Random Processes in Hyperbolic Spaces Hyperbolic Brownian ...

Contents
Introduction v
1 Tools of Riemannian Geometry 1
1.1 Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Laplace operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sectional curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Hyperbolic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Hyperbolic Geometry 13
2.1 Möbius transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Poincaré extension of Möbius transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Hyperbolic metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Hyperbolic trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Hyperbolic Brownian Motion 29
3.1 Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Hyperbolic Brownian motion in H 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Transition function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Hitting distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Hyperbolic Brownian bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 Fractional hyperbolic Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Multidimensional hyperbolic Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Transition function in H 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 The Millson recursive formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Bounds for the hyperbolic heat kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii