Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

484
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
033 A partir de la definició, determina la derivada d’aquestes funcions en el punt x = 0.
a) f(x) = ax + b b) g(x) = ax 2 c) i(x) = ax 2 + b d) j(x) = ax 2 + bx + c
f( 0+ h) -f(
0)
ah + b- b
a) f'(
0)
= lim = lim
= a
h→0 h
h→0
h
2
g( 0+ h) - g(
0) ah - 0
b) g'(
0)
= lim = lim = lim(
ah ) = 0
h→0 h
h→0 h
h→0
2
i( 0+ h) -i(
0)
ah + b- b
c) i'(
0)
= lim = lim = lim(
ah)=
0
h→0 h
h→0
h
h→0
2
j( 0+ h) - j(
0)
ah + bh + c- c
d) j'(
0)
= lim = lim
= lim( ah + b) = b
h→0 h
h→0
h
h→0
034 Per mitjà de la definició, calcula la derivada de f(x) = x 3 − 3x en x0 = 1.
(Activitat de Selectivitat)
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h) - 31 ( + h)
-- ( 2)
= lim =
h→0
h
2 3
2 3
1+ 3h+ 3h + h -3- 3h+ 2 3h
+ h
= lim = lim
h→0hh→0h 2
= lim( 3h+ h ) = 0
h→0
035 Calcula la derivada de la funció f(x) = ⏐x − 2⏐ en x = 2, si és possible.
(Activitat de Selectivitat)
⎧x
- x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 2
⎩⎪ - x + 2 si x < 2
+ f( 2+ h) -f(
2) 2+ h -2- 0 h
f'(
2 ) = lim = lim
= lim = 1
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) - ( 2+ h)
+ 2-0-
h
f'(
2 ) = lim = lim = lim→=- 1
− −
−
h→0 h
h→0
h
h 0 h
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x) no és derivable
en x = 2.
036 Troba l’equació de la tangent a la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions
en els punts que hi ha indicats:
a) y = sin x + x, en x = π. b) y =
x
x
− 4 3 2 , en x = −1. c) y = ln (x + 7), en x = 0.
a) f ( π) = π
f'( x) = cos x + 1→f'( π)
= 0
L’equació de la recta tangent és: y - π = 0( x - π) → y = π
b) f ( - 1) = 2
f'( x)
=
3 4
4x ⋅ x -( x - 3) 2 x
=
4 3x+ 3
2 x
f'(
- 1) = 6
→
L’equació de la recta tangent és: y - 2= 6( x + 1) →
y = 6x + 8