Lý thuyết và bài tập ứng dụng Giới Hạn - Ngọc Huyền

Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d, mẫu thức
là tổng của n+k số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có công sai d ’ thì phân thức có giới hạn là
'
d
d ,
ik .
Ví dụ 2:
2 3
3 3 3 ... 3
2
n
lim 1 2 2 ... 2
n
bằng:
A. . B. 3. C. 3 2 . D. 2 3 .
Chọn A
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân u với u1 3 và q 3.
n
2 3 3 1 3
31 2
n
n
Do đó 3 3 3 ... 3 3. 3 1
.
Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân v với v 1 và q 2 . Do đó
n1
2 n 2 1
n1
1 2 2 ... 2 2. 2. 2 1 .
21
Vậy
3 1
2 3
n
n
3 3 3 ... 3 3 3 1 3
2 3
lim lim . lim
.
2 n
n1
n
1 2 2 ... 2 4 2 1 4 1
2
3
Cách 2: Nhập vào màn hình
hình là 2493,943736.
Do đó chọn đáp án A.
Bổ sung: (Định lí kẹp)
Xét ba dãy số
n
u , v ,
limu lim
w L thì lim v L.
n
n
n
n
n
20
X 1
1000
X 1
2
3
X
X 1
n
n
n
, bấm = phím, ta thấy kết quả hiển thị trên màn
w . Giả sử với mọi n ta có u v w . Khi đó nếu có
n
n
n n n
Studytip:
Nếu tử thức là tổng của n+i số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội q 1, mẫu thức
là tổng của n k số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội
'
q 1 thì:
ức có giới hạn là nếu
q
'
q ;
ức có giới hạn là 0 nếu
q
'
q .
1 2 n
Ví dụ 3: lim ...
2 2 2
n 1 n 2 n n bằng
A. 0. B. 1 2 . C. 1 . D. .
3