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30 1.4 Augmentation de la précision de la CDM de N. Comme dit au § 1.2, quand N devient grand il est numériquement difficile de résoudre le système d’équations linéaires représenté par l’Eq. (1.1). Il est donc intéressant d’augmenter la précision de la CDM à N fixé. 1.4.1 Correction de champ local La CDM a pour principe de discrétiser l’objet à étudier en un ensemble de petits cubes, et à chacun de ces petits cubes est associée une polarisabilité. Différentes expressions de la polarisabilité pour les petits cubes constituant l’objet ont été établies, mais toutes sont basées sur la relation de Claussius-Mossotti. 11 Rappelons que la relation de Claussius-Mossotti est établie pour une sphère en espace homogène dans un champ statique uniforme. 12 En isolant un des éléments de discrétisation, il est clair que d’une part celui-ci n’est pas dans un espace homogène et que d’autre part le champ local qui s’applique à celui-ci n’est pas homogène, étant la somme du champ incident et du champ rayonné par tous les autres dipôles. L’idée est donc de tenir compte de l’environnement pour modifier la polarisabilité de chaque élément de discrétisation, et donc introduire une polarisabilité effective. 13,14 Soit une sphère dans un champ statique : ce problème peut être résolu exactement, et le champ macroscopique à l’intérieur de celle-ci est donc parfaitement défini. Si nous discrétisons cette sphère avec la CDM, nous pouvons calculer le champ macroscopique à la position de chaque élément de discrétisation. En égalant le champ macroscopique calculé rigoureusement et celui obtenu via la CDM, nous pouvons en déduire une polarisabilité effective pour chacun des éléments de la discrétisation. Ensuite, pour tenir compte du fait que notre objet est éclairé par une onde électromagnétique en e −iωt il suffit de rajouter la réaction de rayonnement à cette nouvelle polarisabilité (voir annexe 4 page 105 et page 111). 13,14 L’inconvénient de cette méthode est qu’il faut obtenir rigoureusement le champ macroscopique pour un objet soumis à un champ électrostatique uniforme. Ceci n’est possible analytiquement que dans le cas où le facteur de champ local est constant dans l’objet, i.e., pour des ellipsoïdes (la sphère étant un cas particulier) et des slabs. Figure 1.4 présente le cas du slab possédant une forte permittivité relative. Le calcul exact est en trait discontinu, le calcul avec la CDM usuelle avec les symboles carrés (old CDM), et la CDM avec la polarisabilité effective avec les symboles triangles (new CDM) : il est clair que non seulement cette nouvelle méthode augmente la précision de la CDM de manière conséquente, mais en plus elle fait disparaître les oscillations du champ à l’intérieur du slab. Cadre de ce travail : Ce travail a été réalisé en collaboration avec A. Rahmani et G. W. Bryant (NIST) lors de ma visite de 5 semaines au NIST. 1.4.2 Intégration de la susceptibilité linéaire du champ La méthode présentée § 1.4.1 est astreinte à des géométries particulières de l’objet. Dans ce paragraphe nous établissons un autre moyen d’augmenter la précision de la CDM, mais sans contrainte quant à la forme de l’objet. En fait la CDM telle que nous l’avons présentée § 1.2 fait appel à deux approximations. La première consiste à supposer le champ uniforme sur une maille de discrétisation (l’utilité de cette approximation est détaillée dans l’annexe 1 page 73) . Cette approximation si la maille est très petite vis-à-vis de la longueur d’onde dans le milieu considéré est parfaitement licite. La deuxième approximation est de supposer la susceptibilité linéaire
1.5 Conclusion 31 Champ macroscopique normalise 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Exact New CDM Old CDM 0 −20 0 20 40 60 80 z (nm) Fig. 1.4 : Module du champ à l’extérieur et à l’intérieur d’un slab. Le slab est défini par 0 ≤ z ≤ 50 nm délimité par les lignes verticales. L’onde plane incidente (λ=400 nm) arrive de la gauche avec un angle de θ=50 ◦ polarisée en TM. La permittivité relative du slab est : ǫ=20. du champ uniforme sur une maille, i.e., T(ri,r) = T(ri,rj) quelle que soit la position r appartenant à la maille j (Ceci permet de ne pas calculer l’intégration de la susceptibilité linéaire du champ sur la maille, voir annexe 1 page 73). Si nous prenons deux mailles contiguës et petites, il est clair que la décroissance en 1/r3 de la susceptibilité linéaire du champ, ne permet plus de supposer celle-ci uniforme. Pour tenir compte de cette variation il suffit d’intégrer la susceptibilité linéaire du champ sur la maille : Vj T(ri,r)dr. Cette modification permet d’améliorer la convergence de la CDM surtout quand la permittivité relative de l’objet est très forte (annexe 4 page 86). 7 Cadre de ce travail : Ce travail a été réalisé en collaboration avec A. Rahmani (Lyon) et A. Sentenac. Ce travail montre la parfaite équivalence entre la CDM et la méthode des moments. 1.5 Conclusion Ce chapitre consacré à la CDM donne les récents avancements que nous avons réalisés en ce qui concerne la CDM : d’une part des avancées réalisées au niveau de la précision de la CDM (à travers la correction de facteur de champ local cf § 1.4.1, ou l’intégration de la susceptibilité linéaire du champ sur une maille cf § 1.4.2), et d’autre part au niveau des géométries que celle-ci peut désormais traiter : réseau bi-périodique (cf § 1.3.1), et défaut en présence d’un réseau bi-périodique (cf § 1.3.2).
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