2 Theoretische Grundlagen - Institut für Kernphysik - Johannes ...

4.1 Neue Fokussierung
da sowohl Objekt als auch Bild außerhalb des Feldes liegen (kurz) und sich der Strahldurchmesser
im Magneten nicht zu stark ändert (schwach). Die eigentliche Bedingung
für schwache Linsen
⎡ ⎤
�ζ
2
⎣ H(z)dz⎦
≪ mΦ0
(4.5)
e
−∞
ist insofern nicht erfüllt, dass der Wert des Integrals nur kleiner als die Konstante auf
der linken Seite ist, nicht aber viel kleiner. m
e ist dabei das Verhältnis aus Masse und
Ladung nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung Φ0. Durch die Obergrenze ζ soll
ausgedrückt werden, dass die Bedingung in Gleichung 4.5 für jede Obergrenze erfüllt sein
muss. Da dies hier nicht der Fall ist wird erwartet, dass die realen Werte etwas größer
als die berechneten sein werden.
Wenn b die Bildweite, also der Abstand zwischen Blendenebene und Bildebene ist,
folgt unter diesen Annahmen (schwach und kurz) laut[14]:
Δr = − eb
�
16mΦ0
+∞
−∞
� e
H
3mΦ0
4 + H ′2
�
dz · r 3 B
(4.6)
H bzw. H ′ sind das Magnetfeld auf der Achse und dessen Ableitung, rB ist der maximale
Öffnungsradius des Strahls im Solenoiden. Um den Effekt der sphärischen Aberration
abschätzen zu können, wurde das Magnetfeld eines baugleichen Solenoiden mit einer
Hallsonde2 der Kollaboration X1 vermessen. Eine Feldmessung auf der Achse war nicht
möglich, da keine longitudinale Hallsonde verfügbar war. Die verwendete transversale
Sonde konnte zwar in einem Winkel von 90° abgeknickt werden, war in ihrer Bauform
aber zu groß, als dass man mit ihr näher als 10 mm an die Rotationsachse des Solenoiden
hätte gelangen können. Das entsprechende Feld auf der Achse wurde aus einer
weiter unten beschriebenen Simulation erhalten. Zur analytischen Lösung benötigt man
das Feld in einer geschlossenen Form, weshalb die gemessenen Daten durch eine Gaußfunktion
genähert wurden. Setzt man jetzt sowohl das Feld (H) als auch den Radius
im Magneten (rB) von rund 2,8 mm in Gleichung 4.6 ein, so erhält man im symmetrischen
Betrieb der beiden Solenoiden einen Öffnungsfehler von Δr =16, 34μm, und im
asymmetrischen Fall Δr =28, 20μm. Δr ist dabei der in Abbildung 4.7 zu erkennende
Abstand der Punkte P (1)
B und PB. ZurÜberprügfung dieser Ergebnisse, werden die oben
angegebenen Güten explizit für die gemessenen Feder berechnet. Nach [29] erhält man
die Werte aus:
G = R3 Bb b
=
Δrbfl2 Bfl2 (4.7)
RB ist dabei der Abstand des Teilchens zwischen Achse und Flugbahn in der Blendenebene,
l laut [29] eine charakteristische Solenoidengröße wie Länge oder Reichweite
des Feldes. Man sieht, dass diese Größe antiproportional zum Fehler B der spährischen
2 Group3 DTM-151 Digital Teslameter
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