Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

SOLUCIONARI
030 Troba les taxes de variació mitjana de la superfície d’un cercle quan el radi passa
de fer 1 cm a fer 3 cm, i de 3 cm a 5 cm. És constant si la variació del radi
és la mateixa?
La funció que mesura la superfície d’un cercle segons la longitud del radi x és:
f( x)=πx2 f( 3) - f()
1 9π-
π
TVM([
13 , ]) = = = 4π
3-1 2
f( 5) - f(
3)
25π-9π TVM([
35 , ]) = = = 8π
5-3 2
Tot i que la variació del radi és la mateixa, la de la superfície no és constant.
031 Galileu va demostrar que, quan un objecte cau lliurement,
és a dir, sense tenir en compte la resistència de l’aire,
l’altura que recorre, en metres, i el temps que passa,
en segons, es relacionen mitjançant la fórmula: h = gt
1
o bé, el que és el mateix, aproximadament, h = 5t 2
2 .
a) Calcula les taxes de variació mitjana entre 1 i 7 segons
i entre 1 i 5 segons.
b) Troba la derivada d’aquesta funció en x = 1.
f( 7) - f()
1
a) TVM([
17 , ]) =
7-1 =
245 - 5
6
= 40
f( 5) - f()
1
TVM([
15 , ]) =
5-1 125 - 5
= = 30
4
2
f( 1+ h) -f()
1 51 ( + h)
- 5 10h+ 5h
b) f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 10 + 5h) = 10
h→0
032 A partir de la definició, calcula la derivada de les funcions següents
en el punt x = −1.
a) f(x) = 3x b) g(x) = x2 c) i(x) = x3 d) j(x) = ⏐x⏐
f( - 1+ h) -f( - 1) 3( - 1+ h)
+ 3 3h
a) f'(
- 1)
= lim = lim = lim = 3
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
g( - 1+ h) - g(
- 1) ( - 1+ h)
- 1 - 2h+
h
b) g'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( - 2+ h)
=- 2
h→0
3
i( - 1+ h) -i( - 1) ( - 1+ h)
+ 1 3h- 3h
+ h
c) i'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
= lim( 3- 3h+ h ) = 3
h→0
2 ,
2
=
2
=
2 3
j( - 1+ h) - j(
- 1) ⏐-+ 1 h⏐-1
1- h - 1
d) j'(
- 1)
= lim = lim
= lim=- 1
h→0 h
h→0
h
h→0
h
=
8
483