Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

004 Troba la derivada de les funcions en els punts x = 1 i x = 2.
a) f (x) = x 3 b) fx ( )= x
SOLUCIONARI
f( 1+ h) -f()
1
a) f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h)
- 1 3h+ 3h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3
h→0
2 3
f( 2+ h) -f(
2) f'(
2)
= lim
h→0 h
3 ( 2+ h)
- 8 12h+ 6h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 12 + 6h+ h ) = 12
h→0
f( 1+ h) -f()
1 1+ h - 1
b) f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0 h
h→0
+ -
=
( + + ) =
+ + =
1 h 1
1 1
lim lim
h→0 h→0
h 1 h 1 1 h 1 2
f( 2+ h) -f(
2) 2+ h - 2
f'(
2)
= lim = lim
=
h→0 h
h→0
h
= lim
( 2+ h - 2) ( 2+ h + 2)
( )
h 2+ h + 2
h→0
h→0
= lim
1
1
= =
2+ + 2 2 2
h→0 h
4
2
=
=
2 3
h 1+ h + 1
=
8
( 1+ h -1)
( 1+ h + 1)
( )
2+ h -2
lim ( ) =
h 2+ h + 2
005 Troba el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = 6x 2 + 1
en x = 1.
2
f( 1+ h) -f()
1 61 ( + h)
+ 1-7 12h+ 6h
f'(
1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 12 + 6h) = 12
h→0
006 Quin és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) = x 3 en x = 1?
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 ( 1+ h)
- 1 3h+ 3h
= lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ h
2
= lim( 3+ 3h+ h ) = 3
h→0
2 3
007 Determina l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) = x 2 + 3
en el punt P (−1, 4).
Quina és l’equació de la recta normal?
2
f( - 1+ h) -f( - 1) ( - 1+ h)
+ 3-
4 - 2h+
h
f'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( - 2+ h)
=-2
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 4 =- 2( x + 1) → y =- 2x + 2
1
1 9
L’equació de la recta normal és: y - 4 = ( x + 1)
→
y = x +
2
2 2
2
=
=
2
=
=
475