Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

More documents

Recommendations

Info

SOLUCIONARI 099 Determina els punts en els quals les funcions següents són derivables, i calcula les dues primeres derivades de cadascuna: a) ⎧ 2 x fx ( )= ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2x si x ≤1 si x > 1 b) g(x) = x + ⏐x − 2⏐ ⎧ c) x + x ≤− vx ( )= ⎨ ⎪3 4 si 1 ⎩⎪ −2x − 1 si x >−1 a) f (x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues i derivables en R. - 2 f( 1 ) = lim x = 1⎫⎪ − x →1 ⎬ ⎪ - + → f( 1 ) ≠ f( 1 ) → f (x) no és contínua en x = 1; per tant, + f( 1 ) = lim 2x = 2⎪ + x 1 ⎭ ⎪ → ⎪ no és derivable en x = 1. ⎧ x x < f'( x)= ⎨ ⎪2 si 1 ⎧ x < f"( x)= ⎨ ⎪2 si 1 ⎩⎪ 2 si x > 1 ⎩⎪ 0 si x > 1 Així, doncs, f (x) és contínua i derivable en R - {1}. ⎧ x - x ≥ b) g( x)= ⎨ ⎪2 2 si 2 ⎩⎪ 2 si x < 2 g(x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues i derivables en R. - g( 2 ) = lim 2= 2 ⎫⎪ − x→2 ⎬ ⎪ - + → g( 2 ) = g( 2 ) = g( 2 ) →g(x) és contínua en x = 2. + g( 2 ) = lim( 2x- 2) = 2⎪ + x→2 ⎭ ⎪ ⎧ x > g'( x)= ⎨ ⎪2 si 2 ⎩⎪ 0 si x < 2 - g'( 2 ) = 0⎫ + ⎬ ⎪ → Les derivades laterals existeixen però són diferents. g'( 2 ) = 2⎭⎪g(x) no és derivable en x = 2. Així, doncs, g(x) és contínua en R, i derivable en R - {2}. g"( x)= 0 si x ≠ 2 c) v(x) està definida per funcions polinòmiques, per tant, contínues i derivables en R. - v( - 1 ) = lim ( 3x + 4) = 1 ⎫⎪ − x →-1 ⎬ ⎪ - + → v( 2 ) = v( 2 ) = v( 2) + v( - 1 ) = lim ( -2x -1) = 1⎪ + x →-1 ⎭ ⎪ → v(x) és contínua en x = -1. ⎧ x
508 Derivada d’una funció. Càlcul de derivades 100 Troba la derivada n-èsima de cadascuna de les funcions següents: a) fx ( )= x b) g(x) = cos 2x c) h(x) = e −x 1 1 - a) f'( x) = x 2 2 3 1 - f" ( x) =- x 2 4 5 3 - f"'( x) = x 2 8 7 IV) 15 - f ( x) =- x 2 16 n) n-1( 2n-3)( 2n-5) ⋅…⋅1 Si n ≥ 4 , la derivada n-èsima és: f ( x) =- ( 1) ⋅ ⋅ x n 2 b) g'( x) =-2sin 2x g" ( x) =-4cos 2x g"'( x) = 8sin 2x IV) g ( x) = 16cos 2x V ) g ( x) =-32sin 2x Així, doncs, podem calcular la derivada n-èsima segons les expressions: g n) ⎧ 2k-1) k 2k-1 g ( x) = ( -1) 2 sin 2x = ⎨ ⎪ per a k = 1, 2, 3, … 2k) k 2k ⎩⎪ g ( x) = ( -1) 2 cos 2x c) h'( x) =-e - h" ( x) = e -x x ) - Així, doncs, la derivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) e 101 Calcula la derivada n-èsima d’aquestes funcions: n n x a) x fx ( )= x + 1 1− b) g(x) = sin 2 x c) h(x) = ln x ( x) ( x)( ) a) f'( x) = ( x) ( x) f" ( x) - - + - 1 1 1 2 = 2 2 1- 1- 4 =- 3 ( 1- x ) f"'( x) = 12 4 ( 1- x ) IV) 48 f ( x) =- 5 ( 1- x ) n) n-12⋅n! Així, doncs, la derivada n-èsima és: f ( x) = ( -1) ⋅ n ( 1- x ) + 1 n - - 2 1 2
Page 1 and 2: 8 Derivada d’una funció. Número
Page 3 and 4: 474 Derivada d’una funció. Càlc
Page 35: 506 Derivada d’una funció. Càlc

Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?