Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

8
Derivada d’una funció.
Números Càlcul reales de derivades
LITERATURA I MATEMÀTIQUES
La llibreta groga
Poques setmanes abans, l’Alexis [un pilot de cinquanta-dos anys] havia
coincidit a l’aeroport de Barcelona amb un antic company de joventut,
en Joaquim Subirós, cap de màrqueting d’un grup editorial. En
Subirós recordava que hi va haver un temps que l’Alexis s’havia sentit
atret seriosament per les matemàtiques. Així doncs, aprofitant aquella
trobada casual, li va recomanar amb vehemència un llibre singular que
la seva empresa tenia en fase de producció. En Subirós va insistir
que de cap manera se l’havia de perdre i es va oferir, tan aviat com
sortís, a enviar-li’n un exemplar.
El títol original de l’obra era Fermat’s last Theorem, d’un tal Simon
Singh, britànic d’origen panjabi, doctorat en Física per la Universitat
de Cambridge. [...]
Quinze dies més tard, n’adquiria l’edició anglesa a la Gotham Book
Mark del carrer 47 Oest, el santuari llibreter que acostumava a visitar
quan feia parada a Nova York. Després va demanar que li pugessin un
sopar fred a l’habitació. Sabia perfectament què l’esperava. No va poder
interrompre ni un moment la lectura compulsiva. Fins que cap a les
onze, amb una coïssor intensa als ulls, va tancar el llibre lentament.
Estava trastornat.
Estava posseït per una antiga i rovellada emoció [perquè havia llegit
que un matemàtic anomenat Wiles, després de set anys de treballar-hi
intensament, havia aconseguit demostrar per fi l’últim teorema de Fermat,
un fet que des del segle XVII ningú havia aconseguit. Ell, també,
quan era adolescent, quan va conèixer aquest misteriós teorema a través
d’un oncle i d’un professor de matemàtiques] es va convèncer que
estava predestinat a triomfar on les intel·ligències més grans del planeta
havien fracassat. [...] Però ja se sap que en el segment de l’adolescència
les prioritats canvien amb els climes de les estacions. De manera que
sense cap mena d’aspror ni de violència, entre la candidesa de l’Alexis
i la vella astúcia de Fermat es va interposar la passió de volar. L’Alexis va
substituir gradualment la voluntat d’indagació per l’afany d’experimentació.
[...]
El coneixement de la proesa de Wiles no el portava a doldre’s per una
hipotètica pèrdua, sinó a veure’s reflectit en la seva exemplaritat amb
una determinació que de manera immediata va calar en la profunditat
de la seva consciència: no cometria una altra vegada l’error o la covardia
de renunciar per res del món a la consecució d’un ideal (per anomenar-lo
d’alguna manera) que, cosa més que probable, seria l’últim
somni torbador de la seva vida.
Ro b e R t Sa l a d R i g a S

La llibreta groga
Robert Saladrigas
SOLUCIONARI
Al protagonista d’aquesta novel·la, l’Alexis Casas, de nen, un oncle seu –que era comerciant
amb ànima aventurera– li havia explicat la història de Pierre de Fermat, un magistrat de
l’Ajuntament de Tolosa, casat i pare de cinc fills, que dedicava el temps lliure a llegir llibres de
matemàtiques. En el marge d’un dels llibres que llegia, Fermat va escriure: «És impossible trobar
la manera de convertir un cub en suma de dos cubs, una potència quarta en suma de dues
potències quartes, o, en general, qualsevol potència més alta que el quadrat en suma de dues
potències de la mateixa classe; per a aquest fet he trobat una demostració excel·lent. El marge és
massa petit perquè aquesta demostració hi càpiga.» El magistrat no va publicar mai les seves
idees matemàtiques. Va ser un dels seus fills qui, després que el pare morís, arreplegant-les d’aquí
i d’allà, les va recopilar en un llibre, en el qual curiosament no surt cap prova de l’enunciat
anterior, mal anomenat teorema de Fermat, perquè, mentre no se’n descobreixi una demostració,
només és una conjectura.
Quan l’oncle va explicar aquesta història a l’Alexis –cap al 1955–, ningú havia aconseguit
demostrar-ho. Més endavant, quan un professor de Matemàtiques li va confirmar la història
d’aquell jutge, la imatge del qual l’Alexis confonia amb la del mosqueter Aramis, va sentir el desig
de dedicar-se a resoldre aquesta conjectura. Però, per damunt d’aquest somni, es va imposar
la passió de volar. Als cinquanta-dos anys, després de més de vint de treballar com a pilot, un dia
un amic li parla d’un llibre titulat L’enigma de Fermat. Quan el llegeix s’assabenta que un jove
matemàtic, anomenat Wiles, acaba de fer realitat, l’any 1994, el somni que tots dos havien tingut
en la infantesa. I aquest fet li fa canviar de vida.
La novel·la és el relat d’aquesta transformació, i hi apareixen força referències a les matemàtiques
que donen peu a plantejar diverses activitats didàctiques.
Fermat també va contribuir a desenvolupar el càlcul infinitesimal, amb uns resultats
interessants, com aquest: «Si una funció derivable té un extrem relatiu en un punt,
la seva derivada en aquest punt ha de ser nul·la.» Justifica aquest teorema.
Si x0 és un extrem relatiu d’una funció derivable, sigui un màxim o un mínim, la recta
tangent a aquesta funció per aquest punt és una recta horitzontal, és a dir, una recta amb
pendent igual a zero. Com que la derivada d’una funció en un punt coincideix amb el
pendent de la recta tangent en aquest punt, tenim que: f'( x ) =
0
0
8
473

474
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
ABANS DE COMENÇAR… RECORDA
001 Estudia la continuïtat d’aquestes funcions:
x
a) f( x)=−
2 x −1
b) gx ( )= x + 2 7 c) hx ( )= ln 3x
a) Contínua en R -- { 11 , } b) Contínua en R c) Contínua en ( 0 , +` )
002 Deriva les funcions següents:
a) f(x) = x9 b) f(x) = 7x c) f(x) = log5 x d) f( x)= x
a) f'( x)= 9 x 8 x
b) f'( x) = 7 ln7
c) f'( x)
=
x ln
1
5
ACTIVITATS
d) f'( x)=
x
1
2
001 Troba la taxa de variació mitjana d’aquestes funcions: f (x) = x 2 + 1 g(x) = x 3 + 7
en els intervals [0, 1] i [−2, −1].
f() 1 - f(
0)
a) TVM([
01 , ]) =
1-0 2 1
= 1
1
- =
f( - ) -f( - )
TVM([
- , - ]) =
--- ( )
= - 1 2
2 1
1 2
2 5
1
=-3
b) TVM([
01 , ]) =
g() 1 - g(
0)
8 7
=
1-0 1
1
- =
TVM([
- , - ]) =
g( - ) - g(
- )
=
--- ( )
( ) -- 2 1
1 2
1 2
6 1
1
= 7
002 L’espai, en metres, que recorre un mòbil en funció del temps, en segons, està
determinat per la fórmula e =
1 2 t + t . Troba’n la velocitat mitjana en [1, 5].
3
1
1
⋅ 25 + 5 - ⋅1-1 e( 5) - e()
1 3 3 12
TVM([
15 , ]) = =
= = 3 m/s
5-1 4
4
003 Calcula la derivada d’aquestes funcions en x = 2.
a) f (x) = 7x + 1 b) fx ( )=
x
1
2
f( 2+ h) -f(
2) 72 ( + h)
+ 1-15 7h
a) f'(
2)
= lim = lim = lim = 7
h→0 h
h→0
h
h→0
h
f( 2+ h) -f(
2)
b) f'(
2)
= lim
h→0 h
1 1
-
2 ( 2 + h)
4
= lim
h→0
h
2
4- ( 4+ 4h+
h )
= lim
=
h→0
2 4h( 2+
h)
2 -4h- h
= lim
h→02 4h( 2+
h)
-4- h
= lim
h→02
42 ( + h)
1
=-
4

004 Troba la derivada de les funcions en els punts x = 1 i x = 2.
a) f (x) = x 3 b) fx ( )= x
SOLUCIONARI
f( 1+ h) -f()
1
a) f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h)
- 1 3h+ 3h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3
h→0
2 3
f( 2+ h) -f(
2) f'(
2)
= lim
h→0 h
3 ( 2+ h)
- 8 12h+ 6h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 12 + 6h+ h ) = 12
h→0
f( 1+ h) -f()
1 1+ h - 1
b) f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0 h
h→0
+ -
=
( + + ) =
+ + =
1 h 1
1 1
lim lim
h→0 h→0
h 1 h 1 1 h 1 2
f( 2+ h) -f(
2) 2+ h - 2
f'(
2)
= lim = lim
=
h→0 h
h→0
h
= lim
( 2+ h - 2) ( 2+ h + 2)
( )
h 2+ h + 2
h→0
h→0
= lim
1
1
= =
2+ + 2 2 2
h→0 h
4
2
=
=
2 3
h 1+ h + 1
=
8
( 1+ h -1)
( 1+ h + 1)
( )
2+ h -2
lim ( ) =
h 2+ h + 2
005 Troba el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = 6x 2 + 1
en x = 1.
2
f( 1+ h) -f()
1 61 ( + h)
+ 1-7 12h+ 6h
f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 12 + 6h) = 12
h→0
006 Quin és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = x 3 en x = 1?
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h)
- 1 3h+ 3h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3
h→0
2 3
007 Determina l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) = x 2 + 3
en el punt P (−1, 4).
Quina és l’equació de la recta normal?
2
f( - 1+ h) -f( - 1) ( - 1+ h)
+ 3-
4 - 2h+
h
f'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( - 2+ h)
=-2
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 4 =- 2( x + 1) → y =- 2x + 2
1
1 9
L’equació de la recta normal és: y - 4 = ( x + 1)
→
y = x +
2
2 2
2
=
=
2
=
=
475

476
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
008 Calcula les equacions de les rectes tangents a la funció f (x) = 2x 3 + 3
en els punts x = 1 i x = −1.
Comprova que són paral·leles a la recta y = 6x.
f(1) = 5
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 21 ( + h)
+ 3-5 6h+ 6h = lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ 2h
2
= lim( 6+ 6h+ 2h ) = 6
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 5= 6( x - 1) → y = 6x - 1
2 3
f(-1) = 1
3
f( - 1+ h) -f( - 1) 2( - 1+
h)
+ 3- 1 6h- 6h + 2h
f'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
= lim( 6- 6h+ 2h ) = 6
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 1= 6( x + 1) → y = 6x + 7
Les rectes són paral·leles a la recta y = 6x perquè el seu pendent és 6.
009 Calcula les derivades laterals de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 2.
⎧ x + x <
fx ( )= ⎨
⎪2
1 si 2
⎩⎪ x + 3 si x ≥2
+ f( 2+ h) -f(
2) ( 2+ h)
+ 3-5 h
f'(
2 ) = lim = lim = lim = 1
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) 22 ( + h)
+ 1-
5 2h
f'(
2 ) = lim = lim = lim = 2
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 2.
=
2 3
010 Troba les derivades laterals de les funcions següents en el punt d’abscissa x = 0.
1
a) fx ( )= x 3
4
b) f(x) = x
f( 0 h) f ( 0)
h 3
+ + -
1
a) f'(
0 ) = lim = lim = lim =+`
+ + +
h→0 h
h→0 h h→0
2
h 3
f( 0 h) f ( 0)
h 3
- + -
1
f'(
0 ) = lim = lim = lim =-`
− − −
h→0 h
h→0 h h→0
2
h 3
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 0.
4
+ f( 0+ h) -f(
0)
h
b) f'(
0 ) = lim = lim = lim
+
h→0 h
h→0 h h→
+ + 0 4 3
1
1
1
h
=+`
f'( 0 ) - no existeix, perquè h és un nombre negatiu i la funció no està definida
per a nombres negatius → f (x) no és derivable en x = 0.
=

SOLUCIONARI
011 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d’aquesta funció en el punt x = 2.
⎧ x +
fx ( )= ⎨
⎪ 1
2
⎩⎪ x −1 si x < 2
si x ≥2
2
lim ( x + 1) = lim ( x - 1) = 3= f ( 2)
→ f (x) és contínua en x = 2.
+ −
x→2 x→2
2
+ f( 2+ h) -f(
2) ( 2+ h)
-1-3 4h+
h
f'(
2 ) = lim = lim = lim
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 4+ h)
= 4
+ h→0
- f( 2+ h) -f(
2) ( 2+ h)
+ 1-3 h
f'(
2 ) = lim = lim = lim = 1
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals existeixen però són diferents; per tant, f (x) no és derivable
en x = 2.
012 Determina si la funció f(x) = ⏐x + 2⏐ és contínua i derivable en els punts següents.
a) x = 0 b) x = −2 c) x = 3 d) x = −5
a) lim ( x + 2) = lim ( x + 2) = 2= f(
0)
→ f (x) és contínua en x = 0.
+ −
x→0 x→0
+ f( 0+ h) -f(
0) ( 0+ h)
+ 2-2 h
f'(
0 ) = lim = lim = lim = 1
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
- f( 0+ h) -f(
0) f'(
0 ) = lim
− h→0 h
( 0+ h)
+ 2-2 h
= lim = lim
−
−
h→0
h
h→0
h
= 1
Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = 0.
b) lim ( x + 2) = lim ( -x - 2) = 0 = f ( -2)
→ f (x) és contínua en x = -2.
+ −
x→-2 x→-2
+
f( - 2+ h) -f( - 2) ( - 2 + h)
+ 2 h
f'(
- 2 ) = lim = lim = lim
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→
0 h
= 1
f( h) f ( )
h
f'(
) lim lim
h h
h
(
- - 2+ - - 2 -- 2 + ) - 2
- 2 =
=
− −
→0 →0
h
- h
= lim
h→0 h
=-1
−
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x) no és derivable
en x = -2.
c) lim( x + 2) = lim ( x + 2) = 5= f ( 3)
→ f (x) és contínua en x = 3.
+ −
x→3 x→3
+ f( 3+ h) -f(
3) f'(
3 ) = lim
+ h→0 h
( 3+ h)
+ 2-5 h
= lim = lim
+
+
h→0
h
h→0
h
= 1
- f( 3+ h) -f(
3) f'(
3 ) = lim
− h→0 h
( 3+ h)
+ 2-5 h
= lim = lim
−
−
h→0
h
h→0
h
= 1
Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = 3.
d) lim ( -x - 2) = lim ( -x - 2) = 3= f ( -5)
→ f (x) és contínua en x = -5.
+ −
x→-5 x→-5
f( h) f ( )
h
f'(
) lim lim
h h
h
(
+ - 5+ - - 5 -- 5 + ) -2- 3
- 5 =
=
+ +
→0 →0
h
- h
= lim
h→ 0 h
=-1
+
f( h) f ( )
h
f'(
) lim lim
h h
h
(
- - 5+ - - 5 -- 5 + ) -2- 3
- 5 =
=
− −
→0 →0
h
- h
= lim
h→0 h
=-1
−
Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = -5.
2
=
8
477

478
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
013 Troba la funció derivada de f(x) = 3x 2 + 1 aplicant la definició. A partir del resultat,
calcula la derivada de f(x) en aquests punts:
a) x = 1
b) x = 2
2
2
f( x + h) -f(
x ) 3( x + h)
+ 1-( 3x - 1) 6hx + 3h
f'( x)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 6x + 3h) = 6 x
h→0
a) f'( 1) = 6
b) f'( 2) = 12
014 Fes servir la definició per calcular la funció derivada de la funció f(x) = x 3 + x 2 .
Després, calcula les derivades successives.
Existeixen totes fins a la derivada n-èsima?
f( x + h) -f(
x )
f'( x)
= lim
h→0 h
3 2 3 2
( x + h) + ( x + h)
- ( x + x )
= lim =
h→0
h
2 2 3 2
3hx + 3h x+ h + 2hx
+ h
= lim
h→0
h
=
2 2 2
= lim(
3x + 3hx + h + 2x + h) = 3x + 2x
h→0
2
2
f'( x + h) -f'(
x ) 3( x + h)
+ 2( x + h) - ( 3x + 2x)
f" ( x)
= lim = lim =
h→0 h
h→0
h
2 6hx + 3h + 2h
= lim = lim( 6 x + 3h+ 2) = 6x+ 2
h→0hh→0 f" ( x + h) -f"
( x ) 6( x + h)
+ 2- ( 6x+ 2) 6h
f'''( x)
= lim = lim = lim = 6
h→0 h
h→0
h
h→0
h
IV ) f'''( x + h) - f'''( x ) 6-6 f ( x)
= lim = lim = 0
h→0 h h→0
h
A partir de la quarta derivada, totes les funcions derivades són iguals a 0.
015 Calcula la derivada d’aquestes funcions i comprova que es compleix que el resultat
és igual a la suma de les derivades de les funcions que les formen:
a) f(x) = x − x2 b) f(x) = x3 + 2x
f( x + h) -f(
x )
a) f'( x)
= lim
h→0 h
2 2
( x + h) - ( x + h)
-( x - x )
= lim =
h→0
h
2
h-2hx - h
= lim
h→0h = lim( 1-2x - h)
= 1-
2x
h→0
( x + h) - x ( x + h) - x
f'( x)
= lim - lim
0 h
0 h
= 1- lim( 2x + h) = 1-2x 2 2
h 2hx
+ h
= lim - lim
h
h
h→ h→ h→0
h→0
h→0
2
=
2
=

SOLUCIONARI
3 3
f( x + h) -f(
x ) ( x + h) + 2 ( x + h)
- ( x + 2x)
b) f'( x)
= lim = lim =
h→0 h
h→0
h
2 2 3
3hx + 3h x+ h + 2h
2 2 2
= lim = lim( 3x + 3hx + h + 2) = 3x+ 2
h→0hh→0 3 3
( x + h) - x
f'( x)
= lim
h→0h 2( x + h) -2x
+ lim
h→0h
=
2 2 3
3hx + 3h x+ h
= lim
h→0h 2h
2
2 2
+ lim = lim( 3x + 3hx+
h ) + 2= 3x + 2
h→0 h h→0
016 Troba les derivades de f(x) = 6x 2 i g(x) = −x. Quina és la derivada del seu producte?
f( x)
I de
gx ( ) ?
f( x + h) -f(
x )
f'( x)
= lim
h→0 h
2 2
6( x + h) -6
x
= lim
h→0
h
12hx + 6h
= lim
h→0
h
= lim( 12x + 6h) = 12x
h→0
g( x+ h) - g( x ) - ( x + h) -- ( x ) - h
g'( x)
= lim = lim = lim=- 1
h→0 h
h→0
h
h→0
h
[( f x) ⋅ g( x)] ' = f'( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅ g'( x) = 12x( - x)
+ 6x ( - 1) =- 18 x
2 2
⎡ f( x)
⎤ f ( x) g( x) f( x) g ( x)
⎢ ⎥
⎢
⎣ g( x)
⎥
⎦
[ g( x
=
' 2
' ⋅ - ⋅ ' 12x( -x) -6x( -1)
=
=- 6
2
2
)]
( -x
)
017 Fes servir les definicions de composició de funcions i de derivada per comprovar
que es compleix la regla de la cadena.
( g f)( x + h) -(
g f)( x ) gf (( x + h)) - gf (( x ))
[( gf)( x )] ' = lim = lim
=
h→0hh→0h ⎡ gf (( x + h)) - gf (( x )) f( x + h) -f(
x ) ⎤
= lim ⎢
⋅
⎥
h→0
⎣
⎢ f( x + h) -f(
x )
h ⎦
⎥
lim
h
=
gf (( x + h)) - gf (( x )) f( x + h)
- f( x)
= ⋅ lim = g'(( f x)) ⋅ f'( x )
→0 f( x + h) -f(
x ) h→0
h
018 Troba la derivada de la funció k (x) = 2x + 5 per mitjà de la definició de derivada,
i comprova que el resultat és el mateix que si apliques la regla de la cadena.
k( x+ h) -k(
x )
k'( x)
= lim = lim
h→0 h
h→0
2( x + h) + 5 - 2x + 5
=
h
( ) ( + + + + )
= lim
h→0
2( x + h) + 5 - 2x + 5 2( x h) 5
h(
2(
x + h) + 5 + 2x+ 5 )
2x 5
=
= lim
h→0
h( 2x + 2h+ 5-2x-5 0
2(
x + h)
+ 5 + 2 + 5 )
2
2 5 2 5
2
1
2 2 5 2
= lim
h→
x ( x + h) + + x +
=
=
=
x +
x + 5
2
=
8
479

480
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
f( x h) f( x )
Si f( x) x f ( x ) lim lim
h h
h
(
+ -
2 x + h) + 5- ( 2x+ 5)
= 2 + 5→'
=
=
=
→0 →0
h
2h
= lim = 2
h→0
h
g( x+ h) - g( x )
Si g( x) = x → g'( x ) = lim = lim
h→ h
h→
x + h - x
0 0 h
( ) ( + + )
= lim
h→0
x + h - x x
h( x + h +
h
x )
x
=
= lim
h→0
(
x + h-
+ + ) =
h
x
x h
lim
h→0
x
1
x + h + x
=
1
2 x
Com que k( x) = ( g f)( x ) si apliquem la regla de la cadena tenim que:
k'( x)=
1
⋅ 2 =
1
2 2x + 5 2x + 5
019 Calcula la derivada d’aquesta funció i indica els passos que segueixes per trobar-la:
f (x) = 5x 4 + 3x 2
Apliquem la derivada de les funcions potencials:
4 3
2 ( x ) ' = 4 x ( x ) ' = 2x
Tenim en compte les operacions amb derivades:
3 3
f'( x)= 5⋅ 4x + 3⋅ 2x = 20 x + 6 x
020 Troba la derivada de la funció següent:
3
⎛ x - ⎞ x ( x ) x
f'( x)
= ⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
( x )
⋅
2 1⋅ - - 25
4
5
5 2
= - - +
3 ( x 2) ( 16x 40)
x 21
x
f( x)=
x
− ⎛
⎜ 2 ⎞
⎝⎜
5 ⎠⎟
5 4
021 Troba la derivada de les funcions següents:
a) f(x) = 5ln x + e 4x b) f(x) = log3 (−6x 2 ln x)
a) f x
e
x
x
'( )= 5 ⋅ + ⋅
1 4 4
022 Determina la derivada d’aquestes funcions:
a) f(x) = e x log4 x 5 b) f(x) = ln (3x 2 − x) −7
=
4
=
3 4( x - 2) x - 5x + 10x
⋅
15
10
x
x
5 5 4
2 1
- 12xln x + ( -6
x )
x 2ln x + 1
b) f'( x)
=
=
2 -6x
ln xln
3 xln xln
3
4
x 5 x 5x
x 5 x 5
a) f'( x) = e log4
x + e ⋅ = e log4
x + e ⋅
5 x ln 4
xln4
( x x) ( x ) ( x )
b) f'( x)
=
( x x)
x
- - -
=
-
- -
2 -8
73 6 1 76 1
2 -7
2 3
3 - x
=

SOLUCIONARI
023 Determina de quin tipus són les funcions següents i troba la derivada de cadascuna:
a) f(x) = cos (sin 2x) c) f(x) = arctg x 3 + 2
b) f(x) = sin (ln 2x) d) f(x) = tg (x 4 + 3x)
a) f'( x) =-sin(sin 2x) ⋅cos 2x⋅2 2 cos( ln2
x )
b) f'( x) = cos( ln2
x ) ⋅ =
2x
x
1
-
3 ( x + 2) 2 3x
2
c) f'( x)
=
2
3 1+ x + 2
1
( ) =
2 4 3
d) f'( x) = ( 1+ tg ( x + 3x)) ( 4x+ 3)
024 Calcula la derivada d’aquestes funcions:
a) fx ( ) = cos x + x 2
2
3x
2( x + 2)
x +
2
3 3 2
c)
+ x
fx ( )= tg
− x
1
1
b) f(x) = sin x2 + 3cos2 x d) fx ( )= arctg x
-
2 1 2
a) f'( x) =- sin x + x ( x x) 2 ( 2x1) 2
( ) + + =-
1
2
( 2x+ 1)sin x + x
2
( )
2 x + x
2 2
b) f'( x) = cos x ⋅ 2x + 6cos x( - sin x) = 2xcos x -6sin
x cos x
⎛ ⎛ + x ⎞⎞
(
c) f'( x)
= ⎜ 2 + ⎜ 1 11-
x) - ( 1+ x)(
-1)
⎛ + ⎞
⎜1
tg ⎜
= ⎜ 2 1 x 2
+
⎝⎜
⎝⎜
1-
x ⎠⎟
⎠⎟
( - x ) ⎝⎜
1 tg
2 1
1-
x ⎠⎟
( 1-
x )
⋅ x
d) f'( x)
=
+ ( x ) ( x) x
=
1 -
2
2
1
2
1
21+
1
025 Calcula la derivada de les funcions següents per mitjà de la derivació logarítmica:
a) f (x) = (x2 − 4x + 3) sin x 8x+cos x
b) f (x) = x
2
sin x
a) ln f( x) = ln ( x - 4x + 3)
2
ln f( x) = sin x ⋅ln(
x - 4x+ 3)
f'( x)
2
2x
- 4
= cos x ⋅ln( x - 4x + 3)
+ sin x ⋅
2
f( x)
x - 4x + 3
⎛
2
2x-4 ⎞
f'( x) = ⎜
2
x
⎜cos
x ⋅ln( x - 4x + 3)
+ sin x ⋅
( x - 4x + 3)
2
⎝⎜
x - 4x+ 3⎠⎟
sin
8x+
cos x
b) ln f( x) = ln x
ln f( x) = ( 8 x + cos x)ln x
f' ( x)
1
= ( 8- sin x)ln x + ( 8x
+ cos x) f( x)
x
⎛
x ⎞
f' ( x) = ⎜
8
⎜(
8 -sin
x )ln x + 8 + x
⎝⎜
x ⎠⎟
cos x+ cos x
2
8
481

482
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
026 Dedueix la derivada d’aquestes funcions a partir de la derivació logarítmica:
a) f (x) = x n b) f (x) = a x
n
a) ln f( x) = ln x → ln f( x) = nln x
f'( x)
f( x)
= n ⋅
1
x
1 1
n n-
f'( x)
= n ⋅ ⋅ x = nx
x
x
b) ln f( x) = ln a → ln f( x) = xln a
f'( x)
= 1⋅ln
a
f( x)
f'(
x a a x
) = ln⋅
027 Troba la derivada d’aquestes funcions implícites i calcula’n el valor en el punt (7, −2).
a) x 3 −3x + y 2 = 0 b) 5x 2 + 3xy + 6y 2 − x + 13xy 2 = 0
2 2 3 3x
a) 3x - 3+ 2yy = 0 2yy = 3- 3x
y =
2y
-
' → ' → '
2 3-3⋅7 y'( 7, - 2)
= = 36
2( -2)
2
b) 10 x + 3y + 3xy'+ 12yy'- 1+ 13y + 26xyy' = 0
2 1-10x -3y - 13y
→ ( 3x + 12y + 26xy) y' = 1-10 x -3y - 13y
→ y'
=
3x + 12y + 26xy
2
1-10⋅7-3⋅( -2) -13 ⋅- ( 2)
y'( 7, - 2)
=
3⋅ 7+ 12 ⋅- ( 2)
+ 26 ⋅7⋅ - 2
115
367
=
( )
028 A partir de la derivada de la funció f(x) = x 2 , calcula la derivada de la funció
f −1 (x) = x i comprova que aconsegueixes el mateix resultat que si fas servir
la definició de derivada.
f'( x)= 2x
-1
• ( f )( ' x)
1 1 1
= = ( ) =
-1
f'( f ( x )) f'x 2 x
- 1
x + h - x
• ( f )( ' x)
= lim = lim
h 0 h
h 0
( x + h - x ) ( x + h + x )
( )
→ → h x + h + x
x + h- x
=
h h( x + h + x ) x
=
lim 1
→0
2
029 Calcula la taxa de variació mitjana de la funció fx ( )=
x
1 en els intervals [2, 3] i [2, 5].
A partir d’aquesta taxa, calcula la derivada en el punt x = 2.
f( 3) - f(
2)
TVM([
2, 3])
=
3-2 =
1 1
-
3 2
1
1
=-
6
f( 5) - f(
2)
TVM([
2, 5])
=
5-2 =
1 1
-
5 2
3
1
=-
10
f'(
2)
= lim
h 0
1 1
2 + h 2
h
2 2 h
lim lim
h 0 2h( 2 h)
-
- -
=
+ =
→
-1
1
→ h→0 22+
h 4
=-
( )
2
=
2

SOLUCIONARI
030 Troba les taxes de variació mitjana de la superfície d’un cercle quan el radi passa
de fer 1 cm a fer 3 cm, i de 3 cm a 5 cm. És constant si la variació del radi
és la mateixa?
La funció que mesura la superfície d’un cercle segons la longitud del radi x és:
f( x)=πx2 f( 3) - f()
1 9π-
π
TVM([
13 , ]) = = = 4π
3-1 2
f( 5) - f(
3)
25π-9π TVM([
35 , ]) = = = 8π
5-3 2
Tot i que la variació del radi és la mateixa, la de la superfície no és constant.
031 Galileu va demostrar que, quan un objecte cau lliurement,
és a dir, sense tenir en compte la resistència de l’aire,
l’altura que recorre, en metres, i el temps que passa,
en segons, es relacionen mitjançant la fórmula: h = gt
1
o bé, el que és el mateix, aproximadament, h = 5t 2
2 .
a) Calcula les taxes de variació mitjana entre 1 i 7 segons
i entre 1 i 5 segons.
b) Troba la derivada d’aquesta funció en x = 1.
f( 7) - f()
1
a) TVM([
17 , ]) =
7-1 =
245 - 5
6
= 40
f( 5) - f()
1
TVM([
15 , ]) =
5-1 125 - 5
= = 30
4
2
f( 1+ h) -f()
1 51 ( + h)
- 5 10h+ 5h
b) f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 10 + 5h) = 10
h→0
032 A partir de la definició, calcula la derivada de les funcions següents
en el punt x = −1.
a) f(x) = 3x b) g(x) = x2 c) i(x) = x3 d) j(x) = ⏐x⏐
f( - 1+ h) -f( - 1) 3( - 1+ h)
+ 3 3h
a) f'(
- 1)
= lim = lim = lim = 3
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
g( - 1+ h) - g(
- 1) ( - 1+ h)
- 1 - 2h+
h
b) g'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( - 2+ h)
=- 2
h→0
3
i( - 1+ h) -i( - 1) ( - 1+ h)
+ 1 3h- 3h
+ h
c) i'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
= lim( 3- 3h+ h ) = 3
h→0
2 ,
2
=
2
=
2 3
j( - 1+ h) - j(
- 1) ⏐-+ 1 h⏐-1
1- h - 1
d) j'(
- 1)
= lim = lim
= lim=- 1
h→0 h
h→0
h
h→0
h
=
8
483

484
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
033 A partir de la definició, determina la derivada d’aquestes funcions en el punt x = 0.
a) f(x) = ax + b b) g(x) = ax 2 c) i(x) = ax 2 + b d) j(x) = ax 2 + bx + c
f( 0+ h) -f(
0)
ah + b- b
a) f'(
0)
= lim = lim
= a
h→0 h
h→0
h
2
g( 0+ h) - g(
0) ah - 0
b) g'(
0)
= lim = lim = lim(
ah ) = 0
h→0 h
h→0 h
h→0
2
i( 0+ h) -i(
0)
ah + b- b
c) i'(
0)
= lim = lim = lim(
ah)=
0
h→0 h
h→0
h
h→0
2
j( 0+ h) - j(
0)
ah + bh + c- c
d) j'(
0)
= lim = lim
= lim( ah + b) = b
h→0 h
h→0
h
h→0
034 Per mitjà de la definició, calcula la derivada de f(x) = x 3 − 3x en x0 = 1.
(Activitat de Selectivitat)
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h) - 31 ( + h)
-- ( 2)
= lim =
h→0
h
2 3
2 3
1+ 3h+ 3h + h -3- 3h+ 2 3h
+ h
= lim = lim
h→0hh→0h 2
= lim( 3h+ h ) = 0
h→0
035 Calcula la derivada de la funció f(x) = ⏐x − 2⏐ en x = 2, si és possible.
(Activitat de Selectivitat)
⎧x
- x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 2
⎩⎪ - x + 2 si x < 2
+ f( 2+ h) -f(
2) 2+ h -2- 0 h
f'(
2 ) = lim = lim
= lim = 1
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) - ( 2+ h)
+ 2-0-
h
f'(
2 ) = lim = lim = lim→=- 1
− −
−
h→0 h
h→0
h
h 0 h
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x) no és derivable
en x = 2.
036 Troba l’equació de la tangent a la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions
en els punts que hi ha indicats:
a) y = sin x + x, en x = π. b) y =
x
x
− 4 3 2 , en x = −1. c) y = ln (x + 7), en x = 0.
a) f ( π) = π
f'( x) = cos x + 1→f'( π)
= 0
L’equació de la recta tangent és: y - π = 0( x - π) → y = π
b) f ( - 1) = 2
f'( x)
=
3 4
4x ⋅ x -( x - 3) 2 x
=
4 3x+ 3
2 x
f'(
- 1) = 6
→
L’equació de la recta tangent és: y - 2= 6( x + 1) →
y = 6x + 8

c) f ( 0) = ln 7
SOLUCIONARI
f'( x)
=
2x
2 x + 7
→ f'(
0) = 0
L’equació de la recta tangent és: y - ln 7 = 0( x - 0) → y = ln 7
037 Determina l’equació de la tangent a la paràbola y = x
1 2
en el punt A(2, 2).
2
f'( x) =
1
⋅ 2x = x f'(
2) = 2
2 →
L’equació de la recta tangent és: y - 2= 2( x - 2) → y = 2x - 2
038 Calcula la recta tangent a la corba f(x) = ln x 2 en el punt x = 2.
(Activitat de Selectivitat)
f ( 2) = ln 4
f'( x)
=
2x 2 x
=
2
x
→ f'(
2) = 1
L’equació de la recta tangent és: y - ln 4 = x - 2 → y = x - 2+ ln 4
039 Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f( x)=
x
−2
en el punt d’abscissa x = 2.
Demostra que aquesta recta només talla la gràfica en el punt de tangència.
f ( 2) =- 1
f'( x)
=
2
2 x
f'(
2)
=
1
2
→
L’equació de la recta tangent és: y + 1=
1
( x - 2)
→ y =
2
1
x - 2
2
El punt de tall de les dues funcions verifica que: 1
2 2
x - 2 = x 4x 4
2
x
-
→ - =-
8
2 2 2
→ x - 4x =-4 → x - 4x + 4 = 0 → ( x - 2) = 0 → x = 2
Per tant, hi ha un únic punt comú a les dues gràfiques.
040 Determina el punt de la corba y =
a la recta y = x
x en el qual la recta tangent és paral·lela
1
2 .
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent; per tant, busquem el punt
que verifica que: f'( x)=
1
2
1
1 - 1
f'( x)= ⋅ x 2 =
2 2 x
Aleshores: 1
2
=
1
→ x = 1→ x = 1
2 x
El punt té per coordenades (1, 1).
485

486
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
041 Considera la funció f(x) = x 2 + m, en què m > 0 és una constant.
a) Per a cada valor de m, troba el valor a > 0 tal que la recta tangent a la gràfica de f
en el punt (a, f(a)) passi per l’origen de coordenades.
b) Troba el valor de m perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica de f.
(Activitat de Selectivitat)
a) f( a)= a + m 2
f'( x) = 2x → f'( a) = 2a
L’equació de la recta tangent és:
2 2
y - ( a + m) = 2a( x - a) → y = 2ax
- a + m
Si aquesta recta passa per l’origen de coordenades, aleshores:
2 0 =- a + m → a = m
2 2 1± 1-4m b) x + m = x → x - x + m = 0 → x =
2
Si la recta y = x és tangent a la gràfica de f només tenen un punt en comú;
aleshores:
1
1- 4m = 0 → m =
4
042 Calcula l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) = (x + 1)e −x en el punt de tall
de f(x) amb l’eix X.
(Activitat de Selectivitat)
Calculem el punt de tall amb l’eix d’abscisses:
-x
( x + 1) e = 0 → x + 1= 0 → x =-1
-x -x
f'( x) = e - ( x + 1) e → f'( - 1)
= e
L’equació de la recta tangent és: y = e( x + 1)
043 Donada la funció f(x) = 9x + 6x 2 − x 4 , troba els punts en els quals la recta tangent
a la gràfica de f(x) té pendent 1.
(Activitat de Selectivitat)
Si el pendent és igual a 1, aleshores:
3 3
f'( x)= 1→ 9+ 12x - 4x = 1→ 4x -12x - 8 = 0
⎧
3 2
x = 2
→ x -3x - 2= 0 → ( x - 2)( x + 1) = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x =-1
Així, doncs, els punts que verifiquen la condició són (2, 26) i (-1, -4).
044 Calcula l’equació de la recta tangent a la corba x 2 + 16y 2 − 16 = 0 en el punt
d’abscissa 3 i ordenada positiva.
2 2
Si x = 3→ 9+ 16 y - 16 = 0 → 16y = 7 → y = ±
⎛
Considerem el punt
⎜
⎜3,
⎝⎜
7 ⎞
4 ⎠⎟
.
7
4

x
2x + 32yy' = 0 → 32yy' =- 2x
→ y'
=-
16 y
⎛ 7 ⎞ 3
y'
⎜
3 3 7
⎜3,
⎝⎜
4 ⎠⎟
7 4 7 28
16
4
=- =- =-
⋅
L’equació de la recta tangent és:
7 3 7
3 7 4 7
y - =- ( x - 3)
→ y =- x +
4 28
28 7
045 Determina l’equació de la recta tangent a la corba 4x 2 − 9y 2 − 36 = 0
en el punt d’abscissa 4 i ordenada positiva.
2 2
2 7
Si x = 4 → 64-9y - 36 = 0 → 9y = 28 → y = ±
3
⎛ 2 7 ⎞
Considerem el punt
⎜
⎜4,
.
⎝⎜
3 ⎠⎟
4 x
8x - 18yy' = 0 →- 18 yy' =- 8 x → y'
=
9 y
⎛ 2 7 ⎞ 16
y'
⎜
8 8 7
⎜4,
⎝⎜
3 ⎠⎟
2 7 3 7 21
9
3
= = =
⋅
L’equació de la recta tangent és:
2 7 8 7
8 7 6 7
y - = ( x - 4)
→ y = x -
3 21
21 7
046 Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica
de la funció y = ln x en el punt d’abscissa x = 1.
f () 1 = 0
f'( x)
=
1
x
→ f'()
1 = 1
L’equació de la recta tangent és: y = x -1
L’equació de la recta normal és: y =-( x - 1) → y =- x + 1
SOLUCIONARI
047 Digues per a quin valor de x la recta tangent a la corba y = ln (x2 + 1) és paral·lela
a la recta y = x.
Escriu l’equació d’aquesta tangent.
(Activitat de Selectivitat)
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent; per tant, busquem el punt
que verifica que: f'( x)=
1
2x
f'( x)=
2 x + 1
Aleshores: 2x
2 2 2
1 2x x 1 x 2x 1 0 x 1 0 x 1
2 x + 1
= = + - + = - = =
→ → → ( ) →
L’equació de la recta tangent és: y - ln 2= x - 1→y = x - 1+ ln 2
8
487

488
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
048 Determina el punt de la paràbola y = x 2 − 7x + 3 en el qual la tangent és paral·lela
a la recta y = −5x + 5.
Les rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent; per tant, busquem el punt
que verifica que: f'( x)=-5
f'( x)= 2x-7 Aleshores: 2x - 7 =- 5→ 2x = 2 → x = 1
El punt té per coordenades (1, -3).
049 Considera f(x) = x + xe −x .
Calcula l’equació de la recta tangent a f en un punt x per al qual aquesta recta
tangent sigui paral·lela a la recta que passa pels punts (1, 1) i (3, 3).
(Activitat de Selectivitat)
La recta que passa pels punts (1, 1) i (3, 3) té per equació: y = x.
La recta tangent hi és paral·lela si té el mateix pendent; per tant, busquem
un punt x per al qual es verifica que: f'( x)=
1
f'( x)= 1+
e - xe
-x -x
-x -x -x -x -x
Aleshores: 1+ e - xe = 1→ e - xe = 0 → e ( 1- x) = 0 → x = 1
1
f() 1 = 1+ e-
L’equació de la recta tangent és: y - ( 1+ e ) = x - 1→y = x + 1+
e
-1 -1
050 Determina les abscisses dels punts de la corba y =
3 x
3
2 −x − 3x + 1 amb una recta
tangent que forma un angle de 135° amb el sentit positiu de l’eix d’abscisses.
(Activitat de Selectivitat)
Si la recta tangent forma un angle de 135º amb l’eix d’abscisses, aleshores:
m = tg 135° = -1
Busquem els punts que verifiquen que: f'( x)
=-1.
2 f'( x)= x -2x - 3
2 2
2 8
Aleshores: x -2x - 3=-1 x -2x - 2= 0 x = 1 2
2
±
→ →
= ±
051 Calcula les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica de la funció
f( x)=
2 x
en el punt x = 0.
2 x + 1
(Activitat de Selectivitat)
f ( 0) = 0
2 2
2x( x + 1) - x ⋅ 2x
2x
f'( x)
=
= → f'(
0)
= 0
2 2 2 2 ( x + 1)
( x + 1)
L’equació de la recta tangent és: y = 0.
Així, doncs, l’equació de la recta normal és: x = 0.

SOLUCIONARI
052 Determina les equacions de la recta tangent i de la recta normal (recta perpendicular
a la tangent) en el punt d’abscissa 0, a la gràfica de la funció f donada per:
x
f( x)= xe +
x
x
−
2
3 2
2 + 4
(Activitat de Selectivitat)
1
f ( 0)
=-
2
2 2 3
x x 3x ( x + 4) -( x - 22 ) x
f'( x) = 2e + 2xe+
2 2 ( x + 4)
=
x x
= 2e
+ 2xe+
4 2
x + 12x + 4 x
2 2 ( x + 4)
→ f'(
0) = 2
L’equació de la recta tangent és: y = 2x
L’equació de la recta normal és: y =- x
1
2
053 Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica
de la funció g(x) = ⏐x 2 − 9⏐ en el punt d’abscissa x = 2.
g( 2) = 5
⎧ 2 x -
g( x)
= ⎨
⎪ 9
2
⎩⎪ - x + 9
g'( 2) =-4
si⏐⏐
x ≥ 3
⎧
→ g' ( x)
= ⎨
⎪2x
si - 3< x < 3 ⎩⎪ -2x si⏐⏐
x > 3
si - 3< x < 3
L’equació de la recta tangent és: y - 5=-4( x - 2) → y =- 4x + 13
1
1 9
L’equació de la recta normal és: y - 5 = ( x - 2)
→ y = x +
4
4 2
054 Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a les corbes següents
en els punts indicats:
a) y xex = , en x = 4. b) y = arcsin x,
en x = 1
2 .
a) f( 4) 4e2 =
x f'( x) = e + xe x
1
1 -
⋅ x 2 = e
2
x
x xe
+
2 x
2
→ f'( 4) = 2e
2 2 2 2
L’equació de la recta tangent és: y - 4e = 2e ( x - 4) → y = 2e x - 4e
L’equació de la recta normal és:
y e
x y
e
e x
2 1
1
- 4 =- ( - 4)
→ =-
2 2 2
2
+
2
2 e
2 + 4e
b) f 1 ⎛ ⎞
⎜ π
⎜ =
⎝⎜
2⎠⎟ 4
f'( x)=
x
f'
- x
x x
⋅ =
⎛ ⎞
⎜
- ⎝⎜
⎠⎟
=
1
1 1 - 1
1
2
→ 1
1 2
2
2
2
π 1
1 π
L’equació de la recta tangent és: y - = x - → y = x - +
4 2
2 4
π
L’equació de la recta normal és: y -
4
⎛
=-⎜1⎞ 1 π
⎜x
- →
y =- x + +
⎝⎜
2 ⎠⎟
2 4
8
489

490
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
055 Determina les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la corba
y = x3 + x 2 − 6x + 1 en el punt d’ordenada 1 i abscissa positiva.
⎧⎪
x = 0
3 2 3 2 2
x + x - 6x + 1= 1→ x + x - 6x = 0 → x( x + x - 6) = 0 → ⎨
⎪
x = 2
⎪
⎩⎪
x =-3
Hem de determinar les rectes que passen pel punt (2, 1).
2 f'( x) = 3x + 2x - 6 → f'(
2) = 10
L’equació de la recta tangent és: y - 1= 10( x - 2) → y = 10 x - 19
1
1 6
L’equació de la recta normal és: y - 1=-
( x - 2)
→ y =- x +
10
10 5
056 Considera f la funció que té de domini els nombres reals no nuls definida per f( x)=
x
4 .
a) Calcula l’equació de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica de f
en el punt d’abscissa x = 2.
b) Determina els punts M i N de la gràfica de f per als quals les rectes tangents en M
i N es tallen en el punt (4, −8).
(Activitat de Selectivitat)
a) f ( 2) = 2
4
f'( x)
=- f'(
2) =-1
2 x
→
L’equació de la recta tangent és: y - 2=-( x - 2) → y =- x + 4
L’equació de la recta normal és: y - 2= x - 2 → y = x
b) Considerem P p, p
4 ⎛ ⎞
⎜ un punt qualsevol de la gràfica de f.
⎝⎜
⎠⎟
f'( p)=-
p
4
2
Així, la recta tangent en P és de la forma:
y
x p y
p p
p x
4 4 4 8
- =- ( - ) → =- +
2 2 p
Si aquesta recta passa pel punt (4, -8), tenim que:
4 8
⎧
2 2
p = 1
- 8 =- ⋅ 4 + → 8p + 8p- 16 = 0 → p + p-
2= 0 → ⎨
2 p p
p =-2
⎪
⎩⎪
Per tant, els punts que busquem són M(1, 4) i N(-2, -2).
057 Calcula el valor de a perquè la recta tangent a la gràfica de la funció
f(x) = −ax 2 + 5x − 4 en el punt d’abscissa 3 talli l’eix X en el punt x = 5.
Quina és l’equació de la recta normal?
f( 3) =- 9a+ 11
f'( x) =- 2ax + 5→f'( 3) =- 6a+ 5
L’equació de la recta tangent és:
y + 9a- 11= ( - 6a+ 5)( x - 3) →
y = ( - 6a+ 5) x + 9a-4

Si aquesta recta passa pel punt (5, 0), aleshores:
( - 6a+ 5) 5+ 9a- 4 = 0 →- 21a =- 21 → a = 1
SOLUCIONARI
Per tant, l’equació de la recta tangent és: y - 2=-( x - 3) → y =- x + 5
L’equació de la recta normal és: y - 2= x - 3→y = x - 1
058 Troba els valors de a, b i c perquè les gràfiques de les funcions f(x) = x 2 + ax + b
i g(x) = x 3 + c passin pel punt (1, 2) i en aquest punt tinguin la mateixa tangent.
Si la gràfica de f passa pel punt (1, 2), aleshores: 1+ a+ b = 2 → a+ b = 1
De la mateixa manera, si la de g passa pel punt (1, 2), tenim que: 1+ c = 2 → c = 1
I si en aquest mateix punt tenen la mateixa tangent, es verifica que: f'() 1 = g'()
1
f'( x) = 2x + a → f'() 1 = 2 + a⎫
⎬
⎪ → 2+ a = 3→ a = 1→b= 0
2
g'( x) = 3x → g'()
1 = 3 ⎪⎭⎪
⎛ x +
059 Digues per a quin valor de a la recta ax + y = ln 2 és tangent a la corba f( x)
= ln ⎜ 2 ⎞
⎜
⎝⎜
x + 1 ⎠⎟
en el punt d’abscissa x = 0?
(Activitat de Selectivitat)
f ( 0) = ln 2
x + 1- ( x + 2)
2
( x + 1)
-1
1
f'( x)
=
=
→ f'(
0)
=-
x + 2 ( x + 1)( x + 2)
2
x + 1
1 1
L’equació de la recta tangent és: y - ln 2 =- x → x + y = ln 2
2 2
Així, doncs, tenim que: a = 1
2
060 Determina el valor de a perquè la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = x 3 + ax
en el punt x = 0 sigui perpendicular a la recta y + x = −3.
(Activitat de Selectivitat)
y + x =- 3→y =-x -3
Si la recta tangent és perpendicular, el seu pendent és f'( 0) = 1.
2 f'( x) = 3x + a → f'( 0)
= a
Així, doncs, tenim que a = 1.
061 Troba l’equació de la paràbola y = x 2 + bx + c la recta tangent de la qual
en el punt (1, 1) és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.
f'( x) = 2x + b → f'() 1 = 2 + b
La bisectriu del primer quadrant és la recta y = x.
Si la recta tangent hi és paral·lela, aleshores: 2+ b = 1→b =- 1
2
Així, l’equació de la funció és de la forma: y = x - x + c
Si passa pel punt (1, 1), tenim que: 1= 1- 1+ c → c = 1
2 Per tant, l’equació de la paràbola és y = x - x + 1.
8
491

492
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
062 Considera la funció f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 7. Calcula c si saps que la seva recta
tangent en el punt d’abscissa x = 0 és horitzontal.
(Activitat de Selectivitat)
Si la recta tangent en aquest punt és horitzontal, el pendent és f'( 0) = 0.
3 2 f'( x) = 4x + 3ax + 2bx + c → f'( 0)
= c
Así, c = 0.
063 Troba els punts de la gràfica de la funcióf(x) = x 3 − 3x 2 + x en els quals la recta
tangent és paral·lela a la recta y = x.
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x, aleshores: f'( x)=
1
2
f'( x)= 3x - 6x + 1
⎧
2 2
x = 0
Així, doncs: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 2
Per tant, els punts de la gràfica que verifiquen la condició són (0, 0) i (2, -2).
064 Determina en quins punts de la gràfica la recta tangent de la funció
y = x 3 − 3x 2 + x + 1 és paral·lela a la recta y = x + 7.
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x, aleshores: f'( x)=
1
2
f'( x)= 3x - 6x + 1
⎧
2 2
x = 0
Així, doncs: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 2
Per tant, els punts de la gràfica que verifiquen la condició són (0, 1) i (2, -1).
065 Calcula la derivada de la funció següent:
f(x) = ax + b + sin x
Troba a i b si O(0, 0) és un punt de la corba y = ax + b + sin x, la tangent
de la qual en O(0, 0) és l’eix X.
(Activitat de Selectivitat)
f'( x) = a+ cos x
Si la tangent a la corba en x = 0 és la recta y = 0, aleshores: f'( 0) = 0
a+ cos 0= 0 → a+ 1= 0 → a =- 1
Així, la funció és de la forma f( x) =- x + b+ sin x.
I si la corba passa pel punt (0, 0), tenim que: b+ sin 0= 0 → b = 0
066 De la funció f: (0, +`) → R definida per:
2 ax + b
f( x)=
x
sabem que la recta tangent a la seva gràfica en el punt d’abscissa x = 1 està
determinada per y = −2.
Calcula a i b.
(Activitat de Selectivitat)

SOLUCIONARI
2 ax - b
f'( x)=
2 x
Si la tangent a la corba en x = 1 és la recta y = -2, aleshores: f'( 1) = 0
a- b = 0 → a = b
2 ax + a
Així, doncs, la funció és de la forma: f( x)=
x
I si la corba passa pel punt (1, -2), tenim que: 2a =- 2 → a = b =-1
067 Per mitjà de la definició, calcula les derivades laterals de les funcions següents
en x = 2.
a) f(x) = ⏐2 − x⏐
b) g(x) = ⏐x2 − 4⏐
⎧-
+ x x ≥
a) f( x)=
⎨
⎪ 2 si 2
⎩⎪ 2- x si x < 2
+ f( 2+ h) -f(
2) - 2+ 2+
h
f'(
2 ) = lim = lim
= 1
+ +
h→0 h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) f'(
2 ) = lim
− h→0 h
2- ( 2+
h)
- h
= lim
= lim
−
−
h→0
h
h→0
h
=-1
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 2.
⎧ ⎪
⎪x - x
2 4 si 2
⎪ 2 4 si 2 2
⎪ 2
⎩⎪
4 si 2
+ g( 2+ h) - g(
2) g'(
2 ) = lim
+ h→0 h
= lim( 4+ h)
= 4
2 ( 2+ h)
-4
= lim
+ h→0
h
4h+
h
= lim
+ h→0
h
+ h→0
- g( 2+ h) - g(
2) g'(
2 ) = lim
− h→0 h
= lim( -4- h)
=- 4
2 - ( 2+ h)
+ 4
= lim
− h→0
h
-4h- h
= lim
− h→0
h
− h→0
Les derivades laterals no són iguals → g(x) no és derivable en x = 2.
068 A partir de la definició, calcula les derivades laterals de la funció següent
en x = 0.
⎧⎪
1
fx ( )= ⎨
⎪
⎪ x
⎪
⎩⎪
0
si x ≠ 0
si x = 0
+ f( 0+ h) -f(
0)
f'(
0 ) = lim
+ h→0 h
= lim
+ h→0
1
- 0
h
h
1
= lim
+ h→0 2 h
=+`
- f( 0+ h) -f(
0)
f'(
0 ) = lim
− h→0 h
= lim
− h→0
1
- 0
h
h
1
= lim
− h→0 2 h
=+`
2
=
2
=
8
493

494
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
069 Considera la funció f: R → R definida per:
⎧ 2 x +
fx ( )= ⎨
⎪ 3
2
⎩⎪ 2− x
si x ≤1
si x > 1
Calcula, si és possible, les derivades laterals de f en x = 1.
(Activitat de Selectivitat)
2
2
+ f( 1+ h) -f()
1 2- ( 1+
h)
- 4 -h -2h- 3
f'(
1 ) = lim = lim
= lim→=- `
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h 0 h
2
- f( 1+ h) -f()
1 ( 1+ h)
+ 3-4
2h+
h
f'(
1 ) = lim = lim = lim
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 2+ h)
= 2
− h→0
070 Estudia si la funció fx ( )= x
3
és contínua i derivable en x = 0.
3
3
lim x = lim x = 0 = f ( 0)
→ f(x) és contínua en x = 0.
+ −
x→0x→0 3
f( 0+ h) -f(
0) h 1
f'(
0)
= lim = lim = lim
h 0 h
h 0 h h 0 3
h
→ → → 2
2
=
=+` → f(x) no és derivable
en x = 0.
071 Demostra que la funció següent és contínua en el punt x = 1, però no és derivable
en aquest mateix punt:
⎧−
x + x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ 1 si 1
2
⎩⎪ x − 1 si x > 1
a) Digues si aquest fet contradiu algun dels teoremes o de les propietats
que hem estudiat a la unitat.
b) Posa un exemple d’una funció que sigui derivable i discontínua en un punt.
2 lim( x - 1) = lim ( - x + 1) = 0 = f () 1 → f(x) és contínua en x = 1.
+ −
x→1x→1 2
2
+ f( 1+ h) -f()
1 ( 1+ h)
-1
2h+
h
f'(
1 ) = lim = lim = lim = lim ( 2+ h)
= 2
+ +
+ +
h→0 h
h→0
h
h→0hh→0 - f( 1+ h) -f()
1 - ( 1+ h)
+ 1 - h
f'(
1 ) = lim = lim = lim=- 1
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals no són iguals; per tant, f (x) no és derivable en x = 1.
a) No, perquè la continuïtat no implica la derivabilitat.
b) No existeix, perquè si una funció és discontínua en un punt, no és derivable en
aquest punt.
072 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d’aquesta funció:
⎧⎪
x + 1
x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ si 2
⎪ x −1
⎪
⎩⎪
− 2x si x > 2
• Si x > 2: f( x) =-2x
→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).

SOLUCIONARI
x
• Si x < f x =
x
+ 1
2:
( ) → Funció racional contínua en (-`, 2) excepte en x = 1.
- 1
• Si x = 1:
- x + 1
f ( 1 ) = lim
x 1 x - 1
+
x 1
f ( 1 ) lim
x 1 x 1
=-
+
=
- =+
⎫⎪
`⎪
−
⎪
→
⎬
⎪
⎪
`⎪
+ →
⎭⎪
→ f(x) no és contínua en x = 1; per tant,
no és derivable en x = 1.
• Si x = 2:
-
x + 1
f ( 2 ) = lim 3
x 2 x - 1
+
f( 2 ) lim ( 2x) 4
x 2
=
⎪⎫
⎪
− →
⎬
⎪ → f(x) no és contínua en x = 2; per tant,
⎪
= - =- ⎪
+ →
⎭
⎪ no és derivable en x = 2.
⎪
⎧ ⎪
-2
x <
f'( x) = ⎨
⎪ si 2
2 ( x - 1)
⎪
⎩⎪
- 2 si x > 2
Així, doncs, la funció és contínua i derivable en R - {, 12. }
073 Considera la funció f: R → R definida per:
⎧ ⎪
− 1 si x

496
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
- f'(
2 ) = 1 ⎫
+ ⎬
⎪
f'(
2 ) =-2⎭⎪
→ Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f (x) no és derivable en x = 2.
Així, doncs, la funció és derivable en R -- { 4, 2 } .
074 Considera la funció següent:
⎧ 2 ⎪ x si x ≤ 0
fx ( )= ⎨
⎪
a+ bx si 0< x ≤1
⎪
⎩⎪
3 si x > 1
a) Determina a i b perquè sigui contínua en R.
b) Per a aquests valors, estudia la derivabilitat de f(x).
2
a) • Si x < 0:
f( x) = x → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 0).
• Si 0< x < 1:
f( x) = a+ bx → Funció polinòmica, per tant, contínua
en (0, 1).
• Si x > 1: f( x ) = 3→
Funció constant, per tant, contínua en (1, +`).
La funció és contínua en R si ho és en els punts en els quals canvia
l’expressió algebraica.
• Perquè la funció sigui contínua en x = 0, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f (0) = 0:
-
2
f( 0 ) = lim x = 0 ⎫⎪
− x →0
+
⎬
⎪
f( 0 ) = lim ( a+ bx ) = a
+ x →0
⎭ ⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 0
⎪ • Si a = 0, perquè la funció sigui contínua en x = 1, els límits laterals han de ser
iguals i han de coincidir amb f (1) = b:
- f( 1 ) = lim( bx) = b⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ - +
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → b = 3
+ f ( 1 ) = lim 3= 3 ⎪
+ x →1
⎭⎪
⎧⎪
2x si x < 0
b) f'( x)=
⎨
⎪
3 si 0< x < 1
⎪
⎩⎪
0 si x > 1
- f'(
0 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 3⎭⎪f
(x) no és derivable en x = 0.
- f'(
1 ) = 3⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f'(
1 ) = 0⎭⎪f
(x) no és derivable en x = 1.
Així, doncs, la funció és derivable en R - { 0, 1}.
075 Considera f la funció definida per tot nombre real x de manera que per als valors
de x que pertanyen a l’interval tancat [−1, 1] tenim f(x) = (x + 1)(x − 1) 2
i per als valors de x que no pertanyen a aquest interval tenim f(x) = 0.
Estudia’n la continuïtat i la derivabilitat.
(Activitat de Selectivitat)

SOLUCIONARI
⎧
2 ( x + )( x - ) - ≤ x ≤
f( x)
= ⎨
⎪ 1 1 si 1 1
⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1
• Si - 1< < 1 = + 1 -1
2
x : f( x) ( x )( x ) → Funció polinòmica, per tant,
contínua en (-1, 1).
Si ⏐x⏐> 1: f( x ) = 0 → Funció constant, per tant, contínua en R -- ( 11. , )
• Si x = 1:
-
2
f( 1 ) = lim( x + 1)( x - 1) = 0⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f () 1
+
− +
f ( 1 ) = lim 0 = 0 ⎪ x→1 x→1
+ x →1
⎭
⎪
→ f(x) és contínua en x = 1.
• Si x = -1:
- f ( - 1 ) = lim 0 = 0
⎫⎪
− x →-1
⎬
⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( -1)
+
2 − +
f( - 1 ) = lim ( x + 1)( x -1)
= 0⎪
x→-1 x→-1
+ x →-1
⎭
⎪
→ f(x) és contínua en x = -1.
Així, doncs, la funció és contínua en R.
⎧(
x - )( x + ) - < x <
f'( x)
= ⎨
⎪ 1 3 1 si 1 1
⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1
- f'(
1 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪
f'(
1 ) = 0⎭⎪
- f'(
- 1 ) = 0⎫
⎬
⎪
+ f'(
- 1 ) = 4⎭⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f (x) és derivable en x = 1.
→ Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f (x) no és derivable en x = -1.
Així, doncs, la funció és derivable en R -- { 1 } .
⎧ 2 x x ≤
076 Determina si la funció f( x)=
⎨
⎪ si 1
és derivable en x = 1.
⎩⎪ 2x si x > 1
Perquè una funció sigui derivable en un punt ha de ser contínua, i perquè sigui
contínua els límits laterals han de ser iguals i coincidir amb el valor de la funció
en aquest punt; en aquest cas, amb f (1) = 1:
-
2
f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ → f (x) no és contínua en x = 1; per tant,
+ f( 1 ) = lim 2x = 2⎪
+ x 1 ⎭
⎪
→ ⎪ no és derivable en x = 1.
077 Demostra que la funció f(x) = ⏐x⏐ 3 és derivable en x = 0.
lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( 0)
→ f (x) és contínua en x = 0.
+ −
x→0 x→0
3
+ f( 0+ h) -f(
0)
⏐⏐ h
f'(
0 ) = lim = lim = lim h
+ + +
h→0 h
h→0
h h→0
2 = 0
3
- f( 0+ h) -f(
0)
⏐⏐ h
f'(
0 ) = lim = lim = lim ( - h ) =
− − −
h→0 h
h→0
h h→0
2 0
Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = 0.
8
497

498
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
078 Justifica si les funcions següents són derivables en els punts x = −2, x = 0 i x = 1.
a) fx ( )=
x
2 b) g(x) = x⏐x + 2⏐
a) • Si x = -2: lim f( x) = lim f( x) =- 1= f ( -2)
→ f(x) és contínua en x = -2.
+ −
x→-2 x→-2
lim f( x)
=+ `⎫⎪
+ x →0
• Si x = 0:
⎬
⎪ → f(x) no és contínua en x = 0, per tant,
lim f( x)
=-`
⎪
− x →0
⎭
⎪ no és derivable en x = 0.
• Si x = 1: lim f( x) = lim f( x) = 2= f () 1 → f(x) és contínua en x = 1.
+ −
x→1 x→1
Estudiem la derivabilitat en els punts en els quals la funció és contínua:
f'( x)=-
x
2
2
1
• Si x = -2: f'( - 2)
=- → f(x) és derivable en x = -2.
2
• Si x = 1: f'( 1) =-2 → f(x) és derivable en x = 1.
⎧x(
x+ ) x ≥-
b) g( x)
= ⎨
⎪ 2 si 2
⎩⎪ - x( x+ 2) si x -
g'( x)=
⎨
⎪2
2 si 2
⎩⎪ -2x - 2 si x
f'( x)=
⎨
⎪ 2 si 0
⎩⎪ 2x si x < 0
- f'(
0 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 0⎭⎪f
(x) és derivable en x = 0.

SOLUCIONARI
080 Troba el valor de k per al qual aquesta funció:
⎧ ⎪
x
− x <
fx ( )= ⎨
⎪6
si 2
⎪ 2
⎪ 2
⎩⎪
x + kx si x ≥2
és contínua.
Estudia si la seva derivada és una funció contínua.
(Activitat de Selectivitat)
x
• Si x < 2: f( x ) = 6-→
Funció polinòmica, per tant, contínua en (-` , 2).
2
2
• Si x > 2:
f( x) = x + kx → Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 2, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f(2) = 4 + 2k:
⎛ x ⎞
- f ( 2 ) = lim ⎜6-
5
x 2 ⎝⎜
2 ⎠⎟
+ f ( 2 ) lim
x 2
=
⎫ ⎪
− →
⎬
⎪ - +
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f ( 2) → 4+
2k = 5→k
=
2 ⎪
= ( x + kx) = 4+ 2k⎪
+ →
⎭
⎪
⎧⎪
x
⎧
⎪
⎪
⎪6
- si x < 2 ⎪
1
⎪-
si x < 2
Aleshores: f( x)=
⎨
⎪ 2
→ f'(
x ) = ⎨
⎪ 2
⎪ 2 1
⎪
⎪x
+ x si x ≥ 2 ⎪ 1
⎪2x
+ si x > 2
⎩⎪
2
⎩⎪
2
1 ⎫
- ⎪
f'(
2 ) =- ⎪
2
⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
+ 9 ⎪
f'(
2 ) = ⎪ f (x) no és derivable en x = 2.
2 ⎭⎪
Així, doncs, la funció derivada no és contínua en x = 2.
081 Considera f la funció definida per:
⎧ 2 x − x x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 3
⎩⎪ 2x + a si x < 3
a) Troba el valor de a perquè f sigui contínua.
b) Comprova si és derivable en x = 3 a partir de la definició.
(Activitat de Selectivitat)
2
a) • Si x > 3: f( x) = x - 2x→
Funció polinòmica, per tant, contínua en (3, +`).
• Si x < 3: f( x) = 2x
+ a → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 3).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 3, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f (3) = 3:
- f( 3 ) = lim( 2x + a) = 6 + a⎫⎪
− x →3
+
2
⎬
⎪ - +
→ f( 3 ) = f( 3 ) = f( 3) → 6+ a = 3→a=-3 f( 3 ) = lim( x -2x)
= 3 ⎪
+ x →3
⎭
⎪
b) La funció només pot ser derivable si és contínua; per tant, considerem:
⎧ 2 x - x x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 3
⎩⎪ 2x - 3 si
x < 3
8
1
2
499

500
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
2
+ f( 3+ h) -f(
3) ( 3+ h)
-2(
3+ h)
- 3
f'(
3 ) = lim = lim =
+ +
h→0 h
h→0
h
2
9+ 6h+ h -6-2h- 3
= lim = lim ( 4 + h) = 4
+ +
h→0hh→0 - f( 3+ h) -f(
3) 23 ( + h)
-3-3 2h
f'(
3 ) = lim = lim = lim = 2
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x)
no és derivable en x = 3.
082 Considera la funció definida per:
⎧ ax e x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ si 0
⎩⎪ 2x + 1 si x > 0
en què a és un nombre real.
a) Calcula lim fx ( ) i comprova que f(x) és contínua en x = 0.
x →0
b) Digues per a quin valor del paràmetre a la funció f(x) és derivable en x = 0?
(Activitat de Selectivitat)
a)
lim ( 2x+ 1) = 1⎫⎪
+ x →0
⎬
⎪ → lim f( x)=
1
ax lim e = 1 ⎪ x →0
− x →0
⎭
⎪
f ea⋅0 ( 0) = = 1
lim f( x) = f ( 0)
→ f(x) és contínua en x = 0.
x →0
⎧ ax ae x <
b) f'( x)=
⎨
⎪ si 0
⎩⎪ 2 si x > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals
han de ser iguals:
- f'( 0 ) = a⎫
a 2
+ ⎬
⎪ → =
f'(
0 ) = 2⎭⎪
083 Determina el valor de a, si existeix, per al qual la funció següent és derivable en x = 0.
⎧cos
x
fx ( ) = ⎨
⎪
2
⎩⎪ x + a
si x ≤ 0
si x > 0
Perquè la funció sigui derivable, en primer lloc ha de ser contínua.
La funció és contínua en x = 0 si els límits laterals són iguals i coincideixen
amb f (0) = cos 0 = 1:
- f( 0 ) = lim cos x = 1 ⎫⎪
− x →0
+
2 ⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 1
f( 0 ) = lim ( x + a) = a⎪
+ x →0
⎭⎪
⎧cos
x x ≤
si
Aleshores: f( x)
= ⎨
⎪
f ( x)
=
⎩⎪ x + x >
-
si 0 ⎧ n x six
<
→ '
2
⎨
⎪
0
1 si 0 ⎩⎪ 2x
si x > 0
- f'(
0 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪
f'(
0 ) = 0⎭⎪
→ Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f (x) és derivable en x = 0 si a = 1.

084 Donada la funció:
⎧ 2
ax + x <
fx ( )= ⎨
⎪ 1 si 2
2 x e + 2 si x ≥2
⎩⎪ −
SOLUCIONARI
calcula a perquè f sigui contínua en x = 2. Per al valor que has obtingut,
digues si f és derivable en x = 2.
(Activitat de Selectivitat)
Perquè la funció sigui contínua en x = 2, els límits laterals han de ser iguals i
coincidir amb f (2) = 3:
-
2
f( 2 ) = lim( ax + 1) = 4a+ 1⎫⎪
− x →2
⎬
⎪ - +
1
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f( 2) → 4a+ 1= 3→a=
+ 2-x
f( 2 ) = lim ( e + 2) = 3 ⎪
+ x →2
⎭
⎪
2
⎪
⎧ ⎪ x +
Aleshores: f( x)=
⎨
⎪
⎪ x
⎩⎪
e +
x <
f
x ≥
-
1 2 1
2
2 2
si 2 ⎧x
→ '( x ) = ⎨
⎪
x - e
si 2 ⎩
⎪ 2-
⎪
si x < 2
si x > 2
- f'(
2 ) = 2 ⎫
⎬
⎪
→ Les derivades laterals no són iguals; per tant,
+ f'(
2 ) =-1⎭
⎪ f (x) no és derivable en x = 2.
085 Segons els valors de m, determina la continuïtat i la derivabilitat d’aquesta funció:
(Activitat de Selectivitat)
⎧
2 ⎪
⎪3−mx
si x ≤1
fx ( )= ⎨
⎪
2
⎪
si x > 1
⎩⎪
mx
2
• Si x < 1: f( x) = 3-mx→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).
2
• Si x > 1:
f( x ) = → Funció racional contínua si x ≠ 0 i si m ≠ 0.
mx
• Perquè la funció sigui contínua en x = 1, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f(1) = 3 - m:
-
2
f( 1 ) = lim( 3- mx ) = 3 -m⎫⎪
− x →1
⎪
+ 2 2 ⎬
⎪ - +
2
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → 3-
m =
f ( 1 ) = lim = ⎪
m
+ x →1
mx m ⎭
⎪
⎧
2 m = 1
→ m - 3m+ 2= 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ m = 2
Per tant, f (x) és contínua en R si m = 1 o m = 2.
Perquè una funció sigui derivable ha de ser contínua; considerem, doncs,
la derivada de la funció si m = 1 o si m = 2.
⎧
-
⎪-
2mx si x < 1
f'( 1 ) =-2m⎫⎪
f'( x)=
⎨
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪-
si x > 1
+ 2 ⎬
f'(
1 ) =- ⎪
2
⎩⎪
mx
⎪
m ⎭⎪
- +
• Si m = 1 → f'( 1 ) = f'(
1 ) → Les derivades laterals en x = 1 són iguals;
per tant, f (x) és derivable en x = 1 → La funció és derivable en R.
- +
• Si m = 2 → f'( 1 ) ≠ f'(
1 ) → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f (x) no és derivable en x = 1 → La funció és derivable en R - {1}.
8
501

502
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
086 Calcula els valors de a i b perquè aquesta funció:
⎧⎪3
⎪
x + 2 si x < 0
fx ( ) = ⎨
⎪
x + 2acos x si 0≤
x <
⎪ 2
⎩⎪
ax + b si x ≥π
2 π
sigui contínua per a qualsevol valor de x.
Estudia la derivabilitat de f(x) per als valors de a i b que has obtingut en l’apartat
anterior.
(Activitat de Selectivitat)
• Si x < 0: f( x) = 3x + 2 → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 0).
2
• Si 0< x < π: f( x) = x + 2acos
x → Funció polinòmica i trigonomètrica,
per tant, contínua en ( 0, π).
2 • Si x > π: f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en ( π+` , ).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 0, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f(0) = 2a:
- f( 0 ) = lim( 3x + 2) = 2 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → 2a = 2 → a = 1
+
2
f( 0 ) = lim ( x + 2acos
x) = 2a⎪
+ x →0
⎭
⎪
Considerem que a = 1; aleshores, perquè la funció sigui contínua en x =π
els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f( π) = π + b 2 :
-
2 2
f( π ) = lim ( x + 2cos x ) = π -2⎫⎪
− x →π
⎬
⎪ - +
→ f( π ) = f( π ) = f ( π)
+
2 2
f ( π ) = lim ( x + b) = π + b ⎪
2
+ x →π
⎭
⎪ → π - 2 = π + =-
2 b → b 2
⎧ ⎪
3 si x < 0
⎪
Si a = 1 i b = -2, aleshores: f'( x)
= ⎨
⎪
2x - 2sin x si 0 < x < π
⎪
⎩⎪
2x
si x > π
- f'(
0 ) = 3⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 0⎭
⎪ f (x) no és derivable en x = 0.
- f'(
π ) = 2π⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f'(
π ) = 2π⎭
⎪ f (x) és derivable en x =π.
087 Considera la funció següent:
⎧ 3 2 − x + x x <
fx ( )= ⎨
⎪
si 1
⎩⎪ ax −b si x ≥1
Determina els valors de a i b perquè sigui derivable en tots els punts.
Una funció només pot ser derivable en tots els punts si és contínua
en tots els punts.
3 2
• Si x < 1: f( x) =- x + x → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).
2
• Si x > 1:
f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en (1, +`).

SOLUCIONARI
• Perquè la funció sigui contínua en x = 1, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f(1) = a - b:
-
3 2
f( 1 ) = lim( - x + x ) = 0 ⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ - +
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → a- b = 0 → a = b
+ f( 1 ) = lim( ax - b)
= a-b⎪ + x →1
⎭
⎪
La funció és derivable en x = 1 si les derivades laterals existeixen i són iguals.
⎧ 2 - x + x x <
f'( x)=
⎨
⎪ 3 2 si 1
⎩⎪ a si x > 1
- f'(
1 ) =-1⎫
a 1 b 1
+ ⎬
⎪ → =- → =-
f'( 1 ) = a ⎭
⎪
088 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
⎧sin
x
fx ( ) = ⎨
⎪
⎩⎪ ax + b
si x ≤ 0
si x > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i coincidir amb f (0) = 0:
- f( 0 ) = lim sin x = 0 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 0
+ f( 0 ) = lim ( ax + b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Una vegada hem comprovat que és contínua en x = 0, perquè la funció sigui
derivable en aquest punt les derivades laterals han d’existir i han de ser iguals.
⎧cos
x x <
f'( x)
= ⎨
⎪ si 0
⎩⎪ a si x > 0
- f'(
0 ) = 1⎫
a 1
+ ⎬
⎪ → =
f'( 0 ) = a⎭
⎪
089 Determina els valors de a i b perquè la funció següent sigui derivable en tots
els punts:
⎧ 2 ⎪
⎪bx
+ ax
⎪ a
fx ( )= ⎨
⎪
⎪ x
⎪ 2 ⎪
x + ax+
1
⎪
⎩⎪
x + 1
si x ≤−1
si −< 1 x ≤1
si x > 1
(Canarias. Junio 2006. Opción B. Cuestión 2)
a
Si - 1< x < 1:
f( x ) = → Funció racional, no és contínua en x = 0; per tant,
x no és derivable en x = 0.
Així, doncs, no hi ha valors de a i b per als quals la funció sigui derivable
en tots els punts.
8
503

504
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
090 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
⎧ln
( e+ sin x) fx ( ) = ⎨
⎪
3
⎩⎪ x + ax + b
si x < 0
si x ≥ 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f (0) = b:
- f( 0 ) = lim ln( e+ sin x ) = 1 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 1
+
3
f( 0 ) = lim ( x + ax + b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals han d’existir
i han de ser iguals:
⎧ ⎪
cos x
1 ⎫
- ⎪
x <
f'( x)
= ⎨
⎪
si 0
f'(
0 ) = ⎪ 1
e+ sin x
e ⎬
⎪ → a =
⎪
⎪
2
+
e
⎩⎪
3x + a si x > 0
f'( 0 ) = a ⎪
⎭⎪
091 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
sin x
fx ( ) =
x ax b
x
x
+ ≤
⎧
⎨
⎪5
2
⎩⎪ − + +
si 0
si > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f (0) = 5:
- f( 0 ) = lim( 5+ sin x)
= 5 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 5
+
2
f( 0 ) = lim ( - x + ax
+ b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals han d’existir
i han de ser iguals:
-
⎧cos
x x <
f'( x)
= ⎨
⎪
si 0
f'(
0 ) = 1⎫
a 1
⎩⎪ - 2x + a si x > 0
+ ⎬
⎪ → =
f'( 0 ) = a⎭
⎪
092 Demostra que la funció següent és derivable per a tots els valors de x.
⎧⎪
2 x sin
fx ( ) = ⎨
⎪
⎪
⎩⎪
0
1
x
si x ≠ 0
si x = 0
La funció és derivable per a tots els valors de x només si és contínua en tots els valors.
Estudiem la continuïtat en x = 0:
sin 1
2 1
funció acotada → f( 0)
= lim x sin = 0 → f(x) és contínua.
x x →0
x
1 1
f'( x) = 2x
sin -cos si x ≠ 0
x x
2 1
h sin - 0
h
1
f'(
0)
= lim
= limhsin = 0 → f(x) és derivable.
h→0hh→0h

SOLUCIONARI
093 Calcula de manera justificada els valors de m i n perquè la funció següent sigui
derivable en x = 4
⎧
2
fx ( )=
−x ⎨
⎪ 25
⎩
⎪ 2
⎪ x + mx + n
si −5≤ x < 4
si x ≥ 4
Perquè la funció sigui derivable en x = 4, ha de ser contínua en aquest punt; i perquè
sigui així, els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f(4) = 16 + 4m + n:---
-
2
f( 4 ) = lim 25- x = 3
⎫ ⎪
− x →4
⎪ - +
⎬→
f( 4 ) = f( 4 ) = f ( 4)
+
2
f( 4 ) = lim ( x + mx + n)
= 16 + m+ n ⎪
+ x →4
⎭⎪
→ 16 + m+ n=
3
Perquè la funció sigui derivable en x = 4, les derivades laterals han d’existir
i han de ser iguals:
⎧ ⎪
-x
f'( x)=
⎨
⎪
2
⎪ 25 - x
⎪
⎩⎪
2x + m
si - 5< x < 4
si x > 4
4 ⎫
- ⎪
f'(
4 ) =- ⎪
4
3 ⎬ → 8 + m =-
⎪
+
3
f'( 4 ) = 8+
m⎪
⎭⎪
28
→ m =-
3
28
20
11
Així, doncs: 16 - + n= 3 → + n= 3 → n =-
3
3
3
094 Fes servir la definició per calcular la funció derivada de les funcions següents:
a) f(x) = 123 b) f(x) = 3x 2 c) f(x) = x 3 d) f(x) = ax
a) f'( x)=
0
b) f'( x)= 6 x c) f'( x)= 3x 2
095 A partir de la definició, troba la funció derivada d’aquestes funcions:
d) f'( x)= a
a) fx ( )=
x
1 b) fx ( )= x c) f(x) = sin x d) f(x) = cos x
a) f'( x)
= lim
h
x + h x
h
x x h
lim
h xh( x h) x
-
- -
=
+
=-
→0 1 1
1
→0
2
( ) ( + + )
b) f'( x)
= lim
h→0 x + h -
h
x
= lim
h→0
x + h - x x
h( x + h +
h
)
x
=
(
+ -
+ + ) =
x
lim
h→0
h
x h x
x h x
1
2 x
sin ( x+ h) -sin
x sin x ⋅ cos
h+ cos x⋅sin h-sin x
c) f'( x)
= lim = lim = cos x
h→0 h
h→0
h
cos ( x+ h) -cos
x cos x ⋅ cos
h-sin x⋅sin h-cos x
d) f'( x)
= lim = lim =-sin
x
h→0 h
h→0
h
=
8
505

506
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
/
096 Calcula la derivada en el punt x = 1 de la funció f( x) = x ln x
−12 .
(Activitat de Selectivitat)
3
1
ln x
ln
f'( x) =- x ln x + x ⋅ =- + =
x
x x x
-
1 - - 1
1 2 x
2
2
2
3
2
x x
f'( 1) = 2
097 Calcula les tres primeres derivades de les funcions següents:
a) f(x) = 2x
b) g(x) = x 2
c) h(x) = x 3
d) i(x) = cos x
e) j(x) = sin x
f) k(x) = tg x
a) f'( x)
= 2
f" ( x)
= 0
f"'( x)
= 0
b) g'( x) = 2x
g" ( x)
= 2
g"'( x)
= 0
2
c) h'( x) = 3x
h" ( x) = 6 x
h"'( x)
= 6
d) i'( x) =-sin
x
i" ( x) =-cos
x
i"'( x) = sin x
e) j'( x) = cos x
j" ( x) =-sin
x
j"'( x) =- cos x
2
f ) k'( x) = 1+
tg x
2
k" ( x) = 2tg x ⋅ ( 1+
tg x)
2 2 2 2
2
k"'( x)
= 2(
1+ tg x) + 2tg x ⋅2tg x ⋅ ( 1+ tg x) = ( 2+ 4tg
x ) ( 1+
tg x )
098 Troba els punts en els quals la funció h(x) = ln x és derivable, i calcula’n
les dues primeres derivades.
La funció és contínua en el seu domini, (0, +`).
h'( x)=
x
1 → h(x) és derivable en (0, +`).
h"( x)=-
x
1
2

SOLUCIONARI
099 Determina els punts en els quals les funcions següents són derivables, i calcula
les dues primeres derivades de cadascuna:
a)
⎧ 2 x
fx ( )= ⎨
⎪
⎩⎪ 2x si x ≤1
si x > 1
b) g(x) = x + ⏐x − 2⏐
⎧
c)
x + x ≤−
vx ( )= ⎨
⎪3
4 si 1
⎩⎪ −2x − 1 si x >−1
a) f (x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues
i derivables en R.
-
2
f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ - +
→ f( 1 ) ≠ f(
1 ) → f (x) no és contínua en x = 1; per tant,
+ f( 1 ) = lim 2x = 2⎪
+ x 1 ⎭
⎪
→ ⎪
no és derivable en x = 1.
⎧ x x <
f'( x)=
⎨
⎪2
si 1
⎧ x <
f"( x)=
⎨
⎪2
si 1
⎩⎪ 2 si x > 1
⎩⎪ 0 si x > 1
Així, doncs, f (x) és contínua i derivable en R - {1}.
⎧ x - x ≥
b) g( x)=
⎨
⎪2
2 si 2
⎩⎪ 2 si x < 2
g(x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues i derivables
en R.
- g(
2 ) = lim 2= 2 ⎫⎪
− x→2
⎬
⎪ - +
→ g( 2 ) = g( 2 ) = g(
2 ) →g(x)
és contínua en x = 2.
+ g( 2 ) = lim( 2x- 2) = 2⎪
+ x→2
⎭
⎪
⎧ x >
g'( x)=
⎨
⎪2
si 2
⎩⎪ 0 si x < 2
- g'(
2 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen però són diferents.
g'(
2 ) = 2⎭⎪g(x)
no és derivable en x = 2.
Així, doncs, g(x) és contínua en R, i derivable en R - {2}.
g"( x)= 0 si x ≠ 2
c) v(x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues
i derivables en R.
- v( - 1 ) = lim ( 3x + 4) = 1 ⎫⎪
− x →-1
⎬
⎪ - +
→ v( 2 ) = v( 2 ) = v(
2)
+
v( - 1 ) = lim ( -2x -1)
= 1⎪
+ x →-1
⎭
⎪ → v(x) és contínua en x = -1.
⎧ x

508
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
100 Troba la derivada n-èsima de cadascuna de les funcions següents:
a) fx ( )= x
b) g(x) = cos 2x
c) h(x) = e −x
1
1 -
a) f'( x) = x 2
2
3
1 -
f" ( x) =- x 2
4
5
3 -
f"'( x) = x 2
8
7
IV) 15 -
f ( x) =- x 2
16
n) n-1(
2n-3)( 2n-5) ⋅…⋅1 Si n ≥ 4 , la derivada n-èsima és: f ( x)
=- ( 1)
⋅
⋅ x
n 2
b) g'( x) =-2sin
2x
g" ( x) =-4cos
2x
g"'( x) = 8sin 2x
IV) g ( x) = 16cos 2x
V ) g ( x) =-32sin
2x
Així, doncs, podem calcular la derivada n-èsima segons les expressions:
g
n)
⎧ 2k-1) k 2k-1 g ( x) = ( -1)
2 sin 2x
= ⎨
⎪
per a k = 1, 2, 3, …
2k)
k 2k
⎩⎪ g ( x)
= ( -1)
2 cos 2x
c) h'( x) =-e
-
h" ( x) = e
-x
x
) -
Així, doncs, la derivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) e
101 Calcula la derivada n-èsima d’aquestes funcions:
n n x
a)
x
fx ( )=
x
+ 1
1−
b) g(x) = sin 2 x c) h(x) = ln x
( x) ( x)(
)
a) f'( x)
=
( x) ( x)
f" ( x)
- - + -
1 1 1 2
=
2 2
1-
1-
4
=-
3 ( 1-
x )
f"'( x)
=
12
4
( 1-
x )
IV)
48
f ( x)
=-
5
( 1-
x )
n) n-12⋅n!
Així, doncs, la derivada n-èsima és: f ( x)
= ( -1) ⋅
n ( 1-
x )
+ 1
n
- - 2 1
2

) g'( x) = 2sin xcos x = sin 2x
g" ( x) = 2cos 2x
g"'( x)
=-4sin
2x
IV) g ( x) =-8cos
2x
V) g ( x) = 16sin 2x
SOLUCIONARI
Així, doncs, podem calcular la derivada n-èsima segons les expressions:
g
n)
⎧ 2k- 1) k+ 1 2k-2 g ( x) = ( -1)
2 sin 2x
= ⎨
⎪
2k
)
k+ 1 2k-1 ⎩⎪ g ( x)
= ( -1)
2 cos 2x
c) h'( x)
=
1
x
= x
-2
h" ( x) =-x
-3
h"'( x) = 2x
h ( x)
=-6
IV) x -4
-1
per a k = 1, 2, 3, …
) 1
Així, doncs, la derivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) ⋅( n-1)! x
n n+ -n
102 Donada la funció h(x) = e sin [f(x)] , calcula el valor de la seva derivada en x = 0,
si saps que f(0) = 0 i f'(0) = 1.
(Activitat de Selectivitat)
sin[ f( x)]
h'( x) = e cos [ f( x)] ⋅ f'( x )
sin[ f ( 0)] sin 0
0
h'( 0) = e cos [ f( 0)] ⋅ f'( 0)
= e ⋅cos 0⋅ 1= e = 1
103 Digues si hi pot haver dues funcions diferents que tinguin la mateixa funció derivada.
Si la resposta és afirmativa, posa’n un exemple; si, al contrari, la resposta és negativa,
justifica-ho.
(Activitat de Selectivitat)
Sí, hi pot haver dues funcions diferents amb la mateixa funció derivada.
Per exemple:
2
f( x) = x + 3⎫
⎬
⎪ → f'( x) = g'( x) = 2x
2
g( x) = x -2⎭⎪
104 Per mitjà de la propietat de la derivada d’una suma i la del producte d’una constant
per una funció, calcula la derivada d’aquestes funcions:
a) y = x 2 + x + 3 d) y = 5sin x − 10cos x
b) 3 y =− 12 + 8x
+
1
x
e) y = 4x6 − 5x3 + 3
2 c) y = 3+ 5x + 8 x
f) y = cos2 x + cos x2 a) y' = 2x + 1 d) y' = 5cos x + 10sin
x
2
b) y' = 24 x -
1
2 x
e) 5 2
y' = 24 x -15x
c) y' = 10 x +
4
x
f ) 2
y' =-2cos x sin x - 2xsin x
8
509

510
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
105 A partir de la propietat de la derivada d’un producte de funcions, calcula la derivada
d’aquestes funcions:
a) y = 12x4 c) y = 5x 2 sin x
b) y = 3x3 ln x d) y = 3 x ( x + 2x)
a) y' = 48 x3
b) y' = 9x ln x + 3x
2 2
c) y' = 10 x x + 5x x 2 sin cos
d) y'
=
1
2 x
3 ( x + 2x) + 2 x ( 3x + 2)
=
3 7x + 6x
2 x
106 Fes servir la propietat de la derivada d’un quocient de funcions per calcular
la derivada de les funcions següents:
a) y
=
x
1
3
x
a) y'
=
x x
- 2 3 3
=-
6 4
2 5x−1 b) y =
x + 2
2
c) y =
x −2
2
2
10 x( x+ 2) -( 5x-1) 5x + 20x + 1
b) y'
=
=
2
2
( x + 2)
( x + 2)
c) y'
=
x
-2
( - )
2 2
( + tg x) x-tg x
d) y'
=
x
1 2
2
107 Determina quina és la derivada de les funcions següents:
a)
x
y =
x
+ 2 1
−1
b) y
=
x
12
3
c) y
=
x
7
400 e) y
2 4x+ 1
d) y =
x
2
2
2x( x-1) - ( 1+
x ) x -2x -1
a) y'
=
=
2
2
( x - 1)
( x - 1)
b) y'
=-
x
36
4
2. 800
c) y'
=-
401 x
2 2
2
8x - ( 4x + 1) 4x-1 d) y'
=
=
2
2
x
x
3 2
3 2
-x -( 2-x) 3x 2x - 6x 2x-6 e) y'
= =
=
6
6 4
x
x
x
x - x + x x x x
f ) y'
=
=
x
x
x
- -
=- +
2
2
( 12 )
2 2
4
4 3
= − 2
x
x
f) y =
x
+ 1
3
x
2
d) y
=
x
tg
x

108 Calcula la derivada de les funcions trigonomètriques següents:
a) y = 4 arctg x d) y = (1 + x 2 ) arctg x
b) y = (3x + 1) arccos x e) y = (x 2 + 8x + 1) sin x
c) y = 2 cos x + tg x f) y = 5 sin x ⋅ cos x
4
a) y'
=
1+
x
b) y' = 3arccos
x -
2
3x+ 1
1-
x
2
c) y' =- 2sin x + 1+ tgx
d) y' = 2xarctg x + 1
2
e) y' = ( 2x + 8)sin x + ( x + 8x + 1)cos
x
2 2
f ) y' = 5cos x -5sin
x
109 Troba la derivada d’aquestes funcions logarítmiques:
a) y = ln (9x5 3
+ 7x + 2) d) y = ln x + 2x
b)
x
y =
x
ln
2
x
e) y =
x
ln
c) y = log2 (3x 2 − 7) f) y = ln (4x + 7)
4 45x + 7
a) y'
=
5 9x + 7x + 2
⋅ x - x ⋅ x
x
x
b) y'
=
=
x
x
-
1 2 ln 2
1 2ln
4 3
6 x
c) y'
=
2 ( 3x-7)ln 2
1
1
-
3 x + 2x 2 2
( ) ( 3x+ 2)
2
2
3x+ 2
d) y'
=
=
3
3
x + 2x
2( x + 2x)
⋅ x - x
x
x
e) y'
=
=
x
x
-
1
ln
1 ln
2 2
4
f ) y'
=
4x+ 7
110 Troba la derivada de la funció y = ln sin x2
i simplifica’n el resultat.
(Activitat de Selectivitat)
1
1 -
2 2 2
sin x cos x ⋅ 2x
2
2
xcos x
y'
=
= =
2
2
sin x
sin x
2
xcotg x2
SOLUCIONARI
8
511

512
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
111 Calcula la derivada de les funcions següents:
a) y = 4x f) y = 5x2 3
b) y =
8
2 x − 4
c) y =
2x−1 2 x − x
d) y = 7 x + 8 x
3
g) y =
x
x
−2
−3
h) y =
2 x ( 1−
x)
2 x −1
i) y = x 2 (sin x − 5x)
e) y = xe x j) y = 2 x + log2 x
x a) y'
= 4 ln 4
16 x
b) y'
=-
( x - 4)
2 2
2
2
2( x - x ) -( 2x -11 )( -2x)
2x - 2x + 1
c) y'
=
=
2 2
2 2
( x - x ) ( x - x )
1
- -
d) y' = 7 ⋅ x + ⋅ x =
x
+
x
1
8
2
1
2
3
3
x x x
e) y' = e + xe = ( 1+
x) e
7
2
8
3
3
2
1 -
2
10 x 10
f ) y' = ( 5x ) 3 10x=
=
3 3 2 2
3
3 ( 5x)
3 25x
( x -3) -( x - 2)
1
g) y'
= =-
( x - 3)
( x - 3)
2
2 2
x - x - x x - - x - x x x
h) y'
=
=
x -
- +
2 2 2
4 2
( 2 ( 1 ) ) ( 1) ( 1 ) 2
3x - 2x
2 2
2 2
( 1)
( x - 1)
2 2
i) y' = 2x(sin x - 5x) + x (cos x - 5) = 2x
sin x + x cos x - 15x2 x 1
j) y'
= 2 ln 2+
xln
2
112 Troba les derivades i simplifica’n el resultat:
2
a)
x + 1 x
( x + 2)
y =
b) y = c) y =
ln x
x + 1
e x
a) y'
=
x x
xe - x + e
x e
x x
=
x e
- + -
2 2 ( 1) 2 ( )
2 2 1
ln x - x ⋅
b) y'
=
(ln x )
x
=
ln x -
ln x 2
2
1
1
2 2
2( x + 2)( x + 1) - ( x + 2)
x + 2x + 8
c) y'
=
=
2
2
( x + 1)
( x + 1)
x x
xe - x - e ⋅ x x x
d) y'
=
=
x x
e
e
- +
2 2
2
3
2 ( 1) 2 2 4
2 2
2 ( )
2
2
d)
x
y =
−
2 1
e x 2

113 Calcula la derivada de les funcions següents:
a) y = 3x2 +4
f) y = arctg x
b) y = (x 5 − 2) 3 2
g) y = 2x + 1
c) y = x − x
3 3
2 h) y = ex2−7 d) y = 5e −x2
e) y =
i) y = sin 2 x
x + 1
j) y = 2 3 x
2 x + 4 a) y' = 3 ln 3⋅2x b) y' = 15x ( x -2)
4 5 2
2
sin x
-
2
1 3
3x-2 c) y' = x -2x 3 2
( ) ( 3x - 2)
=
3
3 3 ( x - 2x)
d) y xex - ' =-10
2
e) y'
=
1 -
( x + 1) 2
x -
x
x + 1⋅3x f ) y'
=
1
1 -
x 2
2
1+
x
=
1
21 ( + x) x
1
-
2
g) y' = ( 2x + 1) 2 4 x =
2
h) y xex ' = 2
2-7 i) y' = 2sin x cos x
sin x
j) y' = 2 ln 2⋅cos
x
1
2 3 2
114 Troba la derivada d’aquestes funcions:
a) y
= arcsin
x
1
b) y = cos (x 2 + 5x + 5)
a) y'
=
1
-
2 x
-
x
⎛
⎜ 1 ⎞
1
⎝⎜
⎠⎟
1
3 2
6 4
c) y
2x
2 2x+ 1
=
x
cotg
2
x
=
x x
- - 5 6
2 + 1
x
d) y = 12 3x + x 2
=-
x
=-
1
x x - 1 x x - 1
2 2 2 2
2 b) y' =- sin ( x + 5x + 5) ⋅ ( 2x + 5)
1
c) y =
tg x ⋅ x
2
+ x x + x ⋅ x x x x
y'
= =
x ⋅ x
+ +
2 2
( 1 tg ) tg 2 tg 2
2 2
3 2
(tg )
x tg x
2 tg
SOLUCIONARI
8
e) y = arcsin (5x + 1)
f) y = ln (sin x 2 )
g) y = (4x 2 − 5x + 1)3 x
x
513

514
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
-
d) y' = 12 ⋅ x + x x + =
x +
x + x
1 2 ( 3 ) 2 ( 6 1)
2
36 6
2 3
e) y'
=
5
=
5
2 1- ( 5x + 1)
2 -25x -10
x
2 cos x ⋅ 2x
f ) y'
=
= 2xcotg
x
2 sin x
x 2
x
g) y' = ( 8x - 5) 3 + ( 4x - 5x + 13 ) ln 3
115 Calcula la derivada d’aquestes funcions:
1
2
a) y = tg2 (2x + 3) c) y = ln ( 3x −5
)
e) y = 2xarcsin x
b) y = arctg (x 3 4 3
+ 6) d) y = 5x + 1
2
a) y' = 4tg( 2x + 3) ( 1+ tg ( 2x+ 3)
)
2 3x
b) y'
=
1+ ( x + 6)
3 2
1
c) y' = ( ln ( 3x -5)
)
2
1
-
2
x - x x
=
3
3
3 5 23 ( -5) ln( 3 -5)
d) y' =
1
-
3 5x + 1 4 2
( ) 15x
=
4
2 15x
4 4 ( 5x+ 1)
e) y' = 2arcsin x + 2x⋅
1
2 1-
x
1
2
-
f ) y' = ( 5x - 2) 3 5 =
3
10
3
3 5x-2 3
3 3
116 Determina la derivada de les funcions següents:
x x
a) y = sin
e x
x
f) y = e + x
b) y = arctg
x
1 g) y =
5 5
2
c) y = ln (1 − 2 x ) h) y = x 2 e −x
x
d) y =
x
cos
2
i) y = e1−x2 e) y = sin
1
+ cos
x
1
x
j) y = sec x
x x + −
x x
(sin x + xcos x) e - xsin x ⋅ e sin x + xcos
x xsin x
a) y'
=
=
x 2 ( e )
e x
-
-
x
x
b) y'
=
x x x
+
x
⎛
=-
⎞
+
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=- 1
2
2
1
2
2 2 2
1 ( 1)
+ 1
1
x
c) y'
=
x
-2
ln
2
1-2 f) y = ( 5x −2)
2
3

2 -sin x ⋅ x -cos x ⋅2x
xsin x + 2cos
x
d) y'
= =-
4 3
x
x
e) y'
= ⋅ -
x x x x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
- ⋅ -
⎛
1 1 1 ⎞
⎜ 1
cos sin ⎟
2 ⎝⎜
2 ⎟⎠
1
f ) y' =
1
-
x x
( e + x) 2 ( e + 1)
=
2
x e + 1
x 2 e + x
g) y'
=
x x ln - ln -
5 5 5 5
2
2 2
h) y' = 2xe - x e = ( 2x
- x ) e
2 1- x
i) y' = e ( -2x)
j) y =
-x -x -x
1
cos x
y'
=
x
⎛ 1 ⎜ 1 ⎞
2 ⎝⎜
cos ⎠⎟
1
-
2
sin x
cos
117 Calcula la derivada d’aquestes funcions.
a) y = ln
x + 1
x −1
b) y = arctg
x
x −1
1 ⎛
⎜ x + 1⎞
2 ⎝⎜
x - 1⎠⎟
a) y'
=
1
-
2
2
x
sin x cos x
=
2 2cos
x
c) y = arccos (ln x)
d) y = 2
x -1- ( x + 1)
x + 1
x - 1
x -1- x
2 ( x - 1)
b) y'
=-
⎛ x ⎞
1+
⎜
⎝⎜
x - 1⎠⎟
c) y'
=-
( x - 1)
2
3 cos x
SOLUCIONARI
e) y = log2 1
x
f) y = cos 3 x + sin x 2
x
=- ⋅
x - x x
-
+ =- 1 1 1
2 2
( 1)
1 - 1
1
1
= =
2 2
( x - 1)
+ x 2x - 2x + 1
2 2
1
x
2 1-
(ln x )
=-
x
1
2 1-
ln x
2
3 cos x
cos cos n x 2
1 -
x x
ln 2 si
d) y' = ( 2 ) 3 2 ln 2 ( - sin x)
=-
3 3
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
x
e) y'
=
x
-
⎛ -
1 1 2 ⎞
⎜ 1
2 ⎝⎜
2 ⎠⎟
=
1
ln 2
1
- 1
2xln 2
2
f ) y' =- 3cos x sin x + 2sin
x cos
x
8
515

516
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
118 Troba les derivades i simplifica’n el resultat:
a) y = arcsin x
4 3
b) y = sin ( x + 1)
c) y = 2 x2 +4 + x 2 + 4
ln x + 1
d) y =
x
⎛ x ⎞
e) y = ln ⎜
⎝⎜
x + 1⎠⎟
a) y'
=
x
x
- x x x
=
1 1 -
2
2
1
1 2 -
2
3
2
3
1
3
-
3x
x
b) y' = x + 1 4
3 2 cos ( + 1)
( sin ( ) ) cos ( x + 13 ) x =
4
4 3 3 4 sin ( x + 1)
2 x + 4
c) y' = 2 ln 2⋅ 2x + 2x
d) y'
=
1
( x + 1)
2
x + 1
1
-
2
2 1 1
=
2 2 1
- + +
x ( x ) ln x
( x + ) x
⎛ x ⎞
e) y = xln
⎜
⎝⎜
x + 1⎠⎟
x + 1-
x
2
⎛ x ⎞ x
y'
= ⎜
( + 1)
ln ⎜ + x ⋅
⎝⎜
x + 1⎠⎟
x
x + 1
x
⋅ x - x +
x +
=
x
x
- +
ln 1
ln
2( 1)
2
2
⎛ x ⎞
= ln ⎜
⎝⎜
x + ⎠⎟
x
+ 1
1 + 1
119 Troba la derivada en x = 0 de la funció f(f(x)), en què f(x) = (1 + x) −1 .
(Activitat de Selectivitat)
f'( x) =- ( + x ) - 1
2
⎛ ⎞
-2
- 2
((( f f x))) ' = f'(( f x)) f'( x) =- ( 1+ f( x) ) ( - ( 1+
x ) = ⎜ 1 1
) ⎜1+
⎝⎜
1+
x ⎠⎟
( 1+
x)
⎛ 1 ⎞ 1
((( f f 0))) ' = ⎜
⎜1+
=
4
⎝⎜
2
1+ 0⎠⎟
( 1+ 0)
2
x
1
=
2
2

SOLUCIONARI
120 Donada la funció f( x)
=
sin x + sin ( x + 1)
en l’interval 0 < x < 2π,
cos x − cos ( x + 1 )
calcula’n la derivada i simplifica-la tant com puguis. És constant aquesta funció f(x)?
(Activitat de Selectivitat)
( cos x+ cos ( x+ 1)(cos ) x- cos( x+ 1) - ( sin x + sin(
x+ 1) )( - sin x+ sin( x + 1)
)
f'(x) =
( cos x- cos ( x+
1)) 2
=
2 2 2 2
cos x- cos ( x+ 1) + sin x- sin ( x+
1)
1-1 =
=
( cos x - cos ( x+ 1)
) ( cos x- cos ( x + 1)
)
2 2
Com que té com a derivada la funció nul·la, es verifica que f (x) és contant.
121 Comprova que la derivada de la funció següent és constant:
(Activitat de Selectivitat)
f'(x) =
1 ⎛
⎜ 1-
cos x ⎞
⎜
2 ⎝⎜
1+
cos x ⎠⎟
f( x)
= arctg
1
-
2
2sin
x
2
( 1+
cos x )
=
⋅
1+ cos x + 1-cos
x
2 ⋅
1+
cos x
sin x
=
⋅
21 ( + cos x )
1
= sin x ⋅
2
1−
cos x
1+
cos x
amb 0 ≤ x ≤ π.
sin x ⋅ ( 1+
cos x) -( 1-cos
x)( -sin
x )
( + cos x )
cos x
+ -
1
1
1
1+
cos x
1+
cos x
1-
cos x
1
2 1-
cos x
1+
cos x
1-
cos x
1
= sin x ⋅
2
1 1 1
= sin x ⋅ =
2 sin x 2
2
=
sin x ⋅ ( 1+
cos x)
=
⋅
2
21 ( + cos x )
1+ cos
x
=
2
( 1+ cos x)( 1-cos
x)
122 Calcula la derivada de la funció y = f(x) definida implícitament per l’equació
x + y = 5. Comprova que coincideix amb l’expressió que obtenim
quan aïllem la variable y i, després, derivem respecte de x.
1
1
1 1
1 1 5
x 2 y 2 y 0
2 2
y y
- -
y
x
+ = =- y =- =-
x
x
x
-
' → ' → '
( )
Aïllem: y = 5- x → y = 5-
x
y' = ( - x ) - x
⎛
⎜ 1
25 ⎜
⎝⎜
2
1
-
2
⎞ 5 - x
⎠⎟
=-
x
2
= 0
8
1+
cos x
1- cos x
=
517

518
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
123 Troba la derivada de la funció y = f(x) definida implícitament per cadascuna
de les expressions algebraiques següents.
a) x 2 + y 2 − 2xy = 0
b) x = cos (xy)
c) x 3 + 3y 2 − 2ay = 0
d) e 2y − ln x 3 = 3
e)
2 x
16
+
2 y
4
= 1
f) x 3 + y 3 + xy = 0
2y - 2x
a) 2x + 2yy'-2y - 2xy' = 0 → ( 2y - 2x) y' = 2y - 2x
→ y'
= = 1
2y
- 2x
1 1
b) 1=-
sin ( xy)( y + xy') → y + xy'
=- → xy'
=- - y
sin ( xy)
sin(
xy)
y sin ( xy)
y =
xsin ( xy)
-- 1
→ '
2 2
c) 3x + 6yy - 2ay = 0 6y - 2a y =- 3x
y =
2 3x
6y 2a
-
' ' → ( ) ' → '
-
2
2y 3x
d) e 2y'-
3 x
2y
= 0 → e 2y'
=
3
x
→ y'
=
3
2y
2xe
e) 2x
16
2y
+ ⋅ y'
= 0 →
4
y
x
⋅ y'
=-
2 8
x
→ y'
=-
4 y
2
2 2 2 2
3x
+ y
f ) 3x + 3y y'+ y + xy' = 0 → ( 3y + x) y' =-3x - y → y'
=-
3y x 3 +
124 Fes servir la derivació logarítmica per calcular la derivada d’aquestes funcions:
a) y = x x
b) y = (1 + x 2 ) x
cos x
c) y = (sin x)
x 3
d) y = x
a) ln f( x) ln x x =
ln f( x) = xln x
f'( x)
1
= + ln x
f( x) x
⎛ x
f'( x) = x ⎜ 1 ⎞
+ ln x
⎝⎜
x ⎠⎟
2 x
b) ln f( x) = ln ( 1+
x )
2
ln f( x) = xln ( 1+
x )
f'( x)
2 2x
= ln ( 1+
x ) + x ⋅
f( x)
1+
x
⎛
e) y = ⎜ 1 ⎞
⎜1+
⎝⎜
x ⎠⎟
f) y = (tg x) x
⎛
2 x ⎞
2 x
f'( x) = ( + x ) ⎜
2 2
1 ⎜ln
( + x ) +
⎝⎜
1
2
1+
x ⎠⎟
2
x

cos x
c) ln f( x) = ln (sin x )
ln f( x) = cos x ⋅ln(sin x )
f'( x)
cos x
=- sin xln(sin x) + cos x ⋅
f( x)
sin x
cos x
c
f' ( x) = (sin x) -sin x ⋅ ln (sin x ) + os
⎛
2 x ⎞
⎜
⎝⎜
sin x ⎠⎟
x
d) ln f( x) = ln 3
x
3
ln f( x)
= ⋅ln
x
x
f'( x)
3
=- ⋅ + ⋅
2
f( x) x
= ⋅ -
3 1
ln x
x x
x
f'( x) 3 x
3 3ln
x
2 x
x
⎛
e) ln f( x)
= ln ⎜ +
⎝⎜
1
1 ⎞
x ⎠⎟
⎛
ln f( x) = xln
⎜ +
⎝⎜
1
1 ⎞
x ⎠⎟
f'( x)
f( x) ⎛
= ln ⎜ +
⎝⎜
1
1
-
⎞
2
1
x
x
x ⎠⎟
+ ⋅
1
1+
x
⎛
= ln ⎜1+
⎝⎜
1⎞1 ⎠⎟
1
- x x +
⎛
f'( x)
= ⎜ +
⎝⎜
x
⎞ ⎛
ln ⎜
x ⎠⎟
+
⎝⎜
⎞
x ⎠⎟
x
-
1
1 ⎛
⎜ 1
⎝⎜
1 1 ⎞
+ 1⎠⎟
x
f ) ln f( x) = ln (tg x )
ln f( x) = xln (tg x)
f'( x)
x
x x
f ( x
x
f x x x
tg
= ln (tg ) + ⋅
)
tg
( ) (tg ) ln
+ 2 1
tg x
' = (tg x) + x ⋅
tg x
+
⎛
2
⎜
1 ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
SOLUCIONARI
125 Aplica la regla de la derivada de la funció inversa per trobar la derivada
de les funcions següents:
a) y = arccos x c) y = arctg x
b) y = arcsin x d) y = ex a) f( x) = cos x
f'( x) =-sin
x
-1
( f )( ' x)
=
1
-1
f'( f ( x)) =
1
f'(arccos x )
1
=
-sin
( arccos x )
=
=-
1
=-
1
2
1-
cos (arccos x) 2
1-
x
8
519

520
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
b) f( x) = sin x
f'( x) = cos x
-1
( f )( ' x)
=
1
-1
f'( f ( x)) =
1
f'(arcsin x )
=
1
cos (arcsin
x )
=
=
1
2
1-
sin (arcsin x )
=
1
2
1-
x
c) f( x) = tg x
2
f'( x) = 1+ tg x
-1
1 1 1
1
( f )( ' x)
= = = =
-1
2
f'( f ( x)) f'(arctg x ) 1+
tg ( arctg x) 1+
x
d) f( x) = ln x
1
f'( x)
=
x
-1
1 1
( f )( ' x)
= =
-1
x
f'( f ( x) ) f'( e )
=
1
1
x e
= e
PREPARA LA SELECTIVITAT
(Activitats de Selectivitat)
001 Fes servir la definició de derivada per trobar la derivada de la funció
x
fx ( )=
x
+ 3
−2
en el punt x0 = 3.
f( 3+ h) -f(
3)
f'(
3)
= lim
h 0 h
= lim
h 0
3+ 3+
h
6
3+ h -2 -
→ → h
=
h
+ h
+ h
h
h h
h h h
-
lim
→0
6
6
1
=
6+ -6-6 -5
= lim
= lim
5
→0
( 1+
)
h→0 1+
h
=-
002 Determina en quins punts de la gràfica de la funció y = x 3 − 3x 2 + x + 17, la recta
tangent és paral·lela a la recta y = x + 7.
Si la recta tangent és paral·lela a la recta y = x + 7 aleshores: f'( x)
= 1.
2
f'( x)= 3x - 6x + 1
⎧
2 2
x = 0
Llavors: 3x - 6x + 1= 1→ x - 2x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 2
Per tant, els punts de la gràfica que verifiquen la condició són (0, 17) i (2, 15).
003 Determina la funció f: R → R si saps que la seva derivada segona és constant
o igual a 3 i que la recta tangent a la gràfica en el punt d’abscissa x = 1
és 5x − y − 3 = 0.
x
2

f" ( x) = 3→ f'( x) = 3x
+ k en què k és un nombre real
Si 5x - y - 3 = 0 és la recta tangent en x = 1, tenim que: f '(1) = 5.
SOLUCIONARI
2 3x
Aleshores: 3+ k = 5→ k = 2 → f'( x) = 3x + 2 → f( x ) = + 2x
+ c
en què c és un nombre real.
2
Si la recta és tangent a la funció en el punt (1, 2), aquest punt també pertany
a la gràfica de la funció.
Així, doncs: 3
2
3
+ 2+ c = 2 → c =-
2
2 3x
3
Per tant, la funció és: f( x)=
+ 2x
-
2 2
004 Calcula la derivada de la funció següent i simplifica el resultat tant com puguis:
f'(x) =
1−
cos x
fx ( ) = ln
1+
cos x
sin x ⋅ ( 1+ cos x) -( 1-cos
x)( -sin
x)
( + cos x )
1 2 2
1-
cos x
1+
cos x
2sin
x
1
=
1
+ ( cos x )
- cos x
1+
cos
x
2sin x ⋅ ( 1+
cos x)
2sin
x 2sin x 2
=
= = =
2
2 2
( 1- cos x)( 1+
cos x)
1-
cos x sin x sin x
005 Considera les funcions definides per a x ≥ 0:
fx ( ) = arcsin
x
1+
x
2
g( x)
= arccos
1
1 + x
Calcula f'(x) i g'(x) i expressa-les de la manera més simplificada que puguis.
Compara els resultats i dedueix justificadament la diferència entre f(x) i g(x).
f'(x) =
= + +
-
2 1 2
1+
x - x ⋅ ( 1+ x ) 2 2x
2
2
( 2 1+
x )
⎛
1-
⎜
⎝⎜
1
( 1 x ) 1 x
2 2
1
1+
x
2
x
1+
x
2
2
⎞
⎟⎠
1
1
=
2
1+
x
=
2 1+
x -
1+
x
2
2
x
1-
1+
x
x
2
1+
x
2
2
=
2
=
8
521

522
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
g'( x)
=-
-
2 1 2
1+
x - x ⋅ ( 1+ x ) 2 2x
2
2
( 2 1+
x )
( 1+
x ) 1+
x
=-
1
⎛ x ⎞
1-
⎜
2 ⎝ 1+
x ⎠⎟
1
2 2
1+
x
2
2
1
1
=-
1+
x
2
=-
f'( x) =- g'( x) → f( x) + k =- ( g( x) + c)
en què k, c∈R.
Aleshores: f( x) - g( x) = 2f( x) + 2k
+ c
2 1+
x -
2 x
2 1+
x
2 1+
x
2 x
1-
1+
x
006 Considera la funció:
⎧⎪
x + x + x ≤−
fx ( ) = ⎨ x + − < x ≤
acos x x >
2 ⎪ 6 8 si 2
⎪2
4 si 2 0
⎪
⎩⎪
si 0
a) Estudia’n la continuïtat en tota la recta real en funció de a.
b) Estudia’n la derivabilitat en tota la recta real en funció de a.
2
a) • Si x 0: f( x) = acos x → Funció trigonomètrica, contínua en (0, +`).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 2, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f (2) = 0:
-
2
f( - 2 ) = lim ( x + 6x+ 8) = 0⎫⎪
− x →-2
⎬
⎪
- +
→ f( - 2 ) = f( - 2 ) = f ( -2)
+
f ( - 2 ) = lim ( 2x+
4) = 0 ⎪
+ x →-2
⎭
⎪ → f(x) és contínua en x = -2.
• De la mateixa manera, perquè la funció sigui contínua en x = 0, els límits
laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f (0) = 4:
- f( 0 ) = lim( 2x + 4) = 4⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 4
+ f( 0 ) = lim ( acos x ) = a⎪
+ x →0
⎭
⎪
Així, doncs, si a = 4, f (x) és contínua en R, i si a ≠ 4, f (x) és contínua
en R - { 0 } .
⎧⎪2x
+ 6 si x

SOLUCIONARI
+ f'(
0 ) = 0⎫
- ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 2⎭⎪f
(x) no és derivable en x = 0.
Així, doncs, f (x) és derivable en R - { 0 } per a qualsevol valor de a.
007 Considera f: R → R la funció definida per: f(x) = x 2 − ⏐x⏐
Estudia la derivabilitat de f.
⎧ 2 x - x x ≥
f( x)=
⎨
⎪ si 0
2
⎩⎪ x + x si x < 0
-
2
f( 0 ) = lim( x + x ) = 0⎪⎫
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f ( 0 ) → f(x) és contínua en x = 0.
+
2
f( 0 ) = lim ( x - x ) = 0⎪
+ x →0
⎭
⎪
Com que les funcions que defineixen f (x) són polinòmiques, la funció és contínua
en R.
⎧ x - x >
f'( x)=
⎨
⎪2
1 si 0
⎩⎪ 2x + 1 si x < 0
+ f'(
0 ) =-1⎫
- ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 1 ⎭⎪ f (x) no és derivable en x = 0.
Així, doncs, f (x) és derivable en R - { 0 } .
008 Considera la funció f: R → R definida per:
⏐x⏐ f( x)=
1 + x
Estudia’n la derivabilitat; calcula la derivada on existeixi i justifica on calgui
que la derivada no existeix.
x
x
x
f( x)=
x
x
x
+
⎧ ⎪
si ≥ 0
2
⎨
⎪ 1
⎪
⎪-
<
⎩
⎪
si 0
2
⎪ 1+
- -x
⎪⎫
f ( 0 ) = lim = 0⎪
− x 0
2 ⎪
→ 1+
x ⎪ - +
⎬ → f( 0 ) = f( 0 ) = f ( 0 ) → f(x) és contínua en x = 0.
+
x ⎪
f ( 0 ) = lim = 0 ⎪
+ x →0
2 1+
x ⎭
⎪
Les funcions que defineixen f (x) són contínues; per tant, la funció és contínua
en R.
- x
x >
( + x )
f'( x)
=
x
- x
( x )
-
⎧
2 ⎪ 1
⎪
si 0
⎪ 2 2
⎪ 1
⎨
⎪
2
⎪ 1
⎪
si < 0
2 2
⎩⎪
1+
+ f'(
0 ) = 1 ⎫
- ⎬
⎪→
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant,
f'(
0 ) =-1⎭⎪
f (x) no és derivable en x = 0.
Així, doncs, f (x) és derivable en R - { 0 } .
2
8
523