Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

500
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
2
+ f( 3+ h) -f(
3) ( 3+ h)
-2(
3+ h)
- 3
f'(
3 ) = lim = lim =
+ +
h→0 h
h→0
h
2
9+ 6h+ h -6-2h- 3
= lim = lim ( 4 + h) = 4
+ +
h→0hh→0 - f( 3+ h) -f(
3) 23 ( + h)
-3-3 2h
f'(
3 ) = lim = lim = lim = 2
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals existeixen però no són iguals; per tant, f (x)
no és derivable en x = 3.
082 Considera la funció definida per:
⎧ ax e x ≤
fx ( )= ⎨
⎪ si 0
⎩⎪ 2x + 1 si x > 0
en què a és un nombre real.
a) Calcula lim fx ( ) i comprova que f(x) és contínua en x = 0.
x →0
b) Digues per a quin valor del paràmetre a la funció f(x) és derivable en x = 0?
(Activitat de Selectivitat)
a)
lim ( 2x+ 1) = 1⎫⎪
+ x →0
⎬
⎪ → lim f( x)=
1
ax lim e = 1 ⎪ x →0
− x →0
⎭
⎪
f ea⋅0 ( 0) = = 1
lim f( x) = f ( 0)
→ f(x) és contínua en x = 0.
x →0
⎧ ax ae x <
b) f'( x)=
⎨
⎪ si 0
⎩⎪ 2 si x > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals
han de ser iguals:
- f'( 0 ) = a⎫
a 2
+ ⎬
⎪ → =
f'(
0 ) = 2⎭⎪
083 Determina el valor de a, si existeix, per al qual la funció següent és derivable en x = 0.
⎧cos
x
fx ( ) = ⎨
⎪
2
⎩⎪ x + a
si x ≤ 0
si x > 0
Perquè la funció sigui derivable, en primer lloc ha de ser contínua.
La funció és contínua en x = 0 si els límits laterals són iguals i coincideixen
amb f (0) = cos 0 = 1:
- f( 0 ) = lim cos x = 1 ⎫⎪
− x →0
+
2 ⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → a = 1
f( 0 ) = lim ( x + a) = a⎪
+ x →0
⎭⎪
⎧cos
x x ≤
si
Aleshores: f( x)
= ⎨
⎪
f ( x)
=
⎩⎪ x + x >
-
si 0 ⎧ n x six
<
→ '
2
⎨
⎪
0
1 si 0 ⎩⎪ 2x
si x > 0
- f'(
0 ) = 0⎫
+ ⎬
⎪
f'(
0 ) = 0⎭⎪
→ Les derivades laterals existeixen i són iguals; per tant,
f (x) és derivable en x = 0 si a = 1.