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1.3 Diffraction par une structure bi-périodique avec et sans la présence d’un défaut 27
Quand l’objet est en présence d’un substrat plan, ou dans un multicouche, il suffit de
remplacer T, par la susceptibilité linéaire du champ du système de référence.
Nous venons de présenter la CDM telle que l’ont présentée E. M. Purcell and C.
R. Pennypacker. 2 Notons qu’une autre méthode très proche de la CDM existe. Cette
méthode, dite méthode des moments, part de l’équation intégrale de Lippman Schwinger,
est, moyennant quelques hypothèses, strictement identique à la CDM. La démonstration
de l’équivallence entre ces deux méthodes étant un peu technique, elle est explicitée dans
l’annexe 1 page 73.
Les avantages de la CDM sont qu’elle est applicable à des objets de forme arbitraire,
inhomogène (chose difficilement réalisable dans le cas de méthode surfacique), et anisotrope
(la polarisabilité associée aux éléments de discrétisation devient alors tensorielle). La
condition d’onde sortante est automatiquement satisfaite à travers la susceptibilité linéaire
du champ. Notons enfin, que seul l’objet est discrétisé, contrairement aux méthodes de
différences finies et éléments finis. 1
L’inconvénient majeur de la CDM consiste en une croissance rapide du temps de calcul
avec l’augmentation du nombre d’éléments de discrétisation, i.e., l’augmentation de la
taille du système d’équations linéaires à résoudre. Il existe des moyens pour accélérer la
résolution d’un système d’équations linéaires de très grande taille, telle que la méthode
des gradients conjugués, mais malgré tout, des valeurs de N > 10 6 en espace homogène
sont difficiles à traiter.
1.3 Diffraction par une structure bi-périodique avec et sans
la présence d’un défaut
1.3.1 Diffraction par une structure bi-périodique
La CDM, étant une méthode volumique, ne peut s’appliquer a priori, que dans le cas
de structure de taille finie. En fait, nous avons montré récemment, que si l’objet est une
structure bi-périodique sur un substrat plan (ou en espace homogène), il est quand même
possible d’utiliser la CDM si l’éclairement est réalisé avec une onde plane. Dans ce cas, le
champ en tout point de l’espace est quasi périodique :
E(r + mu + m ′ v) = E(r)e ik 0.(mu+m ′ v) , (1.3)
avec (m,m ′ ) ∈ Z 2 , k 0 la composante du vecteur d’onde du champ incident (k0) parallèle
au substrat, et u, v les vecteurs de base générant la structure bi-périodique. La conséquence
de l’Eq. (1.3) est que le champ local, à chaque position de discrétisation de l’ensemble de
la structure, est aussi quasi-périodique, et donc le nombre d’inconnues se réduit au nombre
d’éléments servant à discrétiser le motif décrivant le réseau bi-périodique. La susceptibilité
linéaire du champ est quant à elle modifiée pour tenir compte de la périodicité de la
structure, mais elle reste simple à calculer, voir annexe 4 page 92. 8 La CDM périodisée est
illustrée avec la Fig. 1.2(b) qui montre la carte de champ proche obtenue avec le réseau
décrit Fig. 1.2(a).
Cadre de ce travail : Ce travail est le fruit d’une collaboration
internationale entre A. Rahmani (alors au National Institute of
Standards and Technology (NIST), USA), et G. W. Bryant (NIST,
USA). Ce travail fait suite à ma visite de cinq semaines au NIST
dans l’équipe “Quantum Processes and Metrology” dirigée par G.
W. Bryant.