Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

SOLUCIONARI
052 Determina les equacions de la recta tangent i de la recta normal (recta perpendicular
a la tangent) en el punt d’abscissa 0, a la gràfica de la funció f donada per:
x
f( x)= xe +
x
x
−
2
3 2
2 + 4
(Activitat de Selectivitat)
1
f ( 0)
=-
2
2 2 3
x x 3x ( x + 4) -( x - 22 ) x
f'( x) = 2e + 2xe+
2 2 ( x + 4)
=
x x
= 2e
+ 2xe+
4 2
x + 12x + 4 x
2 2 ( x + 4)
→ f'(
0) = 2
L’equació de la recta tangent és: y = 2x
L’equació de la recta normal és: y =- x
1
2
053 Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la gràfica
de la funció g(x) = ⏐x 2 − 9⏐ en el punt d’abscissa x = 2.
g( 2) = 5
⎧ 2 x -
g( x)
= ⎨
⎪ 9
2
⎩⎪ - x + 9
g'( 2) =-4
si⏐⏐
x ≥ 3
⎧
→ g' ( x)
= ⎨
⎪2x
si - 3< x < 3 ⎩⎪ -2x si⏐⏐
x > 3
si - 3< x < 3
L’equació de la recta tangent és: y - 5=-4( x - 2) → y =- 4x + 13
1
1 9
L’equació de la recta normal és: y - 5 = ( x - 2)
→ y = x +
4
4 2
054 Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a les corbes següents
en els punts indicats:
a) y xex = , en x = 4. b) y = arcsin x,
en x = 1
2 .
a) f( 4) 4e2 =
x f'( x) = e + xe x
1
1 -
⋅ x 2 = e
2
x
x xe
+
2 x
2
→ f'( 4) = 2e
2 2 2 2
L’equació de la recta tangent és: y - 4e = 2e ( x - 4) → y = 2e x - 4e
L’equació de la recta normal és:
y e
x y
e
e x
2 1
1
- 4 =- ( - 4)
→ =-
2 2 2
2
+
2
2 e
2 + 4e
b) f 1 ⎛ ⎞
⎜ π
⎜ =
⎝⎜
2⎠⎟ 4
f'( x)=
x
f'
- x
x x
⋅ =
⎛ ⎞
⎜
- ⎝⎜
⎠⎟
=
1
1 1 - 1
1
2
→ 1
1 2
2
2
2
π 1
1 π
L’equació de la recta tangent és: y - = x - → y = x - +
4 2
2 4
π
L’equació de la recta normal és: y -
4
⎛
=-⎜1⎞ 1 π
⎜x
- →
y =- x + +
⎝⎜
2 ⎠⎟
2 4
8
489