Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

494
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
069 Considera la funció f: R → R definida per:
⎧ 2 x +
fx ( )= ⎨
⎪ 3
2
⎩⎪ 2− x
si x ≤1
si x > 1
Calcula, si és possible, les derivades laterals de f en x = 1.
(Activitat de Selectivitat)
2
2
+ f( 1+ h) -f()
1 2- ( 1+
h)
- 4 -h -2h- 3
f'(
1 ) = lim = lim
= lim→=- `
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h 0 h
2
- f( 1+ h) -f()
1 ( 1+ h)
+ 3-4
2h+
h
f'(
1 ) = lim = lim = lim
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 2+ h)
= 2
− h→0
070 Estudia si la funció fx ( )= x
3
és contínua i derivable en x = 0.
3
3
lim x = lim x = 0 = f ( 0)
→ f(x) és contínua en x = 0.
+ −
x→0x→0 3
f( 0+ h) -f(
0) h 1
f'(
0)
= lim = lim = lim
h 0 h
h 0 h h 0 3
h
→ → → 2
2
=
=+` → f(x) no és derivable
en x = 0.
071 Demostra que la funció següent és contínua en el punt x = 1, però no és derivable
en aquest mateix punt:
⎧−
x + x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ 1 si 1
2
⎩⎪ x − 1 si x > 1
a) Digues si aquest fet contradiu algun dels teoremes o de les propietats
que hem estudiat a la unitat.
b) Posa un exemple d’una funció que sigui derivable i discontínua en un punt.
2 lim( x - 1) = lim ( - x + 1) = 0 = f () 1 → f(x) és contínua en x = 1.
+ −
x→1x→1 2
2
+ f( 1+ h) -f()
1 ( 1+ h)
-1
2h+
h
f'(
1 ) = lim = lim = lim = lim ( 2+ h)
= 2
+ +
+ +
h→0 h
h→0
h
h→0hh→0 - f( 1+ h) -f()
1 - ( 1+ h)
+ 1 - h
f'(
1 ) = lim = lim = lim=- 1
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals no són iguals; per tant, f (x) no és derivable en x = 1.
a) No, perquè la continuïtat no implica la derivabilitat.
b) No existeix, perquè si una funció és discontínua en un punt, no és derivable en
aquest punt.
072 Estudia la continuïtat i la derivabilitat d’aquesta funció:
⎧⎪
x + 1
x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ si 2
⎪ x −1
⎪
⎩⎪
− 2x si x > 2
• Si x > 2: f( x) =-2x
→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).