Модуль 12. Основні теореми диференціального ... - Uuooidata.org

Модуль 12. Основні теореми диференціального численняf ( b) f ( a) f ( )( b a)ще звуть Лаґранжовою формулою. Якщо в Лаґранжовій формулі покластиf ( a) f ( b),одержимо Ролєву теорему, тобто Ролєва теорема є окремий випадокЛаґранжової.Покладімо в Лаґранжовій формулі a x0, b x0 x.Тоді вона набудевиглядуf ( x0 x) f ( x0) f ( ) x, x0; x0 x .Оскільки формула дає точний зв’язок приросту функції і приросту аргументу,її ще звуть формулою скінченних приростів (вказати точку часто не можливо).Вправа 12.2. Довести нерівність arctga arctg b a b .Розв’язання вправи 12.2. див. у п. 12.4.5.12.3. Розкриття невизначеностей (правила Бернуллі — Лопіталя)Теорема 12.5 Якщо функції f та g означені в околі точки x 0,f ( x0) g( x0) 0, існують скінченні похідні g( x0) 0та f ( x0),то існує0f( x) f ( x0)lim .g( x) g ( x )x x0f ( x) f ( x0)f ( x) x x0f ( x0) lim lim . x x0 g( x) x x0g( x) g( x0)g ( x0)x xТеорема 12.6(1-е правило Бернуллі — Лопіталя). Якщо:1) функції f та g диференційовні в ( a; b );2) x ( a; b) : g( x) 0;3) lim f ( x) lim g( x) 0;x a 0 x a0f ( x)4) lim L,x a0g( x)тоf( x) lim L.x a0g( x)Доведення теореми 12.6 див. у п. 12.4.6.Теорема 12.7 (2-е правило Бернуллі — Лопіталя). Якщо:1) функції f та g диференційовні в ( a; b );2) x ( a; b) : g( x) 0;0