Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

502
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
086 Calcula els valors de a i b perquè aquesta funció:
⎧⎪3
⎪
x + 2 si x < 0
fx ( ) = ⎨
⎪
x + 2acos x si 0≤
x <
⎪ 2
⎩⎪
ax + b si x ≥π
2 π
sigui contínua per a qualsevol valor de x.
Estudia la derivabilitat de f(x) per als valors de a i b que has obtingut en l’apartat
anterior.
(Activitat de Selectivitat)
• Si x < 0: f( x) = 3x + 2 → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 0).
2
• Si 0< x < π: f( x) = x + 2acos
x → Funció polinòmica i trigonomètrica,
per tant, contínua en ( 0, π).
2 • Si x > π: f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en ( π+` , ).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 0, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f(0) = 2a:
- f( 0 ) = lim( 3x + 2) = 2 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → 2a = 2 → a = 1
+
2
f( 0 ) = lim ( x + 2acos
x) = 2a⎪
+ x →0
⎭
⎪
Considerem que a = 1; aleshores, perquè la funció sigui contínua en x =π
els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f( π) = π + b 2 :
-
2 2
f( π ) = lim ( x + 2cos x ) = π -2⎫⎪
− x →π
⎬
⎪ - +
→ f( π ) = f( π ) = f ( π)
+
2 2
f ( π ) = lim ( x + b) = π + b ⎪
2
+ x →π
⎭
⎪ → π - 2 = π + =-
2 b → b 2
⎧ ⎪
3 si x < 0
⎪
Si a = 1 i b = -2, aleshores: f'( x)
= ⎨
⎪
2x - 2sin x si 0 < x < π
⎪
⎩⎪
2x
si x > π
- f'(
0 ) = 3⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f'(
0 ) = 0⎭
⎪ f (x) no és derivable en x = 0.
- f'(
π ) = 2π⎫
+ ⎬
⎪ → Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f'(
π ) = 2π⎭
⎪ f (x) és derivable en x =π.
087 Considera la funció següent:
⎧ 3 2 − x + x x <
fx ( )= ⎨
⎪
si 1
⎩⎪ ax −b si x ≥1
Determina els valors de a i b perquè sigui derivable en tots els punts.
Una funció només pot ser derivable en tots els punts si és contínua
en tots els punts.
3 2
• Si x < 1: f( x) =- x + x → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).
2
• Si x > 1:
f( x) = ax + b → Funció polinòmica, per tant, contínua en (1, +`).