Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

SOLUCIONARI
2 ax - b
f'( x)=
2 x
Si la tangent a la corba en x = 1 és la recta y = -2, aleshores: f'( 1) = 0
a- b = 0 → a = b
2 ax + a
Així, doncs, la funció és de la forma: f( x)=
x
I si la corba passa pel punt (1, -2), tenim que: 2a =- 2 → a = b =-1
067 Per mitjà de la definició, calcula les derivades laterals de les funcions següents
en x = 2.
a) f(x) = ⏐2 − x⏐
b) g(x) = ⏐x2 − 4⏐
⎧-
+ x x ≥
a) f( x)=
⎨
⎪ 2 si 2
⎩⎪ 2- x si x < 2
+ f( 2+ h) -f(
2) - 2+ 2+
h
f'(
2 ) = lim = lim
= 1
+ +
h→0 h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) f'(
2 ) = lim
− h→0 h
2- ( 2+
h)
- h
= lim
= lim
−
−
h→0
h
h→0
h
=-1
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 2.
⎧ ⎪
⎪x - x
2 4 si 2
⎪ 2 4 si 2 2
⎪ 2
⎩⎪
4 si 2
+ g( 2+ h) - g(
2) g'(
2 ) = lim
+ h→0 h
= lim( 4+ h)
= 4
2 ( 2+ h)
-4
= lim
+ h→0
h
4h+
h
= lim
+ h→0
h
+ h→0
- g( 2+ h) - g(
2) g'(
2 ) = lim
− h→0 h
= lim( -4- h)
=- 4
2 - ( 2+ h)
+ 4
= lim
− h→0
h
-4h- h
= lim
− h→0
h
− h→0
Les derivades laterals no són iguals → g(x) no és derivable en x = 2.
068 A partir de la definició, calcula les derivades laterals de la funció següent
en x = 0.
⎧⎪
1
fx ( )= ⎨
⎪
⎪ x
⎪
⎩⎪
0
si x ≠ 0
si x = 0
+ f( 0+ h) -f(
0)
f'(
0 ) = lim
+ h→0 h
= lim
+ h→0
1
- 0
h
h
1
= lim
+ h→0 2 h
=+`
- f( 0+ h) -f(
0)
f'(
0 ) = lim
− h→0 h
= lim
− h→0
1
- 0
h
h
1
= lim
− h→0 2 h
=+`
2
=
2
=
8
493