12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Aufgabe 12.2 Man führe die gleichen Überlegungen für die Hantel aus Abbildung 5.3(b) durch. Was sind hier die geeigneten verallgemeinerten Koordinaten auf dem sechsdimensionalen Konfigurationsraum? Aufgabe 12.3 Was passiert, wenn wir in (12.11) die Zwangsbedingung C = x 2 + y 2 + z 2 − ℓ 2 durch C = (x 2 +y 2 +z 2 −ℓ 2 ) 2 ersetzen? Sie hat offenbar die gleiche Nullstellenmenge, beschreibt also die gleiche physikalische Einschränkung der möglichen Konfigurationen. Warum ergeben sich trotzdem nicht die richtigen Bewegungsgleichungen? Der reduzierte Konfigurationsraum Holonome Zwangsbedingungen lassen sich im Prinzip immer auf die gerade gezeigte Art und Weise auflösen. Durch geschickte Wahl der Koordinaten kann die Zahl der zu lösenden Bewegungsgleichungen reduziert werden, wobei die Multiplikatoren in diesen Gleichungen gar nicht mehr vorkommen. Die Idee ist kurz gefasst die folgende. Da wir ohnehin schon wissen, dass sich das System nur eingeschränkt bewegen kann, sollte es möglich sein, dies bereits beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen zu berücksichtigen. Wir sollten von Anfang an überhaupt nur solche Bahnen zulassen, die auch realisierbar sind, anstatt erst alle Bahnen im Konfigurationsraum zu betrachten, um aus dieser, eigentlich viel zu großen Menge dann mit Hilfe der Bewegungsgleichungen die tatsächlich realisierten Bahnen herauszusuchen. In Abbildung 12.1(a) ist der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems dargestellt, versehen mit einem Koordinatensystem {q µ }. Wir bezeichnen ihn hier mit � Q und nennen ihn den erweiterten Konfigurationsraum, da er mehr Konfigurationen enthält als tatsächlich realisiert werden können. Die Zwangsbedingungen definieren zu jedem Zeitpunkt t einen Unterraum Qt = { q ∈ � Q, C k (q, t) = 0 }. (12.17) Dieser Unterraum enthält alle zur Zeit t realisierbaren Konfigurationen. Wir nennen ihn den physikalischen oder reduzierten Konfigurationsraum. In der Abbildung 12.1(a) ist der einfache Fall darstellt, dass die Zwangsbedingungen zeitunabhängig sind. Dann hängt Qt = Q nicht von der Zeit ab, und jede möglich Bahn des Systems liegt ganz in Q. Handelt es sich um ein System von N Teilchen und liegen K Zwangsbedingungen vor, so hat der reduzierte Konfigurationsraum die Dimension 3 N − K. Das System hat in Wirklichkeit nur 3 N −K Freiheitsgrade. Es kann sich von jedem Punkt des reduzierten Konfigurationsraumes nur in 3 N − K Richtungen bewegen, weil die restlichen K Richtungen durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt sind. Wirkt auf das System eine Kraft in irgendeine Richtung, so stellt sich die Zwangskraft immer so ein, dass das System innerhalb von Qt verbleibt. Das ist die anschauliche Beschreibung dessen, was den d’Alembertschen oder Langrangeschen Bewegungsgleichungen (12.8) bzw. (12.10) zu Grunde liegt. Da diese Gleichungen ein 43 Q q 3 q 2 Zµ Fµ C = 0 Fµ + Zµ Fα q µ (t) χ α (t) q 1 χ 1 ζ (a) (b) Abbildung 12.1: Durch eine zeitunabhängige Zwangsbedingungen C = 0 wird ein Unterraum Q des erweiterten Konfigurationsraumes Q definiert, der alle physikalische möglichen Konfigurationen enthält (a). Wirken auf das System dynamische Kräfte Fµ, so stellen sich die Zwangskräfte Zµ so ein, dass das System in Q verbleibt. Um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, genügt es, nur solche Bahnen zu betrachten, die ganz in Q liegen. Dazu führt man ein reduziertes Koordinatensystem {χ α } auf Q ein (b). Man muss dann nur noch die Komponenten Fα der dynamischen Kräfte kennen, um die Bewegungsgleichungen zu formulieren gekoppeltes System von Differenzialgleichungen für die Koordinaten q µ (t) und die Lagrange- Multiplikatoren λk(t) bilden, löst man auf diese Weise quasi in einem Schritt sowohl die Zwangsbedingungen als auch die eigentlichen Bewegungsgleichungen, und man bekommt zudem noch die Zwangskräfte geliefert. Eine Alternative besteht nun darin, Schritt für Schritt vorzugehen. Man löst zuerst die Zwangsbedingungen, anschließend die Bewegungsgleichungen, und zuletzt verschafft man sich Informationen über die auftretenden Zwangskräfte, wenn dies erforderlich ist. In den meisten praktischen Fällen, und insbesondere dann, wenn die genaue Kenntnis der Zwangskräfte nicht erforderlich ist, ist dieses Vorgehen sehr viel effizienter. Der Trick besteht im wesentlichen darin, ein an die Zwangsbedingungen angepasstes Koordinatensystem zu verwenden. Entscheidend ist dabei, dass die vorangegangenen Überlegungen für beliebige, also insbesondere für krummlinige und zeitabhängige Koordinatensysteme gelten. Sobald wir ein speziell angepasstes Koordinatensystem definiert haben, zerfallen die d’Alembertschen oder Lagrangeschen Gleichungen ganz von selbst in drei unabhängige Gleichungssysteme. Das erste besteht aus den Zwangsbedingungen, die dann trivial sind. Das zweite Gleichungssystem enthält die eigentlichen Bewegungsgleichungen. Und aus dem dritten Gleichungssystem ergeben sich die Zwangskräfte. Die Konstruktion des angepassten Koordinatensystems ist in Abbildung 12.1(b) skizziert. Sie erfolgt analog zu den Kugelkoordinaten für das Pendel. Der erste Schritt besteht darin, ein Ko- Q χ 2
ordinatensystem {χ α } auf dem physikalischen Konfigurationsraum Qt einzuführen. Der Index α läuft dabei von 1 bis 3 N − K, oder nimmt Werte aus irgendeiner Indexmenge mit 3 N − K Elementen an. Beim Pendel sind dies die Winkelkoordinaten (ϑ, ϕ), mit denen wir jeden Punkt auf der Kugeloberfläche identifizieren, also jede physikalisch mögliche Konfiguration des Pendels erfassen können. Wir finden solche Koordinaten, indem wir die Zwangsbedingungen “auflösen”. Die Zwangsbedingungen C k ({q µ }, t) = 0 sind K Gleichungen für 3 N Unbekannte, nämlich die ursprünglichen Koordinaten q µ auf Q. Wenn wir annehmen, dass die Gleichungen genügend regulär sind, dann lässt sich die Lösungsmenge zu jeder Zeit t durch 3 N − K Parameter darstellen. Diese Parameter bezeichnen wir mit χ α , und wir betrachten sie als Koordinaten auf dem physikalischen Konfigurationsraum Qt. Jede tatsächlich realisierbare Konfiguration wird dann durch die Angabe ihrer Koordinaten χ α identifiziert, und folglich können wir jede realisierbare Bahn durch die Koordinatenfunktion χ α (t) vollständig beschreiben. Da es sich im allgemeinen um krummlinige Koordinaten handelt, wird es jedoch nicht immer möglich sein, ein Koordinatensystem zu finden, das den ganzen physikalischen Konfigurationsraum abdeckt und jedem Punkt eindeutig einen Satz von Koordinaten zuordnet. Die für das Pendel verwendeten Kugelkoordinaten sind zum Beispiel an den Polen, also den beiden Gleichgewichtslagen des Pendels nicht wohldefiniert. Es genügt aber für die folgenden Überlegungen, dass zumindest ein Teil von Q durch ein solches Koordinatensystem abgedeckt wird. Wir beschränken uns dann zunächst auf Bewegungen, die in dieser Teilmenge stattfinden. Im nächsten Kapitel werden wir uns ein wenig ausführlicher mit diesem Problem beschäftigen und zeigen, wir man es umgehen kann. In Abbildung 12.1(b) sind die Koordinatenlinien von χ α auf dem Unterraum Q = Qt eingezeichnet. Wir können sie wie folgt zu einem Koordinatensystem von � Q ergänzen. Wir fügen noch K zusätzliche Koordinaten ζ l hinzu, so dass der reduzierte Konfigurationsraum Qt die Koordinatenfläche ζ l = 0 ist. Die Koordinatenlinien der zusätzlichen Koordinaten ζ l zeigen also aus dem physikalischen Unterraum hinaus, in die K verbleibenden Richtungen. Zumindest in einer gewissen Umgebung von Qt bekommen wir auf diese Weise ein vollständiges Koordinatensystem ({χ α }, {ζ l }) auf � Q, wobei der Index α insgesamt 3 N − K Werte annimmt, und der Index l über K Werte läuft. In diesem Koordinatensystem haben die Zwangsbedingungen C k eine sehr einfache Darstellung. Wenn wir sie in der Nähe des reduzierten Konfigurationsraumes in eine Taylor-Reihe in den Koordinaten ζ l entwickeln, dann fallen die konstanten Glieder weg, denn die Zwangsbedingungen C k sind ja genau dort gleich Null, wo auch die Koordinaten ζ l Null sind. Es gilt also C k = X k l ζ l + O(ζ l ) 2 mit X k l = ∂Ck ∂ζ l � � � . (12.18) ζl =0 Die Koeffizienten X k l bilden eine K×K-Matrix, deren Einträge im allgemeinen noch von den Koordinaten χ α und der Zeit abhängen. Es handelt sich also um Funktionen auf dem reduzierten Konfigurationsraum Qt. 44 Die Matrix X k l ist sogar überall auf Qt invertierbar. Das folgt aus der Voraussetzung, dass die Gradienten der Zwangsbedingungen linear unabhängig sind. Die Einträge der Matrix X k l sind die einzigen nicht verschwindenden Komponenten dieser Gradienten in dem angepassten Koordinatensystem, denn die übrigen Komponenten X k α = ∂C k /∂χ α sind überall auf Qt gleich Null, weil dort die Zwangsbedingungen verschwinden, also insbesondere konstant sind. Die Einträge der K×K-Matrix X k l bilden daher ein System von K linear unabhängigen Vektoren, also eine invertierbare Matrix. Beim Pendel können wir als eine zusätzliche Koordinate mit den verlangen Eigenschaften zum Beispiel ζ = r − ℓ wählen. Die Zwangsbedingung lautet dann C = r 2 − ℓ 2 = ζ (2 ℓ + ζ) = X ζ + O(ζ 2 ), und offenbar ist sie genau dann gleich Null, wenn ζ = 0 ist. Außerdem ist sie von der Form (12.18), wobei die 1×1-Matrix X = 2 ℓ in diesem Fall konstant, und natürlich auch invertierbar ist. Nachdem wir ein solches angepasstes Koordinatensystem eingeführt haben, ergibt sich alles andere fast von selbst. Wir müssen jetzt nur noch die d’Alembertschen Bewegungsgleichungen aufschreiben. Da wir nun zwei Sätze von Koordinaten {χ α } und {ζ l } haben, zerfallen auch die Bewegungsgleichungen entsprechend. Betrachten wir zunächst die für die Koordinaten ζ l . Für sie ergibt sich d dt ∂T ∂ ˙ ∂T − l ζ ∂ζ l = Fl − � k λk ∂C k ∂ζ l = Fl − � λk X k l. (12.19) Hier haben wir benutzt, dass wir nur solche Bahnen q(t) betrachten müssen, die zu jedem Zeitpunkt t in Qt liegen. Wir können also, nachdem wir die Bewegungsgleichungen aufgestellt haben, überall ζ l = 0 und natürlich auch ˙ ζ l = 0 setzen. Auf der rechten Seite bedeutet das, dass wir die Gradienten der Zwangsbedingungen durch die oben definierte Matrix X k l ausdrücken können. Da diese Matrix wissen wir, dass sie invertierbar ist. Folglich lassen sich diese Gleichungen immer nach λk auflösen. Es handelt sich nicht um Bewegungsgleichungen im eigentlichen Sinne. Diese Gleichungen bestimmen die Lagrange-Multiplikatoren und damit die Zwangskräfte. Man sieht auch sofort, dass jede zusätzliche dynamische Kraftkomponente Fl in eine “verbotene” Richtung, also in Richtung einer Koordinaten ζ l , automatisch eine entsprechende zusätzliche, entgegengesetzt ausgerichtete Zwangskraft bewirkt. Die eigentlichen Bewegungsgleichungen sind die für die Koordinaten χ α . Sie lauten d ∂T ∂T α − dt ∂ ˙χ ∂χ α = Fα − � k λk k ∂C k ∂χ α = Fα. (12.20) Auch hier können wir ζ l = 0 und ˙ ζ l = 0 setzen, nachdem wir die Gleichungen aufgestellt haben, denn es kommen ja nur solche Bahnen in betracht. Die Zwangsbedingungen fallen dann ganz weg, denn ihre Ableitungen in Richtung der Koordinaten χ α verschwinden. Das entscheidende ist nun, dass wir hier bereits ζ l = 0 und ˙ ζ l = 0 setzen können, bevor wir die partiellen Ableitungen von T auf der linken Seite berechnen. Es werden nämlich gar keine Ableitungen in Richtung der Koordinaten ζ l oder der Geschwindigkeiten ˙ ζ l gebildet. Um die
Seite 1 und 2: 12 Einfache mechanische Systeme Ein
Seite 3: Xϑ = 0 und Xϕ = 0. Auf der Nullst
Seite 7 und 8: PSfrag replacements x-z-Ebene befin
Seite 9 und 10: Aufgabe 12.13 Für kleine Auslenkun
Seite 11 und 12: Für die Geschwindigkeiten der Teil
Seite 13 und 14: nicht eingeht. Nur der Term, der pr
Seite 15 und 16: wichtslage auf, so dass das Pendel
Seite 17 und 18: folgen. Das ist genau dann der Fall
Seite 19 und 20: eplacements (d) (a) (b) (c) Abbildu

12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?