Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

More documents

Recommendations

Info

La llibreta groga Robert Saladrigas SOLUCIONARI Al protagonista d’aquesta novel·la, l’Alexis Casas, de nen, un oncle seu –que era comerciant amb ànima aventurera– li havia explicat la història de Pierre de Fermat, un magistrat de l’Ajuntament de Tolosa, casat i pare de cinc fills, que dedicava el temps lliure a llegir llibres de matemàtiques. En el marge d’un dels llibres que llegia, Fermat va escriure: «És impossible trobar la manera de convertir un cub en suma de dos cubs, una potència quarta en suma de dues potències quartes, o, en general, qualsevol potència més alta que el quadrat en suma de dues potències de la mateixa classe; per a aquest fet he trobat una demostració excel·lent. El marge és massa petit perquè aquesta demostració hi càpiga.» El magistrat no va publicar mai les seves idees matemàtiques. Va ser un dels seus fills qui, després que el pare morís, arreplegant-les d’aquí i d’allà, les va recopilar en un llibre, en el qual curiosament no surt cap prova de l’enunciat anterior, mal anomenat teorema de Fermat, perquè, mentre no se’n descobreixi una demostració, només és una conjectura. Quan l’oncle va explicar aquesta història a l’Alexis –cap al 1955–, ningú havia aconseguit demostrar-ho. Més endavant, quan un professor de Matemàtiques li va confirmar la història d’aquell jutge, la imatge del qual l’Alexis confonia amb la del mosqueter Aramis, va sentir el desig de dedicar-se a resoldre aquesta conjectura. Però, per damunt d’aquest somni, es va imposar la passió de volar. Als cinquanta-dos anys, després de més de vint de treballar com a pilot, un dia un amic li parla d’un llibre titulat L’enigma de Fermat. Quan el llegeix s’assabenta que un jove matemàtic, anomenat Wiles, acaba de fer realitat, l’any 1994, el somni que tots dos havien tingut en la infantesa. I aquest fet li fa canviar de vida. La novel·la és el relat d’aquesta transformació, i hi apareixen força referències a les matemàtiques que donen peu a plantejar diverses activitats didàctiques. Fermat també va contribuir a desenvolupar el càlcul infinitesimal, amb uns resultats interessants, com aquest: «Si una funció derivable té un extrem relatiu en un punt, la seva derivada en aquest punt ha de ser nul·la.» Justifica aquest teorema. Si x0 és un extrem relatiu d’una funció derivable, sigui un màxim o un mínim, la recta tangent a aquesta funció per aquest punt és una recta horitzontal, és a dir, una recta amb pendent igual a zero. Com que la derivada d’una funció en un punt coincideix amb el pendent de la recta tangent en aquest punt, tenim que: f'( x ) = 0 0 8 473
474 Derivada d’una funció. Càlcul de derivades ABANS DE COMENÇAR… RECORDA 001 Estudia la continuïtat d’aquestes funcions: x a) f( x)=− 2 x −1 b) gx ( )= x + 2 7 c) hx ( )= ln 3x a) Contínua en R -- { 11 , } b) Contínua en R c) Contínua en ( 0 , +` ) 002 Deriva les funcions següents: a) f(x) = x9 b) f(x) = 7x c) f(x) = log5 x d) f( x)= x a) f'( x)= 9 x 8 x b) f'( x) = 7 ln7 c) f'( x) = x ln 1 5 ACTIVITATS d) f'( x)= x 1 2 001 Troba la taxa de variació mitjana d’aquestes funcions: f (x) = x 2 + 1 g(x) = x 3 + 7 en els intervals [0, 1] i [−2, −1]. f() 1 - f( 0) a) TVM([ 01 , ]) = 1-0 2 1 = 1 1 - = f( - ) -f( - ) TVM([ - , - ]) = --- ( ) = - 1 2 2 1 1 2 2 5 1 =-3 b) TVM([ 01 , ]) = g() 1 - g( 0) 8 7 = 1-0 1 1 - = TVM([ - , - ]) = g( - ) - g( - ) = --- ( ) ( ) -- 2 1 1 2 1 2 6 1 1 = 7 002 L’espai, en metres, que recorre un mòbil en funció del temps, en segons, està determinat per la fórmula e = 1 2 t + t . Troba’n la velocitat mitjana en [1, 5]. 3 1 1 ⋅ 25 + 5 - ⋅1-1 e( 5) - e() 1 3 3 12 TVM([ 15 , ]) = = = = 3 m/s 5-1 4 4 003 Calcula la derivada d’aquestes funcions en x = 2. a) f (x) = 7x + 1 b) fx ( )= x 1 2 f( 2+ h) -f( 2) 72 ( + h) + 1-15 7h a) f'( 2) = lim = lim = lim = 7 h→0 h h→0 h h→0 h f( 2+ h) -f( 2) b) f'( 2) = lim h→0 h 1 1 - 2 ( 2 + h) 4 = lim h→0 h 2 4- ( 4+ 4h+ h ) = lim = h→0 2 4h( 2+ h) 2 -4h- h = lim h→02 4h( 2+ h) -4- h = lim h→02 42 ( + h) 1 =- 4
Page 1: 8 Derivada d’una funció. Número
Page 5 and 6: 476 Derivada d’una funció. Càlc

Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?