Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

478
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
013 Troba la funció derivada de f(x) = 3x 2 + 1 aplicant la definició. A partir del resultat,
calcula la derivada de f(x) en aquests punts:
a) x = 1
b) x = 2
2
2
f( x + h) -f(
x ) 3( x + h)
+ 1-( 3x - 1) 6hx + 3h
f'( x)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lim( 6x + 3h) = 6 x
h→0
a) f'( 1) = 6
b) f'( 2) = 12
014 Fes servir la definició per calcular la funció derivada de la funció f(x) = x 3 + x 2 .
Després, calcula les derivades successives.
Existeixen totes fins a la derivada n-èsima?
f( x + h) -f(
x )
f'( x)
= lim
h→0 h
3 2 3 2
( x + h) + ( x + h)
- ( x + x )
= lim =
h→0
h
2 2 3 2
3hx + 3h x+ h + 2hx
+ h
= lim
h→0
h
=
2 2 2
= lim(
3x + 3hx + h + 2x + h) = 3x + 2x
h→0
2
2
f'( x + h) -f'(
x ) 3( x + h)
+ 2( x + h) - ( 3x + 2x)
f" ( x)
= lim = lim =
h→0 h
h→0
h
2 6hx + 3h + 2h
= lim = lim( 6 x + 3h+ 2) = 6x+ 2
h→0hh→0 f" ( x + h) -f"
( x ) 6( x + h)
+ 2- ( 6x+ 2) 6h
f'''( x)
= lim = lim = lim = 6
h→0 h
h→0
h
h→0
h
IV ) f'''( x + h) - f'''( x ) 6-6 f ( x)
= lim = lim = 0
h→0 h h→0
h
A partir de la quarta derivada, totes les funcions derivades són iguals a 0.
015 Calcula la derivada d’aquestes funcions i comprova que es compleix que el resultat
és igual a la suma de les derivades de les funcions que les formen:
a) f(x) = x − x2 b) f(x) = x3 + 2x
f( x + h) -f(
x )
a) f'( x)
= lim
h→0 h
2 2
( x + h) - ( x + h)
-( x - x )
= lim =
h→0
h
2
h-2hx - h
= lim
h→0h = lim( 1-2x - h)
= 1-
2x
h→0
( x + h) - x ( x + h) - x
f'( x)
= lim - lim
0 h
0 h
= 1- lim( 2x + h) = 1-2x 2 2
h 2hx
+ h
= lim - lim
h
h
h→ h→ h→0
h→0
h→0
2
=
2
=