Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

SOLUCIONARI
• Perquè la funció sigui contínua en x = 1, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f(1) = a - b:
-
3 2
f( 1 ) = lim( - x + x ) = 0 ⎫⎪
− x →1
⎬
⎪ - +
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → a- b = 0 → a = b
+ f( 1 ) = lim( ax - b)
= a-b⎪ + x →1
⎭
⎪
La funció és derivable en x = 1 si les derivades laterals existeixen i són iguals.
⎧ 2 - x + x x <
f'( x)=
⎨
⎪ 3 2 si 1
⎩⎪ a si x > 1
- f'(
1 ) =-1⎫
a 1 b 1
+ ⎬
⎪ → =- → =-
f'( 1 ) = a ⎭
⎪
088 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
⎧sin
x
fx ( ) = ⎨
⎪
⎩⎪ ax + b
si x ≤ 0
si x > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i coincidir amb f (0) = 0:
- f( 0 ) = lim sin x = 0 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 0
+ f( 0 ) = lim ( ax + b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Una vegada hem comprovat que és contínua en x = 0, perquè la funció sigui
derivable en aquest punt les derivades laterals han d’existir i han de ser iguals.
⎧cos
x x <
f'( x)
= ⎨
⎪ si 0
⎩⎪ a si x > 0
- f'(
0 ) = 1⎫
a 1
+ ⎬
⎪ → =
f'( 0 ) = a⎭
⎪
089 Determina els valors de a i b perquè la funció següent sigui derivable en tots
els punts:
⎧ 2 ⎪
⎪bx
+ ax
⎪ a
fx ( )= ⎨
⎪
⎪ x
⎪ 2 ⎪
x + ax+
1
⎪
⎩⎪
x + 1
si x ≤−1
si −< 1 x ≤1
si x > 1
(Canarias. Junio 2006. Opción B. Cuestión 2)
a
Si - 1< x < 1:
f( x ) = → Funció racional, no és contínua en x = 0; per tant,
x no és derivable en x = 0.
Així, doncs, no hi ha valors de a i b per als quals la funció sigui derivable
en tots els punts.
8
503