Lý thuyết và bài tập ứng dụng Giới Hạn - Ngọc Huyền

Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số u n , với
u
n
3
n 2n1
4 3 2
n 3n 5n
6
bằng
A. 1. B. 0. C. .
D. 1 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4 4
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n ( n là bậc cao nhất của n trong phân thức),
ta được
1 2 1
3
n 2n1 3 4 0
lim un
lim lim n n n 0 .
4 3 2
n 3n 5n
6 3 5 6
1
1
2 3
n n n
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
n
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số u với u
A. 3 .
2
Chọn C.
n
3
3 2 1
n n
2
2n
n
, bằng
B. 0. C. .
D. 1.
Hướng dẫn giải
2 2
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho n ( n là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta
2 1
3 3n
3n 2n1
2
được
n n
3n
un
. Vậy lim u
2
n
lim
2n
n 1
.
2
2
n
3
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n ( n 3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta
được
2 1
3
2 3
lim lim n n 2 1
2 1 2 1
un
. Vì lim 3 3 0
2 1
2 3 , lim
2 0
và 0 với mọi
2
n n
n
n n n
2
n n
n nên theo quy tắc 3, limu n
.
3 2 1
n 3 2 1
2 3 3
n n
2 3
Cách 3: Ta có limun
lim lim n n n
.
2 1
1
Vì limn và
n 2
2
n n
2 1
3
2 3 3
lim n n 0
nên theo quy tắc 2, lim un
.
1
2
2
n
Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên.
STUDY TIP
Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức) ít
phải lập luận hơn cách 2 và cách 3.
Tổng quát:
n
Xét dãy số u với u
a n a n ...
a n a
i i1
i i1 1 0
n
k k1
bkn bk
1n ...
b1n b0
,
trong đó a, b 0
i
k