12 Einfache mechanische Systeme - THEP Mainz

eplacements
(d)
(a) (b) (c)
Abbildung 12.8: Das Rad aus Abbildung 12.3 rollt auf einem Tisch. Je nach der Zahl der Freiheitsgrade
kann es entweder nur geradeaus laufen, aufrecht um eine Kurve fahren, oder dabei
auch noch kippen.
Das Rad rollt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung der y-Achse, und es treten
nie irgendwelche Zwangskräfte auf. Das liegt daran, dass das Rad diese Bewegung ohnehin
ausführen würde, wenn man die Anfangsbedingungen entsprechend wählt. Es bewegt sich als
ganzes geradlinig und gleichförmig und dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
Entscheidend ist jedoch, dass die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen nur von vier
Parametern abhängt, nämlich x0, y0, χ0 und ω, obwohl der reduzierte Konfigurationsraum dreidimensional
ist, so dass ohne zusätzliche Zwangsbedingungen sechs Anfangsbedingungen zu
wählen wären, nämlich drei Orte und drei Geschwindigkeiten. Anholonome Zwangsbedingungen
schränken zwar die Orte nicht ein, aber die Geschwindigkeiten und somit auch die wählbaren
Anfangsbedingungen.
Aufgabe 12.29 Wie man leicht in (12.82) sieht, lassen sich diese beiden Zwangsbedingungen
als totale Zeitableitungen von zwei Funktionen schreiben, nämlich X 1 = dx/dt und X 2 =
d(y + R χ)/dt. Die Zwangsbedingungen sind also nur scheinbar anholonom. Worin besteht jedoch
der wesentliche Unterschied zwischen den hier gestellten Bedingungen und der alternativen
Beschreibung eines rollenden Rades durch holonome Zwangsbedingungen C 1 = x und
C 2 = y + R χ?
Nun war dieses System ein sehr einfaches, und das Ergebnis war auch genau das erwartete. Das
Rad rollt, wie in Abbildung 12.8(a) gezeigt, einfach geradeaus über den Tisch. Im nächsten Schritt
führen wir wieder einen zusätzlichen Freiheitsgrad ein und erlauben dem Rad, seine Achse zu
drehen, aber nicht zu kippen. Wie wir gleich sehen werden, führt ein solches Rad eine interessante
Bewegung aus, die man vielleicht nicht sofort erwartet.
Der reduzierte Konfigurationsraum des Systems ist jetzt vierdimensional und wird durch die
Koordinaten (x, y, ϕ, χ) beschrieben, wobei der Winkel ϕ wieder die Ausrichtung der Achse ist.
Aufgabe 12.30 Die Herleitung der kinetischen Energie erfolgt wie oben. Man zeige, dass sich die
Summe aus der Rotationsenergie (12.46) und der Translationsenergie eines Körpers der Masse
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M ergibt, also
T = 1
2 M R2 ˙χ 2 + 1
4 M R2 ˙ϕ 2 + 1
2 M ˙x2 + 1
2 M ˙y2 . (12.85)
Auf den ersten Blick sind die vier Bewegungsrichtungen wieder entkoppelt. Aber wir müssen
natürlich noch die Zwangsbedingungen berücksichtigen, die dafür sorgen, dass das Rad rollt und
nicht rutscht. Wir betrachten dazu wieder die Geschwindigkeit des Teilchens mit der Nummer
¯n = N χ/2π, das gerade den Tisch berührt, und verlangen, dass diese verschwindet. Um die
neue Ausrichtung der Achse zu berücksichtigen, müssen wir wieder ey durch e ′ (ϕ) ersetzen. Es
ist jetzt
˙r¯n = ˙x ex + ˙y ey + R ˙χ e ′ (ϕ). (12.86)
Komponentenweise aufgeschrieben ergeben sich die Zwangsbedingungen
X 1 = ˙x − R sin ϕ ˙χ = 0, X 2 = ˙y + R cos ϕ ˙χ = 0. (12.87)
Anschaulich interpretiert besagen diese Gleichungen, dass sich das Rad in der x-y-Ebene nur in
die Richtung bewegen darf, die senkrecht zur momentanen Ausrichtung ϕ der Achse steht, und
dass es dabei abrollt, also bei einem Drehwinkel α die Strecke R α zurücklegt.
Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen erfolgt wie oben, nur dass wir jetzt eine mehr bekommen,
d ∂T
dt ∂ ˙x
d ∂T
dt ∂ ˙y
− ∂T
∂x = λ1 X 1 x + λ2 X 2 x ⇒ M ¨x = λ1,
− ∂T
∂y = λ1 X 1 y + λ2 X 2 y ⇒ M ¨y = λ2,
d ∂T ∂T
−
dt ∂ ˙χ ∂χ = λ1 X 1 χ + λ2 X 2 χ ⇒ M R 2 ¨χ = R (λ2 cos ϕ − λ1 sin ϕ),
d ∂T ∂T
−
dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ = λ1 X 1 ϕ + λ2 X 2 ϕ ⇒ M R 2 ¨ϕ = 0. (12.88)
Auch hier haben wir die Koeffizienten X k µ für k ∈ {1, 2} und µ ∈ {x, y, χ, ϕ} wieder aus der
expliziten Darstellung (12.87) der Zwangsbedingungen C k = X k µ ˙q µ abgelesen.
Die letzte Bewegungsgleichung für ϕ(t) können wir sofort lösen. Es ist
¨ϕ = 0 ⇒ ϕ(t) = ϕ0 + γ t, (12.89)
wobei γ und ϕ0 Integrationskonstanten sind. Die Achse des Rades dreht sich gleichmäßig mit
einer beliebigen Winkelgeschwindigkeit γ. Die Konstante ϕ0 ist die Ausrichtung der Achse zur
Zeit t = 0. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit ϕ0 = 0 setzen, wenn wir das
Koordinatensystem entsprechend anpassen.