Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

482
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
026 Dedueix la derivada d’aquestes funcions a partir de la derivació logarítmica:
a) f (x) = x n b) f (x) = a x
n
a) ln f( x) = ln x → ln f( x) = nln x
f'( x)
f( x)
= n ⋅
1
x
1 1
n n-
f'( x)
= n ⋅ ⋅ x = nx
x
x
b) ln f( x) = ln a → ln f( x) = xln a
f'( x)
= 1⋅ln
a
f( x)
f'(
x a a x
) = ln⋅
027 Troba la derivada d’aquestes funcions implícites i calcula’n el valor en el punt (7, −2).
a) x 3 −3x + y 2 = 0 b) 5x 2 + 3xy + 6y 2 − x + 13xy 2 = 0
2 2 3 3x
a) 3x - 3+ 2yy = 0 2yy = 3- 3x
y =
2y
-
' → ' → '
2 3-3⋅7 y'( 7, - 2)
= = 36
2( -2)
2
b) 10 x + 3y + 3xy'+ 12yy'- 1+ 13y + 26xyy' = 0
2 1-10x -3y - 13y
→ ( 3x + 12y + 26xy) y' = 1-10 x -3y - 13y
→ y'
=
3x + 12y + 26xy
2
1-10⋅7-3⋅( -2) -13 ⋅- ( 2)
y'( 7, - 2)
=
3⋅ 7+ 12 ⋅- ( 2)
+ 26 ⋅7⋅ - 2
115
367
=
( )
028 A partir de la derivada de la funció f(x) = x 2 , calcula la derivada de la funció
f −1 (x) = x i comprova que aconsegueixes el mateix resultat que si fas servir
la definició de derivada.
f'( x)= 2x
-1
• ( f )( ' x)
1 1 1
= = ( ) =
-1
f'( f ( x )) f'x 2 x
- 1
x + h - x
• ( f )( ' x)
= lim = lim
h 0 h
h 0
( x + h - x ) ( x + h + x )
( )
→ → h x + h + x
x + h- x
=
h h( x + h + x ) x
=
lim 1
→0
2
029 Calcula la taxa de variació mitjana de la funció fx ( )=
x
1 en els intervals [2, 3] i [2, 5].
A partir d’aquesta taxa, calcula la derivada en el punt x = 2.
f( 3) - f(
2)
TVM([
2, 3])
=
3-2 =
1 1
-
3 2
1
1
=-
6
f( 5) - f(
2)
TVM([
2, 5])
=
5-2 =
1 1
-
5 2
3
1
=-
10
f'(
2)
= lim
h 0
1 1
2 + h 2
h
2 2 h
lim lim
h 0 2h( 2 h)
-
- -
=
+ =
→
-1
1
→ h→0 22+
h 4
=-
( )
2
=
2