Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

504
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
090 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
⎧ln
( e+ sin x) fx ( ) = ⎨
⎪
3
⎩⎪ x + ax + b
si x < 0
si x ≥ 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f (0) = b:
- f( 0 ) = lim ln( e+ sin x ) = 1 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 1
+
3
f( 0 ) = lim ( x + ax + b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals han d’existir
i han de ser iguals:
⎧ ⎪
cos x
1 ⎫
- ⎪
x <
f'( x)
= ⎨
⎪
si 0
f'(
0 ) = ⎪ 1
e+ sin x
e ⎬
⎪ → a =
⎪
⎪
2
+
e
⎩⎪
3x + a si x > 0
f'( 0 ) = a ⎪
⎭⎪
091 Troba els valors que han de tenir a i b perquè la funció següent sigui derivable
en x = 0.
sin x
fx ( ) =
x ax b
x
x
+ ≤
⎧
⎨
⎪5
2
⎩⎪ − + +
si 0
si > 0
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, ha de ser contínua en aquest punt;
i perquè sigui així, els límits laterals han de ser iguals i han de coincidir amb f (0) = 5:
- f( 0 ) = lim( 5+ sin x)
= 5 ⎫⎪
− x →0
⎬
⎪ - +
→ f( 0 ) = f( 0 ) = f( 0) → b = 5
+
2
f( 0 ) = lim ( - x + ax
+ b) = b⎪
+ x →0
⎭
⎪
Perquè la funció sigui derivable en x = 0, les derivades laterals han d’existir
i han de ser iguals:
-
⎧cos
x x <
f'( x)
= ⎨
⎪
si 0
f'(
0 ) = 1⎫
a 1
⎩⎪ - 2x + a si x > 0
+ ⎬
⎪ → =
f'( 0 ) = a⎭
⎪
092 Demostra que la funció següent és derivable per a tots els valors de x.
⎧⎪
2 x sin
fx ( ) = ⎨
⎪
⎪
⎩⎪
0
1
x
si x ≠ 0
si x = 0
La funció és derivable per a tots els valors de x només si és contínua en tots els valors.
Estudiem la continuïtat en x = 0:
sin 1
2 1
funció acotada → f( 0)
= lim x sin = 0 → f(x) és contínua.
x x →0
x
1 1
f'( x) = 2x
sin -cos si x ≠ 0
x x
2 1
h sin - 0
h
1
f'(
0)
= lim
= limhsin = 0 → f(x) és derivable.
h→0hh→0h