Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

SOLUCIONARI
080 Troba el valor de k per al qual aquesta funció:
⎧ ⎪
x
− x <
fx ( )= ⎨
⎪6
si 2
⎪ 2
⎪ 2
⎩⎪
x + kx si x ≥2
és contínua.
Estudia si la seva derivada és una funció contínua.
(Activitat de Selectivitat)
x
• Si x < 2: f( x ) = 6-→
Funció polinòmica, per tant, contínua en (-` , 2).
2
2
• Si x > 2:
f( x) = x + kx → Funció polinòmica, per tant, contínua en (2, +`).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 2, els límits laterals han de ser iguals
i han de coincidir amb f(2) = 4 + 2k:
⎛ x ⎞
- f ( 2 ) = lim ⎜6-
5
x 2 ⎝⎜
2 ⎠⎟
+ f ( 2 ) lim
x 2
=
⎫ ⎪
− →
⎬
⎪ - +
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f ( 2) → 4+
2k = 5→k
=
2 ⎪
= ( x + kx) = 4+ 2k⎪
+ →
⎭
⎪
⎧⎪
x
⎧
⎪
⎪
⎪6
- si x < 2 ⎪
1
⎪-
si x < 2
Aleshores: f( x)=
⎨
⎪ 2
→ f'(
x ) = ⎨
⎪ 2
⎪ 2 1
⎪
⎪x
+ x si x ≥ 2 ⎪ 1
⎪2x
+ si x > 2
⎩⎪
2
⎩⎪
2
1 ⎫
- ⎪
f'(
2 ) =- ⎪
2
⎬
⎪ → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
+ 9 ⎪
f'(
2 ) = ⎪ f (x) no és derivable en x = 2.
2 ⎭⎪
Així, doncs, la funció derivada no és contínua en x = 2.
081 Considera f la funció definida per:
⎧ 2 x − x x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 3
⎩⎪ 2x + a si x < 3
a) Troba el valor de a perquè f sigui contínua.
b) Comprova si és derivable en x = 3 a partir de la definició.
(Activitat de Selectivitat)
2
a) • Si x > 3: f( x) = x - 2x→
Funció polinòmica, per tant, contínua en (3, +`).
• Si x < 3: f( x) = 2x
+ a → Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 3).
• Perquè la funció sigui contínua en x = 3, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f (3) = 3:
- f( 3 ) = lim( 2x + a) = 6 + a⎫⎪
− x →3
+
2
⎬
⎪ - +
→ f( 3 ) = f( 3 ) = f( 3) → 6+ a = 3→a=-3 f( 3 ) = lim( x -2x)
= 3 ⎪
+ x →3
⎭
⎪
b) La funció només pot ser derivable si és contínua; per tant, considerem:
⎧ 2 x - x x ≥
f( x)=
⎨
⎪ 2 si 3
⎩⎪ 2x - 3 si
x < 3
8
1
2
499