CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 9 (HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH, HUYỆN, THÀNH PHỐ QUA CÁC NĂM ĐẾN 2020)

Dạng 10: Tích là số chính phương
*) Kiến thức:
- Tích hai số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì hai số đó là số chính phương
- HQ: Đặc biệt tích hai số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì phải 1 số bằng 0
Chứng minh:
Giả sử ab n ab ( ab)
Giải:
= 2 , , ∈ , , = 1
α
2
i
( i )
( )
⎧ a = p . p ... p = p . p ... p
n= p p p ⇒ ab= p p p ⇒⎨
⎪
⎩ = =
2α1 2α2 2αi
α1 α2
α
1 2 1 2
1 α2 αk
2α1 2α2
2α
⎪
i
k
1
.
2
...
k
1
.
2
...
k
2α 2
i+ 1 2αi+ 2 2αk αi+ 1 αi+
2 αk
b pi+ 1
. pi+ 2
... pk pi+ 1
. pi+
2
... pk
2
⎧ ⎪a=
k
a a+ 1 = n a∈ , a, a+ 1 = 1 ⇒⎨ mk , ∈
2
⎪⎩ a + 1 = m
2
Giả sử ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 ⎧m− k = 1 ⎧m=
0
⇒m − k = 1⇔( m− k)( m+ k)
= 1⇔ ⎨ ⇔ ⎨
⎩m+ k = 1 ⎩k
= 1
Giải phương trình nghiệm nguyên:
x + y = y
2 3 6
Bài 1:
Lời giải
Ta có phương trình ( 1)
3 3
Vì ( y , y − 1)
= 1
3 2
⎧ ⎪y
= a
⎨
3 2
⎪⎩ y − 1 = b
x + y = y ⇔ y − y = x ⇔ y y − = x
2 3 6 6 3 2 3 3 2
2 2
+ TH1: ( ab ) a b ( a b)( a b)
⎧a− b= 1 ⎧a=
1
⇒⎨
⇔ ⎨ ⇒ y = 1⇒ x=
0
⎩a+ b= 1 ⎩b=
0
, ∈ ⇒ − = 1 = − + = 1.1
3 2
⎧ ⎪y =−a ⎧b− a = 1 ⎧a
= 0
⎨ ⇒b − a = 1= a− b a+ b ⇒ x y 0
3 2
⎨ ⇔ ⎨ ⇒ = =
⎪⎩
y − 1 =−b
⎩b+ a = 1 ⎩b=
1
2 2
+ TH2: ( )( )
Giải phương trình với nghiệm nguyên dương
Phan tích: Gọi ( )
Giả sử
xy dd
⎧x
= dx
x y
⎩
Bài 2:
xy = z
2
Lời giải
+ 1
+
, = , ∈ , ⎨ ,
1,
1∈
y = dy1
x, y = 1⇒ d xy = z
và ( )
2 2
2 2 2 2
1 2 k i
1
1 1 1 1
d = p p .. p , p ∈ P, i = 1, k ⇒ z d ⇒ z d ⇒ z p ⇒ z p (cách làm này khó không được)
⎧x
= dx1
⎪
, , = , ∈ , ⎨ =
1, 1, 1, 1∈ ⇒
1, 1, 1
= 1
⎪
⎩z
= dz1
+ +
Giải: Gọi ( x y z) d d y dy x y z ( x y z )
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL
1