Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

508
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
100 Troba la derivada n-èsima de cadascuna de les funcions següents:
a) fx ( )= x
b) g(x) = cos 2x
c) h(x) = e −x
1
1 -
a) f'( x) = x 2
2
3
1 -
f" ( x) =- x 2
4
5
3 -
f"'( x) = x 2
8
7
IV) 15 -
f ( x) =- x 2
16
n) n-1(
2n-3)( 2n-5) ⋅…⋅1 Si n ≥ 4 , la derivada n-èsima és: f ( x)
=- ( 1)
⋅
⋅ x
n 2
b) g'( x) =-2sin
2x
g" ( x) =-4cos
2x
g"'( x) = 8sin 2x
IV) g ( x) = 16cos 2x
V ) g ( x) =-32sin
2x
Així, doncs, podem calcular la derivada n-èsima segons les expressions:
g
n)
⎧ 2k-1) k 2k-1 g ( x) = ( -1)
2 sin 2x
= ⎨
⎪
per a k = 1, 2, 3, …
2k)
k 2k
⎩⎪ g ( x)
= ( -1)
2 cos 2x
c) h'( x) =-e
-
h" ( x) = e
-x
x
) -
Així, doncs, la derivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) e
101 Calcula la derivada n-èsima d’aquestes funcions:
n n x
a)
x
fx ( )=
x
+ 1
1−
b) g(x) = sin 2 x c) h(x) = ln x
( x) ( x)(
)
a) f'( x)
=
( x) ( x)
f" ( x)
- - + -
1 1 1 2
=
2 2
1-
1-
4
=-
3 ( 1-
x )
f"'( x)
=
12
4
( 1-
x )
IV)
48
f ( x)
=-
5
( 1-
x )
n) n-12⋅n!
Així, doncs, la derivada n-èsima és: f ( x)
= ( -1) ⋅
n ( 1-
x )
+ 1
n
- - 2 1
2