límits i continuïtat de funcions - matessantboianes

x + 3
029 Determina si la funció f( x)=
és contínua en x = −2 i x = 2.
2 x − 4
Solucionari
1
f( − 2)
= → No existeix f(
−2
) → La funció no és contínua en x = −2.
0
5
f( 2)
= → No existeix f(
2 ) → La funció no és contínua en x = 2.
0
030 Digues si la funció f( x)= x −3 és contínua en x = −3 i x = 0.
f( − 3) = ⏐− 6⏐= 6 → Existeix f(
−3)
.
lim ⏐x− 3⏐= ⏐− 6⏐= 6 → Existeix lim f( x).
x→−3 x→−3
f( − 3)
= lim f( x ) → La funció és contínua en x = −3.
x→−3
031 Determina si aquesta funció és contínua:
⎧ x
f( x)=
⎪ + 1
⎨
⎩
⎪ 2
⎪ x − 3
si x ≤−1
si x >−1
• Si x < − 1 → f ( x ) = x + 1 → f ( x ) és contínua en (−`, −1).
• Si x > − 1 → f ( x ) = x 2 − 3 → f ( x ) és contínua en (−1, +`).
• Si x = − 1 → f ( −1 ) = − 1 + 1 = 0 → Existeix f ( −1 ).
lim f( x) = lim ( x + 1) = 0
→
lim
lim f( x)
= limx
x→
x→
− +
⎫ ⎪
⎬
⎪ No existeix f( x).
2 ( − 3) =−2⎪
−1
⎪
1
⎭⎪
− −
x→−1 x→−1
+ x→
−1
La funció no és contínua en x = −1, té una discontinuïtat de salt finit en aquest
punt; per tant, f ( x ) és contínua en R − {−1}.
032 calcula a perquè aquesta funció sigui contínua en tot R.
⎧ ⎪
x + 1
f( x)=
⎪
⎨ x
⎪ 2
⎩⎪
− x + a
si x ≤−2
si x >−2
x
• Si x − 2 → f( x) =− x + a → f( x ) és contínua en ( − 2,
+ ` ) .
− 2+ 1 1
• Si x =− 2 → f ( x) = = → Existeix f ( −2)
.
−2
2
7
x + 1
lim f( x)
= lim =
− − x→−2 x→−2 x
1
2
lim f( x)
= limx
a a
+ x→−2
x→−
+
2 ( − + ) =− 4 +
2
f( x) és continua en x =− si:
f( − ) = f( x ) =
x − −
2
2 lim limf
x →
→ 2
x→−
a → a
+
( )
2
1
9
=− 4 + =
2
2
423