Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

486
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
041 Considera la funció f(x) = x 2 + m, en què m > 0 és una constant.
a) Per a cada valor de m, troba el valor a > 0 tal que la recta tangent a la gràfica de f
en el punt (a, f(a)) passi per l’origen de coordenades.
b) Troba el valor de m perquè la recta y = x sigui tangent a la gràfica de f.
(Activitat de Selectivitat)
a) f( a)= a + m 2
f'( x) = 2x → f'( a) = 2a
L’equació de la recta tangent és:
2 2
y - ( a + m) = 2a( x - a) → y = 2ax
- a + m
Si aquesta recta passa per l’origen de coordenades, aleshores:
2 0 =- a + m → a = m
2 2 1± 1-4m b) x + m = x → x - x + m = 0 → x =
2
Si la recta y = x és tangent a la gràfica de f només tenen un punt en comú;
aleshores:
1
1- 4m = 0 → m =
4
042 Calcula l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) = (x + 1)e −x en el punt de tall
de f(x) amb l’eix X.
(Activitat de Selectivitat)
Calculem el punt de tall amb l’eix d’abscisses:
-x
( x + 1) e = 0 → x + 1= 0 → x =-1
-x -x
f'( x) = e - ( x + 1) e → f'( - 1)
= e
L’equació de la recta tangent és: y = e( x + 1)
043 Donada la funció f(x) = 9x + 6x 2 − x 4 , troba els punts en els quals la recta tangent
a la gràfica de f(x) té pendent 1.
(Activitat de Selectivitat)
Si el pendent és igual a 1, aleshores:
3 3
f'( x)= 1→ 9+ 12x - 4x = 1→ 4x -12x - 8 = 0
⎧
3 2
x = 2
→ x -3x - 2= 0 → ( x - 2)( x + 1) = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x =-1
Així, doncs, els punts que verifiquen la condició són (2, 26) i (-1, -4).
044 Calcula l’equació de la recta tangent a la corba x 2 + 16y 2 − 16 = 0 en el punt
d’abscissa 3 i ordenada positiva.
2 2
Si x = 3→ 9+ 16 y - 16 = 0 → 16y = 7 → y = ±
⎛
Considerem el punt
⎜
⎜3,
⎝⎜
7 ⎞
4 ⎠⎟
.
7
4