rades auf die Lauffläche konzentriert, also auf
einen Kreisring vom Radius R. Sie verteilt sich dort auf N Teilchen, die in gleichmäßigen Winkelabständen
auf dem Kreis angeordnet sind.
Es sei rn, mit n ∈ {1, . . . , N}, der Ort des n-ten Teilchens, und das Koordinatensystem sei so
gewählt, dass die Achse des Rades in Richtung der x-Achse zeigt. Dann ist
rn = o + R � �
sin χn ey − cos χn ez , mit χn = χ −
2π n
. (12.34)
N
Der Koordinatenursprung o ist natürlich der Mittelpunkt des Rades. Die Teilchen haben wir so
durchnummeriert, dass sich das Teilchen mit der Nummer n genau dann “unten”, also auf der
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negativen z-Achse befindet, wenn der Drehwinkel gerade χ = 2π n/N ist. Die Nummerierung
können wir als periodisch betrachten, so dass die Indizes n und n + N dassselbe Teilchen bezeichnen.
Für die Geschwindigkeit des n-ten Teilchens ergibt sich
˙rn = R ˙χ � �
cos χn ey + sin χn ez , (12.35)
denn die einzige zeitabhängige Größe ist der Drehwinkel χ, und die Winkelgeschwindigkeit ist
natürlich für alle Teilchen gleich, ˙χn = ˙χ. Daraus können wir leicht die kinetische Energie berechnen.
Jedes einzelne Teilchen hat eine Masse M/N. Es bewegt sich mit einer Geschwindigkeit
R ˙χ, besitzt also die kinetische Energie M (R ˙χ) 2 /(2 N). Die Summe über alle Teilchen ist
T = 1
2 M R2 ˙χ 2 . (12.36)
Auch hier ist es wieder unnötig, die Zwangsbedingungen explizit zu kennen. Es genügt, ihre
Lösungen zu parametrisieren, also die Orte (12.34) der einzelnen Teilchen als Funktion der reduzierten
Koordinate χ darzustellen, um die kinetische Energie T als Funktion von χ und ˙χ zu
berechnen.
Wenn auf das Rad keine dynamischen Kräfte einwirken, haben wir damit auch schon die
Lagrange-Funktion gefunden, denn es ist L = T . Wir können unmittelbar die Bewegungsgleichung
¨χ = 0 ablesen. Das Rad dreht sich gleichmäßig mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
Das ist natürlich genau das, was wir erwartet haben.
Nun wollen wir feststellen, was passiert, wenn auf die Lauffläche des Rades eine Reibungskraft
wirkt. Eine solche Kraft kann nicht durch ein Potenzial beschrieben werden. Wir müssen also
die d’Alembertsche Form der Bewegungsgleichungen verwenden. Dazu müssen wir zunächst
die Kraftkomponente Fχ in Richtung der reduzierten Koordinate χ finden. Dafür hatten wir die
Formel (11.58) angegeben. Es gilt also
Fχ = � ∂rn
∂χ · Fn = �
R � �
cos χn ey + sin χn ez · Fn. (12.37)
n
n
Hier ist Fn die dynamische Kraft, die auf das Teilchen mit der Nummer n wirkt. Die partielle
Ableitung ∂rn/∂χ haben wir aus (12.34) entnommen.
Es soll nun auf ein ganz bestimmtes Teilchen, und zwar das, welches sich gerade an unterster
Stelle befindet, eine Reibungskraft wirken, die proportional zu seiner Geschwindigkeit und ihr
entgegengerichtet ist. Damit modellieren wir die Situation, dass das Rad an einer Stelle durch
einen bremsenden Gegenstand berührt wird, zum Beispiel auf einer Standfläche aufliegt oder eine
Bremse an der Lauffläche angreift.
Für das Teilchen mit der Nummer ¯n, welches sich zu einem bestimmten Zeitpunkt ganz unten
befindet, gilt χ¯n = 0, also ¯n = N χ/2π, oder genauer, ¯n ist die ganze Zahl, die dieser am
nächsten liegt. Für große N können wir aber den Fehler, den wir dabei machen, vernachlässigen.