Conformal Geometric Algebra in Stochastic Optimization Problems ...

252 APPENDIX A. SELECTED ASPECTS UNDERLYING THIS WORK
A.4.2 Commutator Products
Commutator Products Here some interesting commutator products are presented.
From the elucidations in section 2.3.3 it follows that I commutes with all elements
in CGA; equation (A.35) shows some of the numerous possibilities and holds as
well for the anti-commutator
(AI)× −B = (A× −B)I = I (A× −B) = (I A)× −B = A× −(B I) = ... (A.35)
The subsequent equations hold for all s ≥ 2
A 〈2〉 × −B 〈s〉 = a1 ∧ (a2 · B 〈s〉 ) − a2 ∧ (a1 · B 〈s〉 ) (A.36)
A 〈2〉 × − B 〈s〉 = A 〈2〉 · B 〈s〉 + A 〈2〉 ∧ B 〈s〉 . (A.37)
Especially if the grade of B 〈s〉 is two, it may be seen that
A 〈2〉 × −B 〈2〉 = (a2 · b1)(a1 ∧ b2) − (a2 · b2)(a1 ∧ b1)
+(a1 · b2)(a2 ∧ b1) − (a1 · b1)(a2 ∧ b2).
A 〈3〉 × −B 〈3〉 = A 〈3〉 ∧ B 〈3〉 + a1 ∧ (a2 · (a3 · B 〈3〉 ))
where A 〈3〉 ∧ B 〈3〉 = 0 in CGA.
− a2 ∧ (a1 · (a3 · B 〈3〉 ))
� �� �
a2∧((a1∧a3)·B 〈3〉 )
+ a3 ∧ (a1 · (a2 · B 〈3〉 )),
A 〈3〉 × − B 〈3〉 = A 〈3〉 · B 〈3〉 + a1 ∧ a2 ∧ (a3 · B 〈3〉 )
− a1 ∧ a3 ∧ (a2 · B 〈3〉 ) + a2 ∧ a3 ∧ (a1 · B 〈3〉 ).
(A.38)
(A.39)
Other expressions can often be derived, e.g. with the help of equation (A.35) and
equation (A.38)
A 〈3〉 × −B 〈2〉 = (A 〈3〉 × −(B 〈2〉 I))I −1 = (A 〈3〉 × −B ′ 〈3〉)I −1
where it was used that
= A 〈3〉 · B 〈2〉 + a1 · (a2 ∧ a3 ∧ B 〈2〉 )
−a2 · (a1 ∧ a3 ∧ B 〈2〉 ) + a3 · (a1 ∧ a2 ∧ B 〈2〉 ), (A.40)
(a3 ∧ (a1 · (a2 · B ′ 〈3〉)))I −1 = (a3× −(a1× −(a2× − B ′ 〈3〉))) I −1
= a3× −(a1× −(a2× − B ′ 〈3〉I −1 ))
= a3× −(a1× −(a2× − B 〈2〉 ))
= a3 · (a1 ∧ a2 ∧ B 〈2〉 ).