CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 9 (HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH, HUYỆN, THÀNH PHỐ QUA CÁC NĂM ĐẾN 2020)

Biến đổi phương trình (1):
2 2 2xy
( ) 2 2xy
x + y + = 1⇔ x + y − 1+ − 2xy
= 0
x+ y x+
y
2 2
Đặt x + y = S,
xy = P ta có phương trình: S
P
+ −2P− 1=
0
S
3 2 2
⇔ S + 2P −2SP − S = 0 ⇔ S( S −1) −2 P( S − 1) = 0 ⇔( S − 1)( S + S − 2 P) = 0 .
2
2
Vì S > 4 PS , > 0 suy ra S + S− 2P> 0. Do đó S = 1
Với x+ y = 1 thay vào (2) ta được: ( ) 2
1 = 1− y − y ⇔ y = 0, y = 3
2xy
x + y + 1 = x y 1 1 x y x y x y 0
x+
y
⇔ + + = − − ⇔ + + + =
Xét
2 2 2 2
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; ) ( 1; 0 ), ( 2;3)
c) Điều kiện: 0
xy ≠ .
xy = − .
⎧ 1 1 ⎧⎛
1⎞
⎛ 1⎞
x y 5 x+ + y+ = 5
+ + + = ⎪⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎪ x y ⎪⎝ x⎠ ⎝ y⎠
Hệ đã cho tương đương: ⎨
⇔ ⎨
2
Đặt
⎧⎛
1⎞
⎛ 1⎞
⎜x+ ⎟+ ⎜y+ ⎟=
S
⎪⎝
x⎠
⎝ y⎠
⎨
⎪⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
x+ . y+ = P
⎪⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎩ ⎝ x ⎠ ⎝ y⎠
Hệ trở thành:
2
⎧S
− 2P= 9 ⇔ = =
⎨
⎩S
= 5
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( xy)
d) Hệ tương đương với :
2
2 2 1 1
x y 1 ⎛ 1
2 2 x y
⎪ + + + = 9 ⎪⎛ ⎞ ⎞
⎪
+ + + =
x y
9
⎩ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎩⎝ x⎠ ⎝ y⎠
S
⎡ 1 1
⎢
x + = 2; y + = 3
x y
5, P 6 ⇔ ⎢
.
⎢ 1 1
⎢x
+ = 3; y + = 2
⎣ x y
⎛ 3± 5⎞⎛3±
5 ⎞
; = ⎜
1; , ;1
2 ⎟⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )
( )
⎧⎪ xy x + y x + y + xy = 30
⎨
⎪⎩ xy x + y + x + y + xy = 11
Đặt xy( x+ y) = a;
xy+ x+ y = b. Ta thu được hệ:
( y)
⎡ ⎧⎪ xy x + = 5
⎢⎨
⎧ab = 30 ⎡a = 5; b = 6 ⎢⎩⎪
xy + x + y = 6
⎨ ⇔
a b 11
⎢ ⇔
a 6; b 5 ⎢
⎩ + = ⎣ = =
⎢
⎧⎪
xy ( x + y)
= 6
⎢ ⎨
⎣⎪⎩ xy + x + y = 5
.
(không thỏa mãn điều kiện).
⎡ 3±
5
⎢x= 1; y =
⇔ ⎢ 2
⎢ 3±
5
⎢x= ; y = 1
⎣ 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL
.
.
.
.
24