線性非時變系統之即時參數估測 - 高雄應用科技大學

工 程 科 技 與 教 育 學 刊 第 八 卷 第 二 期民 國 一 ○○ 年 六 月 第 330~341 頁線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義國 立 高 雄 應 用 科 技 大 學 化 學 工 程 與 材 料 工 程 系E-Mail: tyguo@cc.kuas.edu.tw摘 要以 微 分 方 程 式 描 述 的 受 控 程 序 , 藉 由 後 向 差 分 近 似 微 分 運 算 , 將 受 控 程 序 表 示 成 簡 單 的 回 歸 模 式 , 並建 立 回 歸 模 式 與 受 控 程 序 參 數 間 的 關 係 式 。 於 使 用 比 例 積 分 微 分 (Proportional-Integral-Derivative, PID) 控制 器 的 回 饋 控 制 迴 路 中 , 經 由 線 上 受 控 程 序 的 輸 入 和 輸 出 數 據 , 以 遞 迴 最 小 平 方 法 週 期 性 計 算 回 歸 模 式 並即 時 估 測 受 控 程 序 之 參 數 。 由 一 階 和 二 階 線 性 受 控 程 序 範 例 的 模 擬 結 果 , 顯 示 所 提 方 法 可 以 快 速 且 準 確 估測 受 控 程 序 的 參 數 。 本 論 文 所 提 的 方 法 可 結 合 現 有 對 線 性 系 統 之 控 制 器 的 設 計 準 則 , 線 上 自 動 調 諧 控 制 器參 數 , 以 達 到 要 求 的 控 制 效 能 。關 鍵 字 : 即 時 參 數 估 測 、 遞 迴 最 小 平 方 法 、 適 應 性 控 制 、 線 性 非 時 變 系 統 。1. 前 言比 例 積 分 微 分 (Proportional-Integral-Derivative, PID) 控 制 器 , 它 是 現 代 工 業 生 產 過 程 中 最 常 用 的 控 制演 算 法 , 但 早 在 公 元 250 年 希 臘 人 就 善 於 使 用 回 饋 控 制 系 統 來 控 制 水 位 。1788 年 , 瓦 特 發 明 蒸 汽 機 也 首 度使 用 飛 球 調 節 器 。 到 了 20 世 紀 30 年 代 , 具 有 比 例 、 積 分 等 回 饋 控 制 器 已 開 始 使 用 [1], 而 且 氣 動 式 PID 控制 器 在 工 業 界 得 到 廣 泛 的 認 可 , 而 相 對 應 電 子 控 制 器 在 20 世 紀 50 年 代 進 入 市 場 。60 年 代 初 期 , 出 現 以 電腦 控 制 之 應 用 實 例 。 目 前 工 業 控 制 上 , 如 化 工 流 程 、 液 位 控 制 、 溫 度 控 制 、 壓 力 控 制 … 等 , 都 是 以 PID 控制 器 為 主 [2], 此 乃 因 為 PID 控 制 器 的 構 造 簡 單 、 易 被 人 們 熟 悉 和 掌 握 、 控 制 效 果 好 和 對 於 大 部 分 的 製 程 應用 均 有 效 ( 除 具 有 長 時 間 延 遲 之 程 序 外 ), 並 且 可 在 不 了 解 動 態 製 程 特 性 下 使 用 , 至 今 在 工 業 上 仍 普 遍 被 採用 [2,3]。為 了 使 控 制 程 序 能 達 到 最 佳 控 制 效 能 , 常 需 建 立 鑑 別 受 控 程 序 的 數 學 模 式 或 特 性 參 數 , 以 便 調 諧 控 制器 的 P、I、D 參 數 [4]。 常 見 鑑 別 受 控 程 序 的 數 學 模 式 或 特 性 參 數 的 方 法 有 程 序 反 應 曲 線 法 (Reaction curvemethod)、 連 續 圈 環 法 (Continuous cycling method)、 替 續 器 回 饋 響 應 法 (Relay feedback response method)、閉 迴 路 響 應 法 (Closed loop response method)、 遞 迴 最 小 平 方 估 測 法 (Recursive least-squares estimationmethod) 等 , 這 些 方 法 各 有 其 優 缺 點 。 程 序 反 應 曲 線 法 是 在 穩 態 程 序 下 給 予 受 控 程 序 輸 入 步 階 測 試 訊 號 ,以 得 到 鑑 別 程 序 所 需 的 反 應 曲 線 圖 。1972 年 Smith[5] 由 程 序 反 應 曲 線 , 提 出 以 圖 解 的 技 術 將 程 序 鑑 別 成 一階 或 二 階 時 延 模 式 。1978 年 Sundaresan 及 Krishnaswamy[6] 提 出 由 步 階 響 應 曲 線 估 計 系 統 輸 出 達 35.3% 及85.3% 所 對 應 的 兩 個 響 應 時 間 , 改 善 了 反 曲 點 難 於 決 定 的 問 題 。1994 年 Rangaiah 及 Krishnaswamy[7] 提 出 以步 階 響 應 的 三 個 特 性 點 ( 即 最 終 穩 態 響 應 的 14%、55%、91% 所 對 應 的 響 應 時 間 ), 配 合 經 驗 式 鑑 別 二 階 含時 延 系 統 。 程 序 反 應 曲 線 法 的 優 點 為 只 需 一 次 單 獨 的 試 驗 測 試 , 故 執 行 上 很 簡 單 , 但 缺 點 是 其 試 驗 測 試 必須 在 開 迴 路 條 件 下 進 行 。1942 年 Ziegler 和 Nichols[1] 提 出 連 續 圈 環 法 , 此 法 於 回 饋 控 制 的 閉 迴 路 系 統 中 , 在 設 定 點 或 擾 動 作 步階 改 變 情 形 下 , 藉 由 調 整 比 例 控 制 器 之 比 例 增 益 使 系 統 產 生 週 期 性 振 盪 (Cycling oscillation), 以 獲 得 臨 界增 益 (Ultimate gain) 和 臨 界 週 期 (Ultimate period) 等 兩 個 代 表 受 控 程 序 的 特 性 參 數 。1984 年 Åström and©2007 National Kaohsiung University of Applied Sciences, ISSN 1813-3851

線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測 331Hägglund 提 出 替 續 器 回 饋 響 應 法 [8], 此 法 是 暫 時 將 控 制 器 以 繼 電 器 代 替 , 形 成 繼 電 器 反 饋 回 路 並 使 受 控 程序 在 正 常 操 作 點 附 近 產 生 週 期 性 振 盪 , 此 振 盪 數 據 可 用 來 獲 得 受 控 程 序 的 臨 界 增 益 和 臨 界 週 期 。 之 後 , 有許 多 學 者 針 對 替 續 器 回 饋 響 應 法 作 更 深 入 的 研 究 , 例 如 延 伸 應 用 於 非 穩 定 系 統 的 參 數 鑑 別 [9] 及 二 階 含 時 延系 統 的 模 式 鑑 別 [10]。 連 續 圈 環 法 和 替 續 器 回 饋 響 應 法 的 優 點 為 可 獲 得 確 切 的 受 控 程 序 特 性 參 數 , 但 由 於 此兩 種 方 法 造 成 受 控 程 序 週 期 性 的 振 盪 , 無 法 於 製 程 正 常 操 作 下 進 行 。閉 迴 路 響 應 法 是 Yuwana 和 Seborg[11] 於 1982 年 所 提 出 , 此 方 法 是 於 比 例 控 制 的 閉 迴 路 系 統 中 , 在 設定 點 作 步 階 改 變 而 得 到 閉 迴 路 的 暫 態 響 應 數 據 , 進 而 將 程 序 鑑 別 為 一 階 含 時 延 系 統 , 之 後 由 學 者 Jutan 和Rodriguez[12]、Lee 等 人 [13] 和 Chen[14] 等 人 改 良 此 法 , 改 善 了 參 數 估 測 的 準 確 性 。 以 比 例 回 饋 控 制 閉 迴 路鑑 別 程 序 參 數 的 優 點 是 可 於 製 程 操 作 下 進 行 , 但 其 缺 點 為 在 比 例 控 制 下 做 測 試 , 因 此 將 產 生 穩 態 誤 差 。 改善 了 穩 態 誤 差 的 缺 點 ,Mamat 和 Fleming[15] 提 出 於 閉 迴 路 系 統 以 比 例 積 分 控 制 做 測 試 。 另 外 ,Ananth 和Chidambaram[16]、Cheres[17]、Sree 和 Chidambaram[18] 等 學 者 則 將 此 法 延 伸 於 不 穩 定 一 階 含 時 延 程 序 的 參數 鑑 別 。遞 迴 最 小 平 方 估 測 法 為 即 時 線 上 參 數 估 測 法 [19,20], 經 由 量 測 受 控 程 序 的 輸 入 輸 出 , 最 佳 化 計 算 及 整理 , 最 後 可 以 得 到 受 控 程 序 回 歸 模 式 和 參 數 。 目 前 PID 控 制 器 參 數 調 諧 的 技 術 很 多 [4], 而 能 即 時 線 上 調 諧的 技 術 較 符 合 工 廠 自 動 化 需 求 , 但 這 些 調 適 法 之 最 基 本 理 論 及 需 求 是 程 序 特 性 參 數 的 估 測 。 本 論 文 針 對 線性 非 時 變 之 受 控 程 序 , 提 出 即 時 程 序 參 數 估 測 法 , 此 方 法 主 要 概 念 是 藉 由 後 向 差 分 近 似 微 分 運 算 , 將 受 控程 序 表 示 成 簡 單 的 回 歸 模 式 , 以 遞 迴 最 小 平 方 法 進 行 線 上 程 序 參 數 估 測 。 本 論 文 章 節 架 構 包 括 : 第 二 章 介紹 遞 迴 最 小 平 方 估 測 法 [19], 第 三 章 以 後 向 差 分 近 似 微 分 運 算 推 導 受 控 程 序 的 回 歸 模 式 , 第 四 章 模 擬 驗 證 所提 方 法 的 有 效 性 , 最 後 總 結 前 述 結 果 並 提 出 未 來 可 再 進 一 步 研 究 的 方 向 。考 慮 下 列 簡 單 回 歸 模 式 (Regression model):2. 遞 迴 最 小 平 方 估 測Tyt () = ϕ1() tθ1() t + ϕ2() tθ2() t + L + ϕn() tθn() t = ϕ() t θ()t(1)式 中 ,yt (): 觀 測 變 數 (Observed variable)θi() t : 估 測 參 數 (Estimated parameter)ϕi() t : 回 歸 變 數 (Regression variable or Regressors)θ () t = [ θ1() t θ2() t L θn() t ]ϕ() t = [ ϕ () t ϕ () t L ϕ () t ]1 2n定 義 residuals ε () i 為Tε () t = y() t − yˆ() t = y() t − ϕ () t ˆ θ()t(2)式 中 , yˆ( t ) 和ˆ( θ t)分 別 是 經 鑑 別 獲 得 的 觀 測 變 數 值 和 估 測 參 數 值 。 導 入 下 列 式 子 :

332鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義Y() t = [ y(1) y(2) L y()]tEt () = [ ε(1) ε(2) L ε()]tT⎡ϕ(1) ⎤⎢ ⎥Φ () t = ⎢ M ⎥⎢Tϕ () t ⎥⎣ ⎦tT−1⎛T ⎞Pt () = [ Φ () tΦ ()] t = ⎜ ∑ϕ() iϕ() i ⎟⎝ i=1 ⎠−1可 定 義 平 方 誤 差 為tt2T ˆ( ) 2 T2∑ ∑ (3)ˆ 1 1 1 1V( θ, t) = ε( i) = y( i) − ϕ ( i) θ( i) = E ( t) E( t)= E2 2 2 2i= 1 i=1式 中Et () = Yt () − Yt ˆ() = Yt () −Φ () t ˆ θ()t滿 足 最 小 化 平 方 誤 差 的 參 數ˆ( θ t)可 表 示 為T() () $TΦ t Φ t θ () t =Φ () t Y()t(4)假 如 矩 陣 ΦT () t Φ()t 為 非 奇 異 (Nonsingular), 而 且 只 有 唯 一 最 小 值 , 可 得1$ T−Tθ() t = ⎡⎣Φ () t Φ() t ⎤⎦ Φ () t Y()t (5)在 線 上 進 行 即 時 參 數 估 測 , 新 的 觀 測 數 據 源 源 不 斷 而 來 , 可 利 用 這 些 新 的 觀 測 數 據 不 斷 改 善 參 數 估 測 。如 果 僅 採 用 式 (5) 一 次 估 算 公 式 反 覆 進 行 運 算 , 顯 然 不 太 實 際 , 這 是 因 為 矩 陣 Φ () t 的 維 數 將 隨 著 數 據 點 數的 增 加 而 不 斷 上 升 , 矩 陣 ΦT () t Φ()t 的 逆 運 算 過 程 也 愈 來 愈 困 難 。 另 外 由 於 儲 存 的 舊 數 據 要 保 留 , 而 新 數 據又 不 斷 增 加 , 儲 存 量 也 愈 來 愈 大 , 為 了 使 最 小 平 方 法 得 以 應 用 在 實 際 控 制 或 節 省 計 算 時 間 , 對 於 線 上 參 數估 測 必 須 使 用 遞 迴 最 小 平 方 演 算 法 。令 ˆ( θ t − 1) 表 示 時 間 t − 1 時 的 估 測 值 , 並 假 設 Φ T () t Φ () t 矩 陣 對 於 所 有 時 間 t 均 為 非 奇 異 ,ˆ( θ t)可 以 下 列遞 迴 方 程 式 獲 得 :( )$ $ Tθ() t = θ( t− 1) + K() t y() t −ϕ () t $ θ( t−1)(T( ϕ )TKt () = Pt ( − 1) ϕ() t I+ ϕ () tPt ( −1) ϕ()tPt () = I−Kt () () t Pt ( −1)1) −(6)上 述 遞 迴 演 算 法 的 一 個 顯 著 特 點 是 , 對 於 所 有 估 測 數 據 的 加 權 是 相 同 的 , 這 就 表 示 舊 數 據 和 新 數 據 對於 參 數 估 測 所 提 供 的 信 息 同 樣 重 要 , 如 果 被 估 測 的 參 數 是 未 知 常 數 , 那 這 種 方 法 是 合 理 的 , 但 是 當 被 估 測

線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測 333的 參 數 會 隨 時 間 緩 慢 變 化 , 上 述 遞 迴 演 算 法 就 不 能 反 映 出 參 數 時 變 的 特 點 。 因 此 需 要 一 種 能 跟 蹤 參 數 變 化的 遞 迴 演 算 法 , 其 特 點 是 將 誤 差 準 則 由 等 加 權 改 成 指 數 加 權 , 所 以 式 (3) 改 寫 成tt iT∑ ()−ˆ 1V( θ, t) = λ y( i) −ϕ ( i) θ( i)2i=12ˆ (7)式 中 , λ (0 < λ ≤ 1) 表 示 加 權 係 數 。 因 當 λ < 1時 , 對 愈 舊 的 數 據 所 加 的 權 重 愈 小 , 相 當 於 舊 數 據 逐 漸 被遺 忘 , 因 此 λ 稱 為 遺 忘 因 子 (Forgetting factor)。 具 有 遺 忘 因 子 的 參 數 估 測 遞 迴 方 程 式 如 下 :( )$ $ Tθ() t = θ( t− 1) + K() t y() t −ϕ () t $ θ( t−1)(T( ϕ )TKt () = Pt ( − 1) ϕ() t λI+ ϕ () tPt ( −1) ϕ()tPt () = I−Kt () () t Pt ( −1)/λ1) −(8)由 於 當 無 更 新 的 輸 出 入 數 據 時 , 將 導 致 遞 迴 最 小 平 方 演 算 法 發 散 , 須 導 入 常 數 追 踨 運 算 (constant-tracealgorithm), 以 增 加 估 測 運 算 的 強 健 性 (robustness)[19]。3. 回 歸 模 式 系 統 推 導本 章 以 後 向 差 分 公 式 近 似 微 分 運 算 來 推 導 一 階 及 二 階 線 性 系 統 之 回 歸 模 式 並 建 立 回 歸 模 式 與 受 控 程 序參 數 的 關 係 式 , 其 中 一 階 線 性 系 統 包 括 穩 態 增 益 ( K P ) 和 時 間 常 數 (τ ) 兩 個 參 數 。 而 二 階 線 性 系 統 則 包括 描 述 受 控 程 序 轉 移 函 數 之 分 子 和 分 母 多 項 式 的 4 個 係 數 。ut ()yt ()G () sP圖 1開 迴 路 系 統3.1 一 階 線 性 系 統考 慮 圖 1 所 示 之 開 迴 路 系 統 , 圖 中 , GP () s 是 受 控 程 序 的 轉 移 函 數 , 且 ut () 和 yt () 分 別 為 開 迴 路 系 統 輸入 和 輸 出 變 數 。 令 受 控 程 序 為 一 階 線 性 系 統 , 即dy()tτ + y() t = KPu()t(9)dt式 中 ,τ 和K P 分 別 是 時 間 常 數 和 穩 態 增 益 , 對 應 之 受 控 程 序 的 轉 移 函 數 可 表 示 為KPGP() s =τ s + 1(10)於 時 間T i, 以 後 向 差 分 近 似 微 分 運 算 , 即

334鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義dy()tdtt=Ti=yT (i) − yT (i−ΔT)Δ T(11)式 中 , ΔT 為 取 樣 時 間 , 則 式 (9) 可 改 寫 為τ yT ( ( )1) KipΔTu T−iyT (i) = +τ +Δ T τ +ΔT(12)將 式 (12) 以 簡 單 回 歸 模 式 表 示 如 下 :y( T) = ϕ ( T) θ ( T) + ϕ ( T) θ ( T)(13)i 1 i 1 i 2 i 2 iτKP式 中 , θ 1( T i) = 、 θ 2( Ti) = 、 ϕ 1( Ti) = y( Ti−1) 和 ϕ2τ +Δ T τ +Δ T( T ) ( )i= Δ Tu T i 。 經 由 受 控 程 序 輸 出 數 據 y( Ti− 1)和 輸 入 數 據 uT ( i), 利 用 遞 迴 最 小 平 方 法 運 算 , 吾 人 可 得 θ ( ) 1T i 和 θ ( ) 2T i 。 同 時 , 程 序 參 數 τ 和 K P 可 獲 得 如 下 :τΔTθ( T)1 θ ( T1 i= − )(14a)1i和KΔTθ( T)2 iP=1 − θ1(Ti)(14b)3.2 二 階 線 性 系 統再 次 考 慮 圖 1 所 示 之 開 迴 路 系 統 , 其 中 受 控 程 序 為 二 階 線 性 系 統 , 其 轉 移 函 數 表 示 如 下 :bs+ b bs+1GP()s = = Ks + as+ a as + as+11 0 12 P 21 0 2 1(15)式 中 , a0、 a1、 b0和 1 均 為 常 數 且 ab21/ a0轉 移 函 數 , 其 對 應 的 二 階 系 統 可 以 如 下 微 分 方 程 表 示 := 、 a = a / a1 1 0、 b = b / b1 1 0 和 KP= b0 / a0。 以 式 (15) 表 示 的2d y() t dy() t du()t2 1 0 1 0+ a + a y() t = b + bu()t (16)dt dt dt於 時 間T i, 以 後 向 差 分 近 似 微 分 運 算 , 整 理 過 後 , 式 (16) 可 表 示 成

線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測 3352+ a ΔT1yT yT yT1(i) = (2 i−1) −(2 i−2)1+ a1Δ T + a0Δ T 1+ a1Δ T + a0ΔTbΔ T + b ΔT bΔT+ ( ) −uT (i−1)1+ Δ + Δ 1+ Δ + Δ21 0 1uT2 i2a1 T a0 T a0 T a0T(17)將 式 (17) 以 簡 單 回 歸 模 式 表 示 如 下 :y( T) = ϕ ( T) θ ( T) + ϕ ( T) θ ( T) + ϕ ( T) θ ( T) + ϕ ( T) θ ( T )(18)i 1 i 1 i 2 i 2 i 3 i 3 i 4 i 4i式 中 ,14 i21 a0 T a0T2 + a ΔT1θ ( T ) = + Δ + Δ、 θ2( T i) =−21 + a Δ T + a Δ T、11 i21 a1 T a0T1 0θbΔ T + b ΔT= + Δ + Δ、21 03( Ti)21 a1 T a0TbΔTθ ( T ) =− + Δ + Δ、 ϕ ( T ) y( T )、 ϕ ( T) = y( T )、 ϕ ( 3T ) = u ( T ) 和 ϕ ( 4T ) u ( T ) 。 經 由 受 控 程 序1 i=i−12 ii−2輸 出 數 據 ( y( Ti− 1)、 y( T i − 2)) 和 輸 入 數 據 ( uT (i − 1)、 uT ( i)), 利 用 遞 迴 最 小 平 方 法 運 算 , 吾 人 可 得 θ ( ) 1T i 、 θ 2( T i)、θ ( ) 3T i 和 θ ( ) 4T i 。 同 時 , 程 序 參 數 a0、 a1、 b0和 b1可 進 而 計 算 如 下 :iii=i−1θ ( T) + θ ( T) −1a =1 i 2 i0 2θ2( Ti) Δt(19a)θ1( Ti) + 2 θ2( Ti)a1=−θ ( T)Δt2i(19b)θ ( T) + θ ( T)b =−3 i 4 i0 2θ2( Ti) Δt(19c)和θ4( Ti)b1=θ ( T)Δt2i(19d)4. 模 擬 結 果考 慮 圖 二 的 單 回 饋 閉 迴 路 控 制 系 統 , 圖 中 , GP () s 和 GC() s 分 別 是 受 控 程 序 和 控 制 器 的 轉 移 函 數 , 且 rt ()和 yt () 分 別 為 閉 迴 路 系 統 設 定 點 和 輸 出 變 數 , et () = rt () − yt () 和 ut () 分 別 為 控 制 器 輸 入 和 輸 出 變 數 。 假 設GC () s為 PID 控 制 器 , 即1GC()s = KC + KI+ KDs(20)s式 中 ,K C 、K 和 K 分 別 是 比 例 增 益 、 積 分 增 益 和 微 分 增 益 。 底 下 , 將 針 對 一 階 線 性 系 統 和 二 階 線 性I系 統 , 模 擬 鑑 別 回 歸 模 式 並 估 測 受 控 程 序 參 數 。D

336鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義rt () et ()ut ()y()tG () s G () sC P圖 2單 回 饋 閉 迴 路 控 制 系 統 圖4.1 一 階 線 性 系 統考 慮 一 階 線 性 系 統 的 轉 移 函 數 , 其 τ = 2 和 K = 6 , 即PGP6() s =2s+ 11000 1令 模 擬 初 值 設 定 條 件 如 下 : θ 1= θ 2= 0.1 、 Δ T = 0.005 秒 、 P = ⎡ ⎤⎢1 1000 ⎥⎣ ⎦ 、 λ = 0.9 , 控 制 器 參 數 為K C = 0.5 、 K I = 1、 K D = 0 , 且 設 定 點 rt () 於 0.1 秒 時 給 予 單 位 階 梯 輸 入 。 圖 3 為 閉 迴 路 輸 出 yt ()、 設 定 點rt () 和 控 制 器 輸 出 ut () 隨 時 間 的 變 化 圖 形 。1.21yt ()rt ()0.80.60.4ut ()0.200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10圖 3 受 控 程 序 統 輸 出 yt ()、 設 定 點 rt () 和 控 制 器 輸 出 ut () 響 應 圖利 用 yt ()、 ut () 及 遞 迴 公 式 (8), 可 獲 得 回 歸 模 式 之 參 數 θ () t 1 值 和 θ () t 2 值 。 圖 4 和 圖 5 分 別 為 參 數 θ () t 1和 θ () t 2 隨 時 間 的 變 化 圖 形 。 將 θ () t 1 和 θ () t 2 代 入 式 (14), 可 獲 得 程 序 參 數 τ 和 K P 隨 時 間 的 變 化 圖 形 , 如 圖T 1T 16 和 圖 7 所 示 。 觀 察 圖 4, θ 1 由 0.1 開 始 增 加 , 於 i =0.12 秒 時 , θ 為 0.842629, i =0.125 秒 時 , θ 為 1.002729,Ti1=0.140 秒 時 , θ 達 最 大 值 1.113286, Ti=0.500 秒 時 , θ 1 降 至 約 為 1.002729, Ti=0.505 秒 時 , θ 1 為 0.999832,然 後 θ 1 逐 漸 收 歛 於 0.997500, 如 表 1 所 示 。 由 式 (14) 得 知 , 當 θ1 ≈ 1時 ,τ 和 KP 有 正 或 負 的 極 大 或 小 值 。為 了 清 楚 呈 現 τ 和KP 隨 時 間 變 化 情 形 , 於 圖 6 和 圖 7 中 , τ 和 KP 上 下 限 分 別 設 定 為 [-5, 5] 和 [-10, 10], 因 此未 繪 出 τ 和 K 於 T =0.500 秒 和 T =0.500 秒 時 之 估 測 值 , 其 估 測 值 如 表 1 所 示 。 另 , 為 比 較 估 測 參 數 的 正 確性 , 定 義 相 對 誤 差 如 下 :Pii

線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測 337正 確 值 - 估 測 值相 對 誤 差 = ×100%正 確 值程 序 參 數 的 正 確 值 、 估 測 值 和 相 對 誤 差 , 如 表 2 所 示 。 由 表 2 得 知 , 本 論 文 提 出 的 方 法 , 可 準 確 估 測程 序 參 數 τ 和KP 。表 1 回 歸 參 數 θ 1 、 程 序 參 數 τ 和 K P 隨 時 間 變 化 簡 表取 樣 時 間 ( T i )回 歸 參 數 θ 1程 序 參 數 τ 程 序 參 數 K P0 0.100000 0.000555556 0.0005555560.120 0.842629 0.0267720 0.007328270.125 1.002729 -1.837190 -0.4239880.140 1.113286 -0.0491362 -0.009776120.500 1.000012 − 405.705395− 997.9061410.505 0.999832 29.808573 74.28043210.000 0.997500 1.995251 6.000001表 2程 序 參 數 相 對 誤 差 比 較 表程 序 參 數 正 確 值 估 測 值 相 對 誤 差τ 2 1.995251 0.23745%5K 6 6.000001 1.666667×10 − %P1.23.51θ1= 0.9975000.8θ 0.6() t 10.432.5θ2= 2.9996242θ () t 21.510.20.500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10圖 4 θ1 參 數 估 測 圖 圖 5 θ2 參 數 估 測 圖

338鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義543τ = 1.99525110862142K = 6.000001Pτ0K P0-1-2-2-4-3-6-4-8-50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Time (Second)圖 6 τ 參 數 估 測 圖 圖 7K p 參 數 估 測 圖4.2 二 階 線 性 系 統考 慮 二 階 線 性 系 統d 2y () t dy () t du () t2 1 0 1 0+ a + a y() t = b + bu()tdt dt dt式 中 , a0= 3、 a1= 2、 b0= 2、 b0= 10 和 b1= 10。 令 模 擬 初 值 設 定 條 件 如 下 : θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = 0.1、 Δ T = 0.001⎡1000 1 1 1 ⎤⎢1 1000 1 1⎥秒 、 P = ⎢⎥⎢⎢、1 1 1000 1 ⎥λ = 0.9, 控 制 器 參 數 為 K C = 1、 K I = 0.2、 K D = 0 , 且 設 定 點 rt () 於 0.1⎥⎣ 1 1 1 1000⎦秒 時 給 予 單 位 階 梯 輸 入 。 圖 8 為 閉 迴 路 輸 出 yt ()、 設 定 點 rt () 和 控 制 器 輸 出 ut () 隨 時 間 的 變 化 圖 形 。1.61.4ut ()1.21yt ()rt ()0.80.60.40.200 5 10 15 20 25 30 35 40圖 8 受 控 程 序 輸 出 yt ()、 設 定 點 rt () 和 控 制 器 輸 出 ut () 響 應 圖利 用 yt ()、 ut () 及 遞 迴 公 式 (8), 可 獲 得 回 歸 模 式 之 參 數 θ () t 1 、 θ () t 2 、 θ () t 3 和 θ () t 4 值 。 圖 9 ~ 圖 12 分別 為 參 數 θ () t 1 、 θ () t 2 、 θ () t 3 和 θ () t 4 隨 時 間 的 變 化 圖 形 。 將 θ () t 1 、 θ () t 2 、 θ () t 3 和 θ () t 4代 入 式 (19), 可 獲得 二 階 系 統 參 數 a0、 a1、 b0和 b1隨 時 間 的 變 化 圖 形 , 如 圖 13 ~ 圖 16 所 示 。 觀 察 圖 10, θ 2 由 0.1 開 始 增

線 性 非 時 變 系 統 之 即 時 參 數 估 測 339加 , 於 T i = 0.119 秒 , θ 2 達 最 大 值 0.478702, 然 後 於 T i = 0.255 秒 , θ 2 降 至 0.0169273, T i = 0.256 秒 , θ 2 為-0.0174110, 隨 後 逐 漸 收 歛 於 -0.997917, 如 表 2 所 示 。 由 式 (19) 得 知 , 當 θ2 ≈ 0 時 , a0、 a1、 b0和 b1有正 或 負 的 極 值 。 為 了 清 楚 呈 現 a0、 a1、 b0和 b1隨 時 間 變 化 情 形 , 圖 12 ~ 圖 15 中 , a0、 a1、 b0和 b1上 下限 均 設 定 為 [-10, 20], 因 此 未 繪 出 a0、 a1、 b0和 b1於 T i = 0.255 秒 和 T i = 0.256 秒 附 近 之 估 測 值 , 其 估 測 值 如表 3 所 示 。 表 4 呈 現 程 序 參 數 的 正 確 值 、 估 測 值 和 相 對 誤 差 值 , 由 此 表 得 知 , 本 論 文 提 出 的 方 法 , 估 測獲 得 的 程 序 參 數 其 準 確 性 均 在 合 理 的 範 圍 。取 樣 時 間表 3 回 歸 參 數 θ 2 、 程 序 參 數 a0、 a1、 b0和 b1隨 時 間 變 化 簡 表( T i ) 回 歸 參 數 θ 2 程 序 參 數a 0 程 序 參 數 a 1 程 序 參 數 0b 程 序 參 數0 0.100000 -8000000 -3000 -2000000 10000.119 0.478702 -3388.931302 -3085.594325 -30428.776084 27.6686190.255 0.0169273 -132407.036598 -59943.853424 -618233.408600 663.3459730.256 -0.0174110 124564.535941 56310.530134 580894.604736 -633.27133140 -0.997917 3.075761 2.084728 2.158161 9.943501b 1表 4程 序 參 數 相 對 誤 差 比 較 表程 序 參 數 正 確 值 估 測 值 相 對 誤 差a03 3.075761 2.525367%a12 2.084728 4.236400%b02 2.158161 7.908050%b110 9.943501 0.564990%a10.666667 0.677793 1.668888%a20.333333 0.325123 2.463163%b15.000000 4.769687 4.606251%KP0.666667 0.701667 5.250099%2.221.81.61.4θ1= 1.9979130.60.40.20() t 11.21() t 2-0.2-0.4θ 0 5 10 15 20 25 30 35 40θ2 0.9979170.80.60.40.200 5 10 15 20 25 30 35 40-0.6-0.8-1-1.2θ =−圖 9 θ1 參 數 估 測 圖 圖 10 θ2 參 數 估 測 圖

340鄭 淑 芬 、 李 壽 昇 、 黃 家 偉 、 郭 東 義0.120.120.10.10.080.08() t 30.060.04θ () t 40.060.04θ30.009924940.02θ =0.0200θ4=−0.00992278-0.020 5 10 15 20 25 30 35 40-0.020 5 10 15 20 25 30 35 40Time (Second)圖 11 θ3 參 數 估 測 圖 圖 12 θ4 參 數 估 測 圖2020151510105a a00= 3.0756615a a1= 2.084728100-5-5-100 5 10 15 20 25 30 35 40Time (Second)-100 5 10 15 20 25 30 35 40圖 13a0 參 數 估 測 圖圖 14 a 1 參 數 估 測 圖202015101510b1= 9.9435015b b0= 2.1581610b 1500-5-5-100 5 10 15 20 25 30 35 40-100 5 10 15 20 25 30 35 40Time (Second)圖 15b0 參 數 估 測 圖圖 16 b 1 參 數 估 測 圖5. 結 論本 論 文 著 重 於 受 控 程 序 參 數 的 即 時 估 測 , 藉 由 被 估 測 出 的 程 序 參 數 , 可 結 合 現 有 控 制 器 設 計 準 則 來 自動 調 諧 控 制 器 參 數 , 以 達 到 要 求 的 控 制 性 能 。 由 模 擬 範 例 結 果 得 知 , 不 管 是 一 階 線 性 系 統 , 或 是 二 階 線 性系 統 , 除 在 起 始 化 過 程 , 估 算 程 序 參 數 的 有 劇 烈 震 盪 外 , 可 快 速 獲 得 參 數 估 測 值 且 估 測 參 數 的 準 確 性 均 在合 理 的 範 圍 。 本 論 文 所 探 討 的 受 控 程 序 為 線 性 系 統 , 未 來 將 延 伸 至 含 時 延 程 序 系 統 , 使 其 結 果 更 為 實 用 。

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