Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

More documents

Recommendations

Info

SOLUCIONARI ⎧ 2 ( x + )( x - ) - ≤ x ≤ f( x) = ⎨ ⎪ 1 1 si 1 1 ⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1 • Si - 1< < 1 = + 1 -1 2 x : f( x) ( x )( x ) → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-1, 1). Si ⏐x⏐> 1: f( x ) = 0 → Funció constant, per tant, contínua en R -- ( 11. , ) • Si x = 1: - 2 f( 1 ) = lim( x + 1)( x - 1) = 0⎫⎪ − x →1 ⎬ ⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f () 1 + − + f ( 1 ) = lim 0 = 0 ⎪ x→1 x→1 + x →1 ⎭ ⎪ → f(x) és contínua en x = 1. • Si x = -1: - f ( - 1 ) = lim 0 = 0 ⎫⎪ − x →-1 ⎬ ⎪ → lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( -1) + 2 − + f( - 1 ) = lim ( x + 1)( x -1) = 0⎪ x→-1 x→-1 + x →-1 ⎭ ⎪ → f(x) és contínua en x = -1. Així, doncs, la funció és contínua en R. ⎧( x - )( x + ) - < x < f'( x) = ⎨ ⎪ 1 3 1 si 1 1 ⎩⎪ 0 si ⏐⏐ x > 1 - f'( 1 ) = 0⎫ + ⎬ ⎪ f'( 1 ) = 0⎭⎪ - f'( - 1 ) = 0⎫ ⎬ ⎪ + f'( - 1 ) = 4⎭⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = 1. → Les derivades laterals no són iguals; per tant, f (x) no és derivable en x = -1. Així, doncs, la funció és derivable en R -- { 1 } . ⎧ 2 x x ≤ 076 Determina si la funció f( x)= ⎨ ⎪ si 1 és derivable en x = 1. ⎩⎪ 2x si x > 1 Perquè una funció sigui derivable en un punt ha de ser contínua, i perquè sigui contínua els límits laterals han de ser iguals i coincidir amb el valor de la funció en aquest punt; en aquest cas, amb f (1) = 1: - 2 f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪ − x →1 ⎬ ⎪ → f (x) no és contínua en x = 1; per tant, + f( 1 ) = lim 2x = 2⎪ + x 1 ⎭ ⎪ → ⎪ no és derivable en x = 1. 077 Demostra que la funció f(x) = ⏐x⏐ 3 és derivable en x = 0. lim f( x) = lim f( x) = 0 = f ( 0) → f (x) és contínua en x = 0. + − x→0 x→0 3 + f( 0+ h) -f( 0) ⏐⏐ h f'( 0 ) = lim = lim = lim h + + + h→0 h h→0 h h→0 2 = 0 3 - f( 0+ h) -f( 0) ⏐⏐ h f'( 0 ) = lim = lim = lim ( - h ) = − − − h→0 h h→0 h h→0 2 0 Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f (x) és derivable en x = 0. 8 497
498 Derivada d’una funció. Càlcul de derivades 078 Justifica si les funcions següents són derivables en els punts x = −2, x = 0 i x = 1. a) fx ( )= x 2 b) g(x) = x⏐x + 2⏐ a) • Si x = -2: lim f( x) = lim f( x) =- 1= f ( -2) → f(x) és contínua en x = -2. + − x→-2 x→-2 lim f( x) =+ `⎫⎪ + x →0 • Si x = 0: ⎬ ⎪ → f(x) no és contínua en x = 0, per tant, lim f( x) =-` ⎪ − x →0 ⎭ ⎪ no és derivable en x = 0. • Si x = 1: lim f( x) = lim f( x) = 2= f () 1 → f(x) és contínua en x = 1. + − x→1 x→1 Estudiem la derivabilitat en els punts en els quals la funció és contínua: f'( x)=- x 2 2 1 • Si x = -2: f'( - 2) =- → f(x) és derivable en x = -2. 2 • Si x = 1: f'( 1) =-2 → f(x) és derivable en x = 1. ⎧x( x+ ) x ≥- b) g( x) = ⎨ ⎪ 2 si 2 ⎩⎪ - x( x+ 2) si x - g'( x)= ⎨ ⎪2 2 si 2 ⎩⎪ -2x - 2 si x f'( x)= ⎨ ⎪ 2 si 0 ⎩⎪ 2x si x < 0 - f'( 0 ) = 0⎫ + ⎬ ⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant, f'( 0 ) = 0⎭⎪f (x) és derivable en x = 0.
Page 1 and 2: 8 Derivada d’una funció. Número
Page 3 and 4: 474 Derivada d’una funció. Càlc
Page 25: 496 Derivada d’una funció. Càlc

Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?