Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

) g'( x) = 2sin xcos x = sin 2x
g" ( x) = 2cos 2x
g"'( x)
=-4sin
2x
IV) g ( x) =-8cos
2x
V) g ( x) = 16sin 2x
SOLUCIONARI
Així, doncs, podem calcular la derivada n-èsima segons les expressions:
g
n)
⎧ 2k- 1) k+ 1 2k-2 g ( x) = ( -1)
2 sin 2x
= ⎨
⎪
2k
)
k+ 1 2k-1 ⎩⎪ g ( x)
= ( -1)
2 cos 2x
c) h'( x)
=
1
x
= x
-2
h" ( x) =-x
-3
h"'( x) = 2x
h ( x)
=-6
IV) x -4
-1
per a k = 1, 2, 3, …
) 1
Així, doncs, la derivada n-èsima és: h ( x) = ( -1) ⋅( n-1)! x
n n+ -n
102 Donada la funció h(x) = e sin [f(x)] , calcula el valor de la seva derivada en x = 0,
si saps que f(0) = 0 i f'(0) = 1.
(Activitat de Selectivitat)
sin[ f( x)]
h'( x) = e cos [ f( x)] ⋅ f'( x )
sin[ f ( 0)] sin 0
0
h'( 0) = e cos [ f( 0)] ⋅ f'( 0)
= e ⋅cos 0⋅ 1= e = 1
103 Digues si hi pot haver dues funcions diferents que tinguin la mateixa funció derivada.
Si la resposta és afirmativa, posa’n un exemple; si, al contrari, la resposta és negativa,
justifica-ho.
(Activitat de Selectivitat)
Sí, hi pot haver dues funcions diferents amb la mateixa funció derivada.
Per exemple:
2
f( x) = x + 3⎫
⎬
⎪ → f'( x) = g'( x) = 2x
2
g( x) = x -2⎭⎪
104 Per mitjà de la propietat de la derivada d’una suma i la del producte d’una constant
per una funció, calcula la derivada d’aquestes funcions:
a) y = x 2 + x + 3 d) y = 5sin x − 10cos x
b) 3 y =− 12 + 8x
+
1
x
e) y = 4x6 − 5x3 + 3
2 c) y = 3+ 5x + 8 x
f) y = cos2 x + cos x2 a) y' = 2x + 1 d) y' = 5cos x + 10sin
x
2
b) y' = 24 x -
1
2 x
e) 5 2
y' = 24 x -15x
c) y' = 10 x +
4
x
f ) 2
y' =-2cos x sin x - 2xsin x
8
509