Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

La llibreta groga
Robert Saladrigas
SOLUCIONARI
Al protagonista d’aquesta novel·la, l’Alexis Casas, de nen, un oncle seu –que era comerciant
amb ànima aventurera– li havia explicat la història de Pierre de Fermat, un magistrat de
l’Ajuntament de Tolosa, casat i pare de cinc fills, que dedicava el temps lliure a llegir llibres de
matemàtiques. En el marge d’un dels llibres que llegia, Fermat va escriure: «És impossible trobar
la manera de convertir un cub en suma de dos cubs, una potència quarta en suma de dues
potències quartes, o, en general, qualsevol potència més alta que el quadrat en suma de dues
potències de la mateixa classe; per a aquest fet he trobat una demostració excel·lent. El marge és
massa petit perquè aquesta demostració hi càpiga.» El magistrat no va publicar mai les seves
idees matemàtiques. Va ser un dels seus fills qui, després que el pare morís, arreplegant-les d’aquí
i d’allà, les va recopilar en un llibre, en el qual curiosament no surt cap prova de l’enunciat
anterior, mal anomenat teorema de Fermat, perquè, mentre no se’n descobreixi una demostració,
només és una conjectura.
Quan l’oncle va explicar aquesta història a l’Alexis –cap al 1955–, ningú havia aconseguit
demostrar-ho. Més endavant, quan un professor de Matemàtiques li va confirmar la història
d’aquell jutge, la imatge del qual l’Alexis confonia amb la del mosqueter Aramis, va sentir el desig
de dedicar-se a resoldre aquesta conjectura. Però, per damunt d’aquest somni, es va imposar
la passió de volar. Als cinquanta-dos anys, després de més de vint de treballar com a pilot, un dia
un amic li parla d’un llibre titulat L’enigma de Fermat. Quan el llegeix s’assabenta que un jove
matemàtic, anomenat Wiles, acaba de fer realitat, l’any 1994, el somni que tots dos havien tingut
en la infantesa. I aquest fet li fa canviar de vida.
La novel·la és el relat d’aquesta transformació, i hi apareixen força referències a les matemàtiques
que donen peu a plantejar diverses activitats didàctiques.
Fermat també va contribuir a desenvolupar el càlcul infinitesimal, amb uns resultats
interessants, com aquest: «Si una funció derivable té un extrem relatiu en un punt,
la seva derivada en aquest punt ha de ser nul·la.» Justifica aquest teorema.
Si x0 és un extrem relatiu d’una funció derivable, sigui un màxim o un mínim, la recta
tangent a aquesta funció per aquest punt és una recta horitzontal, és a dir, una recta amb
pendent igual a zero. Com que la derivada d’una funció en un punt coincideix amb el
pendent de la recta tangent en aquest punt, tenim que: f'( x ) =
0
0
8
473