Lý thuyết và bài tập ứng dụng Giới Hạn - Ngọc Huyền

Phân tích: Câu hỏi đặt ra là tại sao ta lại đặt v
nhân? Ta có kết quả tổng quát sau.
n
1
un
để thu được kết quả dãy v n là cấp số
2
Cho dãy số u n xác định bởi u1
a, u n 1
ru n
s với n 1 , trong đó rs , là các hằng số và
r 1, s 0 . Khi đó dãy số v với v
n
n
s
un
là một cấp số nhân có công bội r .
r 1
s s rs s
Thật vậy, ta có v
1 u
1 ru s ru r u
rv
r 1 r 1 r 1 r 1
n n n n n n
n
( Nếu r 1 thì u là một cấp số cộng, 0
s thì
u là một cấp số nhân).
Như vậy, dãy số u n xác định bởi u1
a, u n 1
ru n
s với n 1 , trong đó rs , là các hằng số
n
và r 1, s 0 sẽ có giới hạn vô cực nếu r 1 , có giới hạn hữu hạn nếu r 1 .
u ru s
n1
n
Đặt
v
n
s
un
r 1
……………….
u1
a, u n 1
ru
n
s
n
+ r 1: u có giới hạn .
n
+ r 1: u có giới hạn .
r : u
+ 1
n
có giới hạn hữu hạn bằng
STUDY TIP
s
r 1
.
Ví dụ 22. Cho dãy số u n xác định u1 0 , u2 1, un
1
2un un
1 2 với mọi n 2 . Tìm giới hạn của
dãy số u n .
A. 0 . B. 1 . C. . D. .
Đáp án D.
n
Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số u có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là
hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay
vô cực.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L .
Lời giải
Ta có: limun
1
2limun limun
1 2 L 2L L 2 0 2 (Vô lý)
Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy
chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.