límits i continuïtat de funcions - matessantboianes

412
7
límits i continuïtat de funcions
números reales
LITERATURA Y MATEMÁTICAS
La mort i la bruíxola
Solucionario1
[Un detectiu descobreix la pauta que segueixen tres assassinats i va
cap al lloc on creu que es cometrà el quart. Però, quan hi arriba, només
hi troba l’assassí que l’espera per matar-lo. Abans de fer-ho, li
explica per què li ha parat aquesta trampa.]
–Fa tres anys, en una tafureria de la Rue de Toulon, vostè mateix arrestà,
i feu engarjolar el meu germà. En un cupè, els meus homes van treure’m
del tiroteig amb una bala policial al ventre. Nou dies i nou nits vaig agonitzar
en aquesta desolada vil·la simètrica; em consumia la febre, el Janus
bifront odiós que mira els ocassos i les aurores proporcionava horror al
meu son i a la meva vigília. Vaig arribar a abominar del meu cos, vaig
arribar a sentir que dos ulls, dues mans, dos pulmons, són tan monstruosos
com dues cares. Un irlandès va tractar de convertir­me a la fe de
Jesús, em repetia la sentència dels goyim: Tots els camins porten a Roma.
De nit, el meu deliri s’alimentava d’aquesta metàfora: sentia que el món
és un laberint, del qual era impossible fugir, ja que tots els camins, encara
que fingissin anar cap al nord o cap al sud, anaven realment a Roma,
que també era la presó quadrangular on agonitzava el meu germà i la
vil·la de Triste­le­Roy. Durant aquestes nits vaig jurar pel déu que hi veu
amb dues cares i per tots els déus de la febre i dels miralls teixir un
laberint al voltant de l’home que havia empresonat el meu germà. L’he
teixit i és ferm. [...]
El detectiu va sentir una mica de fred i una tristesa impersonal, gairebé
anònima. Ja era de nit; des del jardí polsegós va pujar el crit inútil d’un
ocell. Va considerar per última vegada el problema de les morts simètriques
i periòdiques.
–Al seu laberint, hi sobren tres línies –va dir finalment–. Sé d’un laberint
grec que és una línia única, recta. En aquesta línia s’hi han perdut
tants filòsofs que també s’hi pot perdre un mer detectiu. Quan en un
altre avatar m’encalci, fingeixi (o cometi) un crim a A, després un segon
crim a B, a 8 quilòmetres de A, després un tercer crim a C, a 4
quilòmetres de A i de B, a la meitat del camí entre els dos. Esperi’m
després a D, a 2 quilòmetres de A i de C, de nou a la meitat del camí.
Mati’m a D, com ara em matarà aquí.
–La propera vegada que el mati li prometo aquest laberint, que consta
d’una sola línia recta i que és invisible, incesant.
Va retrocedir unes passes. Després, amb molta cura, va disparar.
Jo r g e Lu i s Bo r g e s [text adaptat]

La mort i la brúixola
Jorge Luis Borges
Solucionari
Els protagonistes d’aquest relat de crims són, a més de l’assassí, un comissari de policia
i un detectiu. El primer crim té lloc la nit del 3 de desembre a l’habitació de l’Hotel du Nord
on s’allotjava la víctima, en Yarmolinsky, un professor jueu que assistia a un congrés talmúdic.
En un full col·locat a la seva màquina d’escriure hi havia escrita aquesta sentència inconclusa:
«S’ha articulat la primera lletra del Nom.» El mes següent, també de nit, apareix mort en un suburbi
occidental un delinqüent, l’Azevedo, amb fama de delator, que també és jueu. En una paret
propera havien escrit amb guix: «S’ha articulat la segona lletra del Nom.» El tercer crim, una mica
dubtós perquè no va aparèixer el cadàver, va tenir lloc també un mes després, la nit del 3 de febrer,
carnaval, en una taverna on una persona estranya havia llogat alguns dies abans una habitació.
Quan hi van arribar el comissari i el detectiu, van trobar aquesta frase escrita en una pissarra:
«S’ha articulat l’última de les lletres del Nom.» També van veure una taca de sang i un llibre en llatí
sobre els jueus en el qual la presumpta víctima havia subratllat aquest fragment: «El dia hebreu
comença quan es fa fosc i dura fins al vespre següent.» La nit del primer de març, el comissari rep
un sobre amb una carta en la qual li anuncien que el dia 3 d’aquest mes no hi haurà un quart
crim perquè, com pot comprovar en el plànol que hi adjunta, els tres llocs dels crims ja formen
un «triangle equilàter i místic». Perplex, va remetre la carta al detectiu, que, després d’estudiar-la
minuciosament, determina que la sèrie dels crims no era regida pel nombre 3, sinó pel 4. Per què?
Perquè, segons el calendari hebreu, com que es van cometre de nit, tots els crims havien tingut
lloc el dia 4 de cada mes; a més, les lletres del nom de Déu són 4 –l’anomenat tetragràmaton:
J H V H– i, finalment, els punts cardinals –tres dels quals assenyalats pels vèrtexs del triangle–
també són 4. En conseqüència, l’assassí amb aquesta carta els volia enganyar: en realitat,
cometria un quart crim en un indret al sud de la ciutat que formava un rombe
perfecte amb els llocs dels tres crims anteriors. El detectiu localitza aquest indret
en el plànol –una vil·la anomenada Triste-le-Roy–, i hi va amb la intenció d’avançar-se
i atrapar l’assassí in fraganti. Però, quan hi arriba, és l’assassí qui l’espera, perquè ell, com
li explica en el paràgraf seleccionat, era l’autèntica víctima d’aquella trama.
En el laberint-trampa que proposa el detectiu, les distàncies dels llocs on es cometen
els crims amb relació al primer són 8, 4 i 2. Si continuem indefinidament, obtenim
la successió: 8, 4, 2, 1, 1/2… Escriu-ne el terme general i calcula’n el límit.
a n
= ⋅ ⎛
⎜ 1 ⎞
8 ⎜
⎝⎜
2 ⎠⎟
n−1
8
= = 2
n−1
2
4−n
lim 2 0
n→
`
4− n =
7
413

414
límits i continuïtat de funcions
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA
001 Justifica si les gràfiques següents corresponen a funcions.
a)
Y
X
a) La gràfica pertany a una funció perquè a cada valor de x correspon un únic
valor de y.
b) La gràfica no pertany a una funció perquè hi ha valors de x als quals
corresponen més d’un valor de y.
002 Troba el terme general d’aquestes successions.
a) 3 7
, ,
5 15
11
,…
45
b) 3
,
1
1 1 3
, ,
4 9 16
− − ,…
a) a
n
ACTIVITATS
n n
=
n n
+ − 3 4( 1)
4 − 1
=
−1 −1
5⋅3 5⋅3 b)
Y
n
n
b) an
=
n
n
+ − − = −
3 ( 2)( 1) 5 2
2 2
001 amb l’ajuda de la calculadora, troba el límit de les successions següents:
a) a
n =
n + 1
n
a) lim
n→
`
n + 1
= 1
n
n
b) an
=
n −
b) lim
2 1
n
0
n − =
n→
` 2 1
002 aplica la definició de límit i demostra que:
comprova-ho per a ε = 0,0001.
n
lim
→` n − = 1
2
n
c) a
n =
Busquem h de manera que per a qualsevol n > h es compleix que:
n
an
− <
− <
n−n− <
2
1 0, 0001 → 1 0, 0001 →
0, 0001
2
2
2
Si agafem h= 20. 002 → n=
20. 003 → < 0, 0001
20. 001
Obtenim el mateix resultat per a n = 20.004, n = 20.005…,
és a dir, per a n > h.
X
− 2n+ 1
n − 2
− 2n+ 1
c) lim =−2
n→
` n − 2

003 Determina el límit de les següents successions de nombres reals:
a) a
b) an
n =
2 n + 1
n
c) an =− 2n + 3
n = + 2 1 d) an = sin n
a) lim
n→
`
b) lim
2 1
n 2
n→
`
1
n + 2
=+ `
c) lim ( − 2n+ 3)
=−`
n
n→
`
`
+ =+ d) lim sin n no existeix.
2
n→
`
004 Escriu successions de nombres reals que verifiquin que el seu límit,
quan n tendeix a infinit, és:
a) lim
an
n →`
b) lim
an
n →`
= 3
=− `
Resposta oberta. Per exemple:
c) lim
an
n →`
d) lim
an
n →`
=+ `
no existeix.
a) an
=
3n−1 n
c) an = n+
4
b) an = 1 − n
d) an = cos n
005 observa la gràfica i calcula els límits de la funció en l’infinit.
lim
x→
+ `
x
x
2
2
−
− =
2
1 lim
1
x→
−
006 aplica la definició de límit i demostra que:
comprova-ho per ε = 0,0001.
`
Y
1
x
x
2
2
1
x
lim
` x 2
x
f( x)=
x
−
2 2
2
−1
−
− =
2
1
1
x → + − =
Busquem x0 de manera que per a qualsevol x > x 0 es compleix que:
x
f( x)
− < , − < , ,
x − x − <
2
1 0 0001 → 1 0 0001 →
0 0001
2
2
2
Si agafem x0= 20. 002 → x = 20. 003 → < 0, 0001
20. 001
Obtenim el mateix resultat per a x = 20.004, x = 20.005…,
és a dir, per a tot x > x0. 1
X
Solucionari
7
415

416
límits i continuïtat de funcions
007 observa la gràfica i calcula els límits de la funció en l’infinit.
Y
3
: x x
x − 3 x
f( x)=
lim =−`
x→
−`
1
2
−
3 3
2
1
X
lim
x→
+ `
3 3
008 Busca funcions els límits dels quals siguin els següents:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
c) lim
x →−`
f( x)
=+ `
f( x)
=−`
f( x)
=+ `
Resposta oberta. Per exemple:
d) lim
x →−`
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
f( x)
=−`
x − x
=+ `
2
f( x)
no existeix.
f( x)
no existeix.
2 2 a) f( x)= x − x + 1 c) f( x)= x + x − 4 e) f( x)= cos x
b) f( x)= x − x2
d) f( x)= x − x 3 f) f( x)= 1−sin 2x
009 Determina el valor de les expressions següents:
a) 2 + ( + ` )
c) 2 ⋅ ( + `) + ( + `)
b) 2 +− ( ` )
d) 2 ⋅− ( `) ⋅ ( + `)
a) +` b) −` c) +` d) −`
010 Troba el valor d’aquestes expressions:
a) 2 + ` 2
+ ( + `) ⋅ ( + `)
c) ( + `) + ( + `)
b) 2− ` 2
+− ( `) ⋅− ( `)
d) ( −`) ⋅ ( + `)
011 Si lim
x → + `
a) lim
a) +` b) +` c) +` d) +`
x → + `
b) lim
x → + `
f( x)
=−1
i lim
[ f( x) + g( x)]
[ f( x) ⋅ g( x)]
a) lim
x→
+ `
x→
+ `
x → + `
g( x)
=−`,
calcula:
c) lim
3
x → +`
d) lim
x → +`
3
g( x)
f( x)
[ f( x) + g( x)]
=−`
c) lim
3
x→
+ `
x→
+ `
g( x)
=−`
3 b) lim [ f( x) ⋅ g( x)]
= + `
d) lim f( x)
=−1

012 Si lim
x →−`
a) lim
x →−`
b) lim
x →−`
f( x)
=+ ` i lim
[ f( x) + g( x)]
[ f( x) − g( x)]
a) lim
x→
−`
x→
−`
x →−`
g( x)
=−5,
troba:
c) lim
x →−`
d) lim
x →−`
g( x)
f( x)
g( x )
Solucionari
[ f( x) + g( x)]
= + `
c) lim g( x)
noexisteix.
x→
−`
b) lim [ f( x) − g( x)]
=+ `
d) lim f( x)
= ( ) 0
013 Troba els límits següents:
a) lim
x → +`
b) lim
x →−`
x
x
7
7
x→
+ `
c) lim
x → +`
d) lim
x →−`
7
7
x
x
x→
+ `
x→
−`
e) lim
1
x → +` 7 x
f) lim
1
x →−` 7 x
7 7
a) lim x =+ `
c) lim x =+ `
e) lim
x→
−`
x→
−`
g x
1
x→ + ` 7 x
7 7
b) lim x =−`
d) lim x =−`
f) lim
014 calcula aquests límits:
a) lim
x → +`
b) lim
x →−`
7
7
x
x
x→
+ `
c) lim
x → + `
d) lim
x →−`
( 7 )
x
( 7 )
x
x→
−`
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
x
a) lim 7 =+ `
d) lim ( 7 ) = 0
b) lim
x→
−`
c) lim
x→
+ `
x
7 = 0 e) lim
x
( 7 ) =+ ` f) lim
1
7 x = 1
x→
+ `
1
7 x = 1
x→
−`
015 Troba els límits en l’infinit de cada una d’aquestes funcions.
a) lim
⎛
⎜ 2 x ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
x 1 ⎠⎟
x → + ` −
a) lim
3
⎛ x ⎞
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
=
2
8
1
x→
+ ` −
b) lim
x→
−`
3
( 3x + 1)
x
( x −6)( 2x −1)
4
2 3
b) lim
x →−`
3
=
8
x
( 3x + 1)
x
7
7
( x −6)( 2x−1) 4
2 3
1
x
1
x
1
x→ −`
7 x
7
= 0
= 0
417

418
límits i continuïtat de funcions
016 completa lim
, escrivint-ne al numerador una funció
x → + ` 3 2x − x + 12
de manera que el resultat sigui:
a) +` b) 4 c) 0
Resposta oberta. Per exemple:
a) lim
x→
+ `
b) lim
x→
+ `
4
x + 5
=+ `
3 2x − x + 12
3
8x−3 = 4
3 2x − x + 12
017 resol els límits següents:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
a) lim
2 x + 3
2x+ 1
2
2x + x−1
x
x→
+ `
b) lim
x→
+ `
2
+ 3
018 calcula aquests límits:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
a) lim
c) lim
x →−`
d) lim
x → + ` 3
c) lim
x→
+ `
2
2
2x + x−1
x +
x +
=
2 3 1
c) lim
2 1 2 x→
−
2
2x + x −1
=+ `
2 x + 3
x + x
x
7x + 3x−2 x→
+ `
b) lim
x→
+ `
2 x
019 calcula els límits següents:
c) lim
x → + `
d) lim
x →−`
2
x
2
x + x
= 0
3 2x − x + 12
+ 3
2x − 12x + 9
5
x + 5x−2 d) lim
`
x→
+ ` 3
2
2x + x −1
=+ `
2 x + 3
2
2x− 6+
x
x + x
= 1 c) lim
x
x→
+
7x + 3x − 2 7
=
d) lim
2 x 2 x→
−
⎛ 2 2
x
x
a) lim
⎜ −1 1+ 2 ⎞
⎜ −
⎟
x → + `⎝⎜
x 2x−1 ⎠⎟
b) lim
x → + `
( )
2 2
x − x − x
c) lim
x → + `
d) lim
x → + `
2x+ 4
2x − 12x + 9
=+ `
5 x + 5x −2
2 x + 1 + 2x
6x−3 `
`
2x − 6+
x
2x+ 4
( )
2x− 1+ 4 x
= 1
2 x + 1 + 2x
1
=
6x−3 2
( 2
)
9x + 3x −3x

⎛ 2 2
x
x
a) lim
⎜ − 1 1+ 2 ⎞
⎜ − → ` − `
x→
+ `⎝⎜
x 2x−1 ⎠⎟
x ` x `
x→
+ `
2
−x −3x
+ 1 1
=−
2 2 x − x 2
Solucionari
⎛ x − + x ⎞
lim
⎜ − lim
→+ ⎝⎜
x x − ⎠⎟
→+
=
2 2
2 2
1 1 2
( x −1)( 2x −1) − ( 1+ 2 x ) x
=
2 1
x( 2x − 1)
b) lim
x→
+ `
=
lim ( 2 x −2x − x )= lim
x→+ `
x→+
`
c) lim
x→
+ `
lim
( 2 x −2x − x ) → ` − `
=
lim
x→
+ `
( 2x − 1+ 4 x ) → ` − `
lim ( 2x − 1+ 4 x )= lim
x→+ `
x→
+ `
d) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
( 2 9x + 3x −3x)
→ ` − `
( 9x + 3x −3x)=
2 lim
x→
+ `
=
lim
x→
+ `
2 2
x −2x − x
=
2 x − 2 x + x
−2
x
=−1
2 x − 2 x + x
2
4 x −1−4x 2x + 1+ 4 x
020 Substitueix a, b, c i d per nombres de manera que:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
( x + ax − x )=
2 1
( 2 4 x + bx−3 − 2 x )=−
1
4
( ) =
=+ `
2 2
9x + 3x −9x
=
2 9x + 3x + 3 x
3 x
1
=
2 9x+ 3x
+ 3 x 2
c) lim
x → + `
d) lim
x → + `
2 2
( 2 9x + 7 −cx)=
0
7
( dx + x− − x )=+
2 5 2 `
a) lim 2 x + ax − x lim
x + ax − x
= lim
ax
=
x→+ ` x→+
` 2 x + ax + x x→
+ ` 2 x + ax + x
=
a
2
= 1→a= 2
b) lim ( 2 4 x + bx −3 − 2 x)=
lim
x→+ ` x→+
`
=
lim
x→
+ `
2 2
4 x + bx −3−4x =
2 4 x + bx − 3 + 2x
bx − 3
b 1
= =−→
b =−1
2 4 x + bx − 3 + 2 x 4 4
419

420
límits i continuïtat de funcions
c) lim ( 2 9x + 7 − cx)=
lim
x→+ ` x→+
`
d) lim ( 2 dx + x −5 − 2x)=
lim
x→+ ` x→+
`
021 calcula els límits següents:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜ 1+
⎟
⎝⎜
⎟
x ⎠⎟
⎛
⎜ 3 ⎞
⎜ 1−
⎟
⎝⎜
⎟
x ⎠⎟
a) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
b) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
2 x−1
6 x+
2
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜1+
⎝⎜
x ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
⎜
⎜1+
⎝⎜
x ⎠⎟
⎛
⎜ 3 ⎞
⎜1−
⎝⎜
x ⎠⎟
⎛ 3 ⎞
⎜
⎜1−
⎝⎜
x ⎠⎟
2 x−1
→ 1
`
2 2 2
9x + 7−
c x
c) lim
2 cx
9x+ 7 +
x →−`
⎡ ⎤
2 x−1
⎢
1
lim ⋅( 2 x−1)
⎥
⎢ x ⎥
6 x+
2
⎛ x
c) lim ⎜ 4 − 1⎞
⎜ 2 −
x→
−`⎝⎜
4 x ⎠⎟
⎛
lim ⎜ 4 x − 1⎞
⎜ 2 −
→ −`⎝⎜
4 x ⎠⎟
x
⎛ x ⎞
d) lim ⎜
x→
−`⎝⎜
x + 3 ⎠⎟
⎛ x ⎞
lim ⎜
→ −`⎝⎜
x + 3 ⎠⎟
022 Troba aquests límits:
a) lim
x
x → + `
b) lim
x → + `
⎛ 2
⎜ x + 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
2 x ⎠⎟
x−1
2 2
= 0 → c = 3
dx + x −5−4 x
=+ ` → d ≠ 4
2 dx + x − 5 + 2x
⎛
⎜ 4 x −1
⎞
⎜ 2 − ⎟
⎝⎜
⎟
4 x ⎠⎟
⎛ x ⎞
d) lim ⎜
⎟
x →− ⎝⎜
⎟
` x + 3 ⎠⎟
x→
+ ` = e ⎣ ⎦ = e
→ 1
`
+ −
=
⎛ ⎞
⎝⎜
⎠⎟
⋅
6 x 2
3
6
+ x
e x
⎡
⎤
lim ⎢ ( x+
→ ` ⎢
2 ) ⎥
⎣
⎦ −18
e
3 x+
1
3 + 1 x
⎛ 2
⎜ x − x + 2 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
2 x + 1 ⎠⎟
x+
6
3 x+
2
3 x+
2
→ 1
=
`
→ 1
= e
`
2
= =
⎡ ⎛
⎜ 4x−1⎞ ⎤
lim ⎢ 1−
x→
−`
⎢
⋅ ( 3 x+
2)
⎥
⎜⎝
4 x ⎠⎟
⎥
⎣
⎦
+ −
⎛ ⎞
+ ⎝⎜
3 ⎠⎟
1
x
x e x
⎡
⎤
lim ⎢ ⋅ +
→ ` ⎢
( 3 x 1)
⎥
⎣
⎦
c) lim
x →−`
d) lim
x →−`
⎛
⎜ x
⎜
⎝⎜
x
3 x+
1
e
3 x+
2
1
18
3x+ 2
lim
x→
− = e ` 4 x = e
3
4 4 3
= e
− 3( 3 x+
1)
lim
x→
−`
x+
3 −9
1
9
= e = e =
e
2
2
−1
⎞
⎟
+ 1 ⎠⎟
1
2 x
⎛ 2
⎜ x − 2x + 2 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
2 2x + 3x−2⎠⎟ 2
x −3
x

a) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
b) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
c) lim
x→
−`
d) lim
x→
−`
⎛ 2
⎜ x + 1 ⎞
⎜
⎝⎜
2 x ⎠⎟
x−1
→ 1
⎛ 2 x + ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
x−1
1
e
2 x
⎛ 2
⎜ x − x + 2 ⎞
⎜
⎝⎜
2 x + 1 ⎠⎟
⎛ 2
⎜ x − x + 2 ⎞
⎜
⎝⎜
2 x + 1 ⎠⎟
⎛
⎜ x
⎜
⎝⎜
x
2
2
− 1 ⎞
+ 1 ⎠⎟
1
`
x+
6
x+
6
2 x 0
⎡ ⎛ 2 x + 1 ⎞ ⎤
lim ⎢ ⎜ −1
⋅( x−
) ⎥
x→
+ ` ⎜ 2 ⎝ x ⎠⎟
⎥
⋅( x−
⎣⎢
⎦⎥
+
= e x
x
⎡
1
1 ⎤
lim ⎢ 1)
⎥
→ `⎢
2
⎣ ⎦
→ 1
= e
`
Solucionari
⎥
= e =
0 1
2 x − x+
2
lim
1 x 6
x→
+ ` 2 x + 1
e
−
⎡ ⎛
⎞ ⎤
2
⎢
⋅ + ⎥
−x − 5x+ 6
⎢
( )
⎝⎜
⎠⎟
⎥ lim
⎣⎢
⎦⎥
x→
+ ` 2 x + 1
=
−1
1
= e =
e
= 1 = 1
⎛ 2
⎜ x − 2x + 2 ⎞
⎜
⎝⎜
2 2x + 3x −2⎠⎟
023 observa la gràfica i calcula:
2 x −3x
lim f( x)
lim f( x)
− +
x → 0
x → 0
⎧ x x
en què f( x)=
⎪−
+ 1 si ≤ 0
⎨
⎩⎪
x + 2 si x > 0
= 0
lim f( x)
= 1
lim f( x)
= 2
− x→0
024 observa la gràfica i troba:
lim
x → − −
2
f( x)
lim f( x)
−
x → 0
x→−
− 2
lim
x → − +
2
f( x)
lim f( x)
+
x → 0
x→−
+ 2
+ x→0
Y
3
Y
3
1
1
f ( x )
f ( x )
X
X
=
7
lim f( x)
=−`
lim f( x)
=+ ` lim f( x)
= 1 lim f( x)
= 0
− x→0
+ x→0
421

422
límits i continuïtat de funcions
2 3
x −
025 calcula el límit de la funció f( x)=
x + 2
6
lim f( x)
=
x→3
5
1
lim f( x)
= = ` →
→−2
0
x
x→−2−
− + x→
2
en x = 3 i x = −2.
lim f( x)
= −`
⎫ ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→−2
⎪
⎭⎪
1 π
026 Determina el límit de la funció f( x)=
en x = i x = 0.
sin x 2
lim f( x)
= 1
π
x→
2
lim f( x)
=−`
⎫⎪
1
−
⎪
x→0
lim f( x)
= = ` →
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
x→0
0 lim f( x)
=+ ` ⎪
x→0
⎪
+ x→0
⎭⎪
027 resol els límits següents:
a) lim
x →−1
x + 1
3x+ 3
x + 1 0
a) lim →
x→−1
3x+ 3 0
b) lim
x +
lim lim
→− x + →−
=
1 1 1
=
13( 1)
133
x x
028 calcula aquests límits:
a) lim
x → 5
a) lim
25 − x
x→5
x − 5
2
25 − x
x − 5
2
→
0
0
x → 0
b) lim
x → 3
2
2x + 2x
2
x − 3 x
2
2x + 2x
b) lim
x→0
2 x − 3 x
→
0
0
2x( x + 1)
2( x + 1)
2
lim = lim=−
x→0
x( x − 3)
x→0
x − 3 3
2x−18 ( 5+ x)( 5−
x)
5 + x
lim = lim
x→5
−( 5 − x )
x→5
− 5 − x
2
x
2
2
− 9
lim f( x)
=−`
⎫⎪
5
−
⎪
x→5
= = ` →
⎬
⎪
0 lim f( x)
no existeix ⎪
+ x→5
⎭⎪
→ No existeix lim f ( x ).
2x−180 2( x − 9)
b) lim →
lim = lim(
2 2 x − 9 )=
0
x→32x→32x x − 9 0
→3
x − 9
2
x→5

x + 3
029 Determina si la funció f( x)=
és contínua en x = −2 i x = 2.
2 x − 4
Solucionari
1
f( − 2)
= → No existeix f(
−2
) → La funció no és contínua en x = −2.
0
5
f( 2)
= → No existeix f(
2 ) → La funció no és contínua en x = 2.
0
030 Digues si la funció f( x)= x −3 és contínua en x = −3 i x = 0.
f( − 3) = ⏐− 6⏐= 6 → Existeix f(
−3)
.
lim ⏐x− 3⏐= ⏐− 6⏐= 6 → Existeix lim f( x).
x→−3 x→−3
f( − 3)
= lim f( x ) → La funció és contínua en x = −3.
x→−3
031 Determina si aquesta funció és contínua:
⎧ x
f( x)=
⎪ + 1
⎨
⎩
⎪ 2
⎪ x − 3
si x ≤−1
si x >−1
• Si x < − 1 → f ( x ) = x + 1 → f ( x ) és contínua en (−`, −1).
• Si x > − 1 → f ( x ) = x 2 − 3 → f ( x ) és contínua en (−1, +`).
• Si x = − 1 → f ( −1 ) = − 1 + 1 = 0 → Existeix f ( −1 ).
lim f( x) = lim ( x + 1) = 0
→
lim
lim f( x)
= limx
x→
x→
− +
⎫ ⎪
⎬
⎪ No existeix f( x).
2 ( − 3) =−2⎪
−1
⎪
1
⎭⎪
− −
x→−1 x→−1
+ x→
−1
La funció no és contínua en x = −1, té una discontinuïtat de salt finit en aquest
punt; per tant, f ( x ) és contínua en R − {−1}.
032 calcula a perquè aquesta funció sigui contínua en tot R.
⎧ ⎪
x + 1
f( x)=
⎪
⎨ x
⎪ 2
⎩⎪
− x + a
si x ≤−2
si x >−2
x
• Si x − 2 → f( x) =− x + a → f( x ) és contínua en ( − 2,
+ ` ) .
− 2+ 1 1
• Si x =− 2 → f ( x) = = → Existeix f ( −2)
.
−2
2
7
x + 1
lim f( x)
= lim =
− − x→−2 x→−2 x
1
2
lim f( x)
= limx
a a
+ x→−2
x→−
+
2 ( − + ) =− 4 +
2
f( x) és continua en x =− si:
f( − ) = f( x ) =
x − −
2
2 lim limf
x →
→ 2
x→−
a → a
+
( )
2
1
9
=− 4 + =
2
2
423

424
límits i continuïtat de funcions
033 Determina si la funció:
s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 4).
f( x)= sin x + cos x
f ( x ) és la suma de funcions contínues en R, per tant, és contínua en R.
f ( x ) és contínua en [0, 4].
f (0) = 1 > 0
f (4) = sin 4 + cos 4 = −1,41 < 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 4) tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 4).
ln x + 2 x
034 Donada la funció f( x)
=
, troba si existeix algun punt c en l’interval
x − 2
(0, 1) tal que f ( c ) = 0.
f ( x ) està definida en (0, 2) ∪ (2, +`) → f ( x ) és contínua en (0, 2) ∪ (2, +`),
així, doncs, f ( x ) no és contínua en [0, 1], perquè no està definida en x = 0.
Per aplicar el teorema de Bolzano podem considerar l’interval (0,1; 1).
f ( x ) és contínua en [0,1; 1].
f (0,1) = 1,106 > 0
f (1) = −2 < 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0,1; 1) tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0,1; 1).
Per tant, també podem assegurar que hi ha algun punt c a l’interval
(0, 1) tal que f ( c ) = 0.
035 Donada la funció següent:
f ( x ) = sin x + cos x
demostra que existeix un punt c ∈ (0, 4) tal que f ( c ) = −1.
f ( x ) és la suma de funcions contínues en R, per tant, és contínua en R.
f ( x ) és contínua en [0, 4].
f (0) = 1
f (4) = sin 4 + cos 4 = −1,41
Com que f ( 0 ) > −1 > f (4) podem aplicar el teorema dels valors
intermedis → Existeix c ∈ (0, 4) tal que f ( c ) = −1.
ln x + 2 x
036 Donada la funció f( x)
=
, demostra que assoleix un màxim
x − 2
i un mínim absoluts en un interval.
f ( x ) és contínua en (0, 2) ∪ (2, +`), per tant, f ( x ) és contínua en [0,1; 1].
Aleshores, pel teorema de Weierstrass, hi ha almenys un punt en el qual
la funció assoleix el valor màxim absolut i un altre punt on pren el valor mínim
absolut.

Solucionari
037 Determina el terme general de les successions següents i calcula’n el límit.
a) 1 1
, ,
2
1
,
4
1 1
, ,
8 16
1
,…
32
b) 0 1
, ,
2
2
,
3
3
,
4
4
,
5
5
,…
6
c) 1 5
, ,
3
7
,
3
9 11 13
, , ,…
3 3 3
2 4 8 16 32
d) − , , − , , − ,…
3 9 27 81 243
e) 64 , 32 , 16 , 8, 4, 2,…
1
1
a) an = lim = 0
n−1 n n−
2
→ ` 1 2
n
n
b) an
= lim
n
n n
− − 1 1
= 1
→ `
n n n
c) an
= lim
n
+ − 3 2( 1)
2 + 1
2 + 1
=
=+ `
3
3
→ ` 3
n
d) an = lim
n n
n
− −
( ) ( )
2
2
3
→ ` 3
n
n
e) an = ⋅ lim
n
n
⎛ ⎞ −1
6
⎜ 1 2 7−
64 ⎜ = = 2 2
⎝⎜
2 ⎠⎟
−1
2
→ `
n
7− n = 0
no existeix.
038 Troba el límit d’aquestes successions expressades pel seu terme general.
a) an = 3n+ 1 f) fn = ( n+ 3)( 2n−3) 5
b) bn
=
n + 1
2 c) cn = n − 5n+ 6
g) gn
2 3 d) dn = 3 − n+ n −n
i) in
n
e) en
= − − 4
3
2
a) lim ( 3n+ 1)
=+ `
n→
`
b) lim
n→ ` n
5
0
+ 1
=
2 c) lim ( n − 5n+ 6)
=+ `
n→
`
d) lim ( − n+ n − n ) =− `
3 2 3
n→
`
n 4
e) lim 3 − `
n→
` 2
− ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=−
n = − 2 1
h) hn = ⎛
⎜ 3 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
5 ⎠⎟
j) k
= 3
n =
2
2 n
3n−1 2 n + 3n−2 n
f) lim [( n+ 3)( 2n− 3)]
=+ `
n→
`
n 2
n→
`
1 − =+
2 n
g) lim
`
⎛ 3 ⎞
h) lim ⎜ 0
n→
`⎝⎜
5 ⎠⎟
=
i) lim 3 n−
= 3 = 1
n→
`
j) lim
n→
`
2
3 1 0
2 n + 3n− 2
=+
`
n
7
425

426
límits i continuïtat de funcions
039 calcula els límits de les successions següents.
a) lim
n →`
b) lim
n →`
c) lim
n →`
3 2
( − n + 8n − n + 8 )
3
3
2n+ 1
2 n −3n− 2
a) lim ( − n + 8n − n + 8)
=−`
n→
`
3 2
b) lim 3 2n+ 1 =+ `
n→
`
c) lim
n→
`
3
2 n −3n− 2 =+ `
d) lim
n →`
e) lim
n →`
f) lim
040 calcula raonadament el límit de la successió:
(Activitat de Selectivitat)
2
( n − 2)
n →`
( n+ 1) −( n−1)
2
3 3
2 3n − 8n+ 16
35
6n−2 3
3n − 7n+ 1
2 3
5− 2n+ 3n
− n
2
2n −5n−4 d) lim
n→
`
e) lim
n→
`
f) lim
n→
`
2 3n − 8n+ 16
=+ `
35
6n−2 0
3 3n − 7n+ 1
=
2 3
5− 2n+ 3n
− n
2
2n −5n−4 ( n − 2 )
n − 4n+ 4
lim = lim
n→` 3 3
( n+ 1) −( n−1)
n→`
3 2 3 2
n + 3n
+ 3n+ 1− n + 3n − 3n+ 1
=
=
lim
n→
`
041 Determina els límits d’aquestes successions.
⎛ 2 4n−1 6 n ⎞
a) lim
⎜ ⋅
⎟
n →` 5n
3
⎝⎜
n + 1 ⎠⎟
⎛ 2 3
n + 5 5n
⎞
b) lim
⎜ :
⎟
n →` 1− 2n
2
⎝⎜
n + 12 ⎠⎟
2
n − 4n+ 4
=
2 6n+ 2
2
1
6
⎛ n
c) lim
⎜ 2 + 3 6 n−n ⎜ +
n →` ⎝⎜
5n
3n
2 2
⎛ 3n+ 2 ⎞
d) lim ⎜
⎟ 8n1 n →` ⎝⎜
⎟
2 6 n ⎠⎟
− ( )
⎛ 2 4n−1 6 n ⎞
a) lim
⎜
2
⎜ ⋅
lim
n→` 5n
3
⎝⎜
n + 1 ⎠⎟
n→`
=
2 4n−6 0
3 5n+ 5
=
⎛ 2 3
n + 5 5n
⎞
b) lim
⎜
lim
n→`1− 2n
2
⎝⎜
n + 12 ⎠⎟
n
=
:
2 2
( n + 5)( n + 12)
=
→ ` 3 5n ( 1−2n) 4 2
n + 17 n + 60 1
= lim =−
n→
` 3 4
5n − 10n
10
⎞
⎟
⎠⎟
=−`

⎛ 2 2
2n+ 3 6 n−n ⎞
c) lim
⎜ +
lim
n→`⎝⎜5n3n⎠⎟ n→`
=
6n + 9+ 30 n−5n 15n
2
2 2
n + 30 n+
9
= lim→ =+ `
n ` 15n
⎡ ⎛ 3n+ 2 ⎞ ⎤
d) lim ⎢ ⎜ 8n−1 ⎥ li
n→
` ⎢ ⎝⎜
2 6 n ⎠⎟
⎥
⎣
⎦
=
2 24 n + 13n− 2
( ) m
= 4
n→
`
2 6 n
Solucionari
042 Deixem caure una pilota des d’una altura de 4 metres i, després de cada rebot,
l’altura que assoleix es redueix a la meitat de l’altura anterior.
Quina altura assolirà la pilota després de cada un dels cinc primers rebots?
i després del vintè rebot? i després del rebot n-èsim? Si an denota l’altura
que assoleix després del n-èsim rebot, troba una cota superior i una altra d’inferior
d’aquesta successió. calcula lim a .
(Activitat de Selectivitat
n
n →`
1
1
1
a1 = 2m a2 = 1m
a3 = m a4 = m a5
= m
2
4
8
= ⋅
2
⎛ ⎞
⎝⎜
⎠⎟
1
⎛ 1 ⎞
= m an=
2 ⋅ ⎜
262. 144
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
= = = 2 ⋅ ⎜
2 262. 144
⎝⎜
2 ⎠⎟
19
a20 2 ⎜ 1 2 1
⎜
m an
19
n−1
2 1
= = = 2
n−1 n−2
2 2
−( n−2)
Una cota superior de la successió és 4 i una d’inferior és 0.
lim 2 0
n→
`
−( n−
2 ) =
n−1
043 observa les gràfiques d’aquestes funcions, i calcula els límits següents:
a) lim
x → +`
b) lim
x →−`
f( x)
f( x)
x→
+ `
Y
f ( x )
X
c) lim
x → +`
d) lim
x →−`
g( x)
g( x)
x→
+ `
Y
g( x )
a) lim f( x)
=+ `
c) lim g( x)
=−`
b) lim f( x)
=−`
d) lim g( x)
=+ `
x→
−`
x→
−`
=
7
2 1
= = = 2
n−1 n−2
2 2
X
−( n−2)
427

428
límits i continuïtat de funcions
044 Troba aquests límits de funcions:
a) lim
x → +`
b) lim
x →−`
c) lim
x → +`
d) lim
x →−`
x
x
3
3
5
5
x
x
2
2
x→
+ `
e) lim
1
x → +` 4 x
f) lim
1
x →−` 4 x
g) lim
x → +`
h) lim
x →−`
5
x
x
i) lim
x → + `
j) lim
x →−`
k) lim
5 l) lim
5 a) lim x =+ `
g) lim 5
x→
−`
x→
+ `
x→
−`
x
x
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
x
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3 ⎠⎟
x 4
x → +`
2
x 4
x →−`
2
=+ `
5 x
b) lim x =−`
h) lim 5 = 0
c) lim
x→
+ `
d) lim
x→
−`
e) lim
3
3
x
x
1
x→ + ` 4 x
f) lim
1
x→ −`
4 x
2
2
=+ `
=+ `
= 0
= 0
045 calcula els límits de funcions següents:
a) lim
x → + `
b) lim
x →−`
c) lim
x → + `
d) lim
x →−`
e) lim
x → + `
f) lim
x →−`
2 x + 1
x − 3
2 x + 1
x − 3
x
x
2
3 x
2
3 x
+ 1
2
+ 1
2
1−
x
2
3x + 2x−1 1−
x
2
6
6
3x + 2x−1 g) lim
x → + `
h) lim
x →−`
i) lim
x → + `
j) lim
x →−`
k) lim
i) lim
x→
+ `
x
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
=
1
0
3
⎛ ⎞
j) lim ⎜
x→
− ⎝⎜
⎠⎟
=+
1
`
` 3
x 4
x→
+ `
2
k) lim
x 4
x→
−`
2
l) lim
1−
x
x
=+ `
=+ `
− x + 2x − 5
4
4 2
1−
x
− x + 2x − 5
2
4
4 2
x − 2x + 3
3 2
x −3x −5
2
x → + ` x −
l) lim
x − 2x + 3
3 2
x −3x −5
16
16
x →−` x −
2
2

a) lim
x→
+ `
b) lim
x→
−`
c) lim
x→
+ `
d) lim
x→
−`
e) lim
x→
+ `
f) lim
x→
−`
2 1
x +
x − =+ `
3
2 1
x +
x − =−`
3
2
x + 1 1
=
2 3 x 3
2
x + 1 1
=
2 3 x 3
6
− x
x + x − =−
1
`
2 3 2 1
6
− x
x + x − =−
1
`
2 3 2 1
x
046 considera la funció f( x)=
. calcula lim
2 x + 1 x
(Activitat de Selectivitat)
g) lim
x→
+ `
h) lim
x→
−`
i) lim
x→
+ `
j) lim
x→
−`
Solucionari
4
− x
− x + x − =
1
1
4 2 2 5
4
− x
− x + x − =
1
1
4 2 2 5
2
x − x +
x − x − =
2 3
0
3 2 3 5
2
x − x +
x − x − =
2 3
0
3 2 3 5
k) lim
x→ + x − =
16
0
` 2
l) lim
x→ − x − =
16
0
` 2
→ +`
f( x)
i lim
x →−`
x
lim
→ + x + =
x
0 lim
x→
− x + = 0
x
` 2 1
047 Troba el límit: lim
x →`
(Activitat de Selectivitat)
1
x
x + 1− x−1
lim lim
→+ x ( x + − x − ) →+
=
1
1 1
x ` x `
048 Determina els límits de funcions següents:
a) lim
x → + `
b) lim
x → + `
3 12
( x − x)
( x−0, 001x ) 2
x→
+ `
c) lim
x → + `
d) lim
x → + `
` 2 1
f( x).
x( x + 1) + x( x − 1)
= 1
2
2
( x + x) −( x − x )
06 ,
2 x−1
( 2x−3) 3 2 x−
1
a) lim ( x − 12 x)
=+ `
c) lim 06 , = 0
x→
+ `
x→
+ `
b) lim ( x − 0, 001x ) =−`
2 d) lim ( 2x− 3)
=+ `
x→
+ `
x
x
7
429

430
límits i continuïtat de funcions
049 resol els límits següents:
a) lim
x →−`
b) lim
x →−`
a) lim
( )
2 4
x− x − x
( )
2 4
x + x − x
x→
−`
b) lim
x→
−`
( 2 x − x −4
x )=−`
2
lim ( x + x −4x)=
lim
x→
−`
c) lim
x→
−`
lim
x→
−`
d) lim
x→
−`
lim
x→
−`
c) lim
x →−`
d) lim
2 ( x + x −4x)
→ − ` + `
⎛
⎜ 2 ⎞
⎜1+
⎝⎜
x ⎠⎟
1−
x
1−
x
⎛ 2 ⎞
⎜
⎜1+
⎜⎝
x ⎠⎟
=
⎛
⎜ 2 ⎞
⎜1−
⎝⎜
x ⎠⎟
050 calcula el límit: lim
1−
x
1−
x
⎛ 2 ⎞
⎜
⎜1−
⎜⎝
x ⎠⎟
=
x → + `
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
→ 1
`
x →−`
2 2
−x
2 ⎞
1
⎛
⎜ 1+
⎟
⎝⎜
⎟
x ⎠⎟
−x
2 ⎞
1
⎛
⎜ 1−
⎟
⎝⎜
⎟
x ⎠⎟
x − x + 4 x
x→−` 2 x→−`
2
x − x −4x
=
lim
⎛ ⎞
+ −
⎝⎜
⎠⎟
⋅ 1
−
2 1
x
e x
⎡
⎤
lim ⎢
( 1−
2 2
→ ` ⎢
x ) ⎥
− x
⎥ lim
⎣
⎦
x→
−`
x
→ 1
`
4 x
x − x −4x
−2
1
= e = e =
2 e
⎛ ⎞
− −
⎝⎜
⎠⎟
⋅ 1
−
2 1
x
e x
⎡
⎤
lim ⎢
( 1−
2 2
→ ` ⎢
x ) ⎥
−+ x
⎥ lim
⎣
⎦
x→
−`
x
2 x −2x −( x − 2)
x − 2
2 x −2x −( x − 2)
→ ` − `
x − 2
= e = e
2 2 2
lim
x→+ `
x −2x −( x − 2)
x −2x −( x − 2)
= lim
x − 2
x→+
` ( x − ( − + − ) =
2 2) x 2x ( x 2)
= lim
2x−4 = 0
x→
+ ` ( x −2) 2
2
x − 2x
+ ( x − 2 )
051 calcula el límit: lim
x → + `
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
x + 1− x−1
x + 2 − x−2
x + 1− x − 1
→ ` − `
x + 2 − x − 2
2
= 2

x + − x −
lim lim
→+ x + − x − →+
=
1 1
2 2
x ` x `
=
lim
Solucionari
( )
( ) =
( x + 1− x + 1) x + 2 + x − 2
( x + 2− x + 2) x + 1 + x −1
( )
( ) =
2 x + 2 + x − 2
4
+ 1 + − 1
x→
+ ` x x
⎛ 2 4
052
x
x x
Troba el límit: lim
⎜ + 1 2 + 3 ⎞
⎜ −
⎟
x → + `⎝⎜
x
2 x −1
⎠⎟
⎛ 2 4
x + x x
lim
⎜ 1 2 + 3 ⎞
⎜ −
→ ` − `
⎝⎜
x
2 x − 1 ⎠⎟
x→
+ `
⎛ x + x + x ⎞
lim
⎜ −
lim
→+ ⎝⎜
x x − ⎠⎟
→+
=
2 4 1 2 3
`
2 1
x x
053 Determina el límit: lim
054 calcula lim
x →−`
`
4 5 2
x −1−2x − 3 x
2
x( x − 1)
⎛ 3 2
2
⎜ x + 2x −3
2 x − x ⎞
⎜
+
⎟
⎝⎜
2 x − 2
x −1
⎠⎟
⎛ x + x − x − x ⎞
lim
⎜
+ →
→ − ⎝⎜
x −
x − ⎠⎟
−
3 2
2
2 3 2
` + `
` 2 2
1
x
⎛ x + x − x − x ⎞
lim
⎜
+
→ − ⎝⎜
x −
x − ⎠⎟
=
3 2
2
2 3 2
` 2 2
1
x
x → + `
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
=
=
lim
x→
−`
lim
x→
−`
1
2
=−`
4 3 2 4 3 2
x − x − x +
x − x − x + =−
3 6 3
`
3 2 2 2
7
x + x −2x − 3x + 3+ 2x − x − 4 x + 2x
=
2 ( x − 2)(
x − 1)
4 2
( 2 2 4 x + 1− 4 x − 3x+ 2 ) .
( 2 2
4 x + 1− 4 x − 3x+ 2 ) → ` − `
x→+ ` x→+
`
2 2
lim ( 2 4 x + 1− 2 4 x − 3x+ 2 )= lim
4 x + 1−( 4 x − 3x+
2)
=
2 4 x + 1 + 2 4 x − 3x+ 2
= lim
x→
+ `
3x−1 2 2
4 x + 1+ 4 x − 3x
+ 2
=
3
4
431

432
límits i continuïtat de funcions
055 calcula el límit lim
x → + `
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
( 2 x + 2 x − x ) .
( 2 x + 2 x − x ) → ` − `
2 lim ( x + 2 x − x )= lim
2 2
x + 2 x − x
=
x + 2 x + x
x→+ `
x→+
` 2 x→
+ ` 2
056 calcula el límit lim
x → + `
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
x + x − x
( x + x − x ) → ` − `
lim ( x + x − x )= lim
x→+ ` x→+
`
⎛
057 calcula: lim ⎜ 2 ⎞
⎜ 1+
⎟
x → + ⎝⎜
⎟
` x ⎠⎟
(Activitat de Selectivitat)
x→
+ `
x
x
x + x − x
x + x + x
⎛
lim ⎜ 2 ⎞
⎛
⎜1+
→ 1 ` lim ⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
⎜ +
x→
+ ⎝⎜
x ⎠⎟
=
1
`
058 Troba els límits següents:
a) lim
x → + `
⎛
⎜ 2+ 5x⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
1+ 5x⎠⎟
a) lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
b) lim
x→
+ `
x→
+ `
2 x−12
⎛
⎜ 2+ 5x⎞
⎜
⎝⎜
1+ 5x⎠⎟
⎛
⎜ 2+ 5x⎞
⎜
⎝⎜
1+ 5x⎠⎟
2x−12 ⎛ 2
⎜ x + 2x −3
⎞
⎜
⎝⎜
2 x + 3 x ⎠⎟
⎛ 2 x + x −
lim
⎜ 2 3 ⎞
⎜
⎝⎜
2 x + 3 x ⎠⎟
→ 1
`
b) lim
x → + `
lim
=
lim
x→
+ `
x lim
x
e x
⎛
⎞
+ −
→ + ⎝⎜
1 2 `
2 ⎞
1
⎜ ⎠⎟
⋅
⎡
⎤
⎢
x ⎥
⎣
⎦
⎛ 2
⎜ x + 2x−3 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
2 x + 3 x ⎠⎟
x
lim
e x
2 −12
2+
→ + ` +
=
−
⎡ ⎛ ⎞
⎢ 5 x
⎤
⎢ 1 ⋅( 2 x−12
) ⎥
⎝⎜
⎠⎟
⎥
⎣⎢
1 5x
⎦⎥
=
= e = e
2x+ 2
2x+ 2
2 x
= 1
x + 2 x + x
x
x + x + x
2 x+
2
( 2+ 5x−1−5x )( 2 x−12)
2 x−12
lim lim
x→+ ` 1+ 5x
x→+
` 1 5
→ 1
=
`
lim
e x
⎡ ⎛ 2 x + 2 x−3
⎞ ⎤
⎢
−1
⋅ ( 2 x+
2 ) ⎥
→ + ` 2 ⎝⎜
x + 3 x ⎠⎟
⎥
⎣⎢
⎦⎥
+ − − − +
+
= e + =
x
2 2
( x 2 x 3 x 3 x )( 2 x 2 )
lim
→ `
2 x x
=
2 x
lim
⎥
x→
+ = e ` x = e
2
5
+ x = e = e
2 −2 x −8 x−6
5
1
=
2
lim
3 x→
+ ` 2
e x + 3 x −2
1
= e =
2 e
2
2

059 calcula lim
x → + `
⎛
⎜ x + 5 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
x −1
⎠⎟
(Activitat de Selectivitat)
lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
⎛
⎜ x + 5 ⎞
⎜
⎝⎜
x − 1 ⎠⎟
⎛ x + 5 ⎞
⎜
⎝⎜
x − 1 ⎠⎟
060 calcula el límit: lim
2 x
x+
3
x → + `
2 x
x+
3
(Activitat de Selectivitat)
x→
+ `
lim
x→
+ `
061 calcula: lim
⎛ 3x+ 1⎞
⎜
⎝⎜
3 x − ⎠⎟
=
x
1
2 x
x+
3
.
→ 1
=
⎛
x
x
lim ⎜ 3 + 1⎞
⎜ → 1
⎝⎜
3x−1 ⎠⎟
x → + `
⎛ x
⎜ 2 − 8 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎠⎟
x+
2 1
(Activitat de Selectivitat)
`
+
− −
⎛ 5 ⎞
+ ⎝⎜
1 1
x
x
e x
lim
→ ` ⎠⎟
⋅ ⎡
2
⎢
x ⎤
⎥
⎢
⎥
⎣⎢
x+
3 ⎦⎥
2 6 x
lim
x→
+ ` 2 x + 2 x−3
6
= e = e
⎛
⎜ 3x+ 1 ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
3x−1 ⎠⎟
`
x
=
x+−+ x ⋅x
+ e x
2
( 5 1)
lim
→ ` ( x− 1)( x+
3)
+
+ − −
⎛ 3 1 ⎞⎟
⎝⎜
3 1 ⎠
1
x
x
e x
lim
→ `
⎟ ⋅
⎡
⎤
⎢
x ⎥
( 3 x+− 1 3 x+ 1)
⋅x
⎥ lim
⎣
⎦
x→
+ = ` 3 x−1
=
⎛ x
x
lim
⎜ 2 − 8 ⎞ ⎛
⎜ = lim
⎜ 2 2
⎜ −
→+ ` x+ x→+
x+
⎝⎜
1 2 ⎠⎟
` 1 ⎝⎜
2 2
x
3
e e
⎞ ⎛ 1 2
= lim
⎜ −
⎠⎟
→ `⎝⎜
2 2
x+ 1 x +
x
2
Solucionari
=
2 x 2
lim
x→
+ ` 3 x− 1 = e 3
⎞ 1
=
⎠⎟
2
062 Expressa les funcions següents com a funcions definides a trossos i, després,
troba’n els límits quan x tendeix a −` i a +`.
a) f( x)= x + 2 − x−2
b) f( x)= x− 3−2x c) f( x)=
2x+ 3
x − 2
x
d) f( x)=
x
− 3
1−
7
⎧⎪
−x −2−− ( x + 2) si x

434
límits i continuïtat de funcions
⎧ ⎪
3
⎪ x −( 3− 2x)
si x <
2
b) f( x)
= ⎨
⎪
⎪
3
⎪ x −− ( 3+ 2x)
si x ≥
⎩⎪
2
⎧ ⎪
3
⎪ 3x − 3 si x <
→ f( x)
= ⎨
⎪
2
⎪
3
⎪−
x + 3 si x ≥
⎩⎪
2
lim f( x) = lim ( 3x− 3 ) =−`
lim f( x) = lim ( − x + 3)
=−`
x→−` x→−`
x→+ ` x→+
`
x +
x −
x
c) f( x)=
−
x
x
x 2
x +
lim f x = lim
x→− x→−
x − =
2 3
( )
2
` ` 2
lim
x→+ f( x)
= lim
x→+
` `
x +
x − =
2 3
2
2
x
−
x
x
d) f( x)=
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
<
< <
−
⎧ ⎪
3
⎪ 1
⎪
3
⎨
⎪
⎪ 1
⎪ 3
⎪
⎩
⎪ 1−
si 1
si 1 3
si x ≥ 3
x
lim f x = lim −
x→− x→−
x
− ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
=
3
( )
1
` ` 1
x
lim f x = lim −
x→+ x→+
x
− ⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
=
3
( )
1
` ` 1
063 la representació següent és la gràfica de la funció f ( x ).
Dóna un valor aproximat a aquests límits.
a) lim f( x)
x → 1
b) lim
x → 0
f( x)
c) lim f( x)
x → 2
x→1
Y
2
d) lim f( x)
x → 3
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
x→2
2
f( x)
f( x)
a) lim f( x)
=− 09 ,
c) lim f( x)=
4
e) lim f( x)
=−`
x→0
x→3
f ( x )
X
x→
+ `
b) lim f( x)=
0
d) lim f( x)=−
1
f) lim f( x)
=−`
x→
−`

064 aquesta és la gràfica de la funció g ( x ).
Dóna un valor aproximat dels límits següents:
a) lim
x →−3
g( x)
b) lim g( x)
x → 0
x→
−3
c) lim g( x)
x → 1
d) lim g( x)
x → 2
x→1
Y
2
1
g( x )
X
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
Solucionari
g( x)
g( x)
x→
+ `
7
a) lim g( x)
= 07 , c) lim g( x)
=− 29 ,
e) lim g( x)
=+ `
b) lim g( x)=
0
d) lim g( x)=
0
f) lim g( x)
= 0
x→0
065 Si f( x)=
a) lim f( x)
x → 3
x→2
3 x
, calcula aquests límits.
2 x + 1
b) lim
x →−1
9 9 10
a) lim f( x)=
=
x→3
10 10
b) lim f x =
x→−
− 3 3 2
( ) =−
1 2 2
c) lim f( x)=
0
x→0
066 Donada f ( x ) = 2 ln x , determina:
a) lim f( x)
x→e a) lim f( x)=
2 = 2
x→e b) lim
x→
−5
negatius.
1
b) lim
x →−5
f( x)
f( x)
c) lim f( x)
x → 0
c) lim f( x)
x → 0
x→
−`
f( x)
no existeix perquè no podem calcular logaritmes de nombres
c) lim f( x)
no existeix perquè lim f( x)
= 0 i lim f( x)
no existeix.
x→0
+ x→0
x→0−
435

436
límits i continuïtat de funcions
6x−12 067 Si tenim la funció f( x)=
, quins seran els seus límits
2 x −3x−4 quan x tendeixi a 0, −1, 1 i 4?
lim
x→0
2
6x−12−18 lim
= = `
→ −1 2 x −3x − 4 0
x
6x−12 3
x −3x − 4
=
lim f( x)
=−`
⎫ ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→
−1
⎪
⎭⎪
− −1
→ → x
+ x→
−1
6x−12 lim
1
x→1
2 x −3x − 4
6x12 12
lim
x→
4 2 x 3x 4 0
=
lim f( x)
=−`
⎫⎪
−
−
⎪
x→
4
= =`→
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
− − lim f( x)
=+ ` ⎪
x→4
⎪
+ x→
4
⎭⎪
2 068 considera la funció g( x) = log ( x −4
) . Determina’n els límits quan x
tendeixi a 5, −5, −2 i 1.
2
lim log( x − 4) = log 21= 132 , lim log ( x − 4 ) =
x→5x→−5 lim log( x − 4) = log 0 →
x→
−2
−
2 x→
−2
lim log( x − ) no existeix.
x→1
2 4
x→
−2
+
2
log 21= 132 ,
lim g( x)
=−`
⎫ ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim
lim g( x)no existeix ⎪
x
⎪
⎭⎪
069 Si sabem que lim m( x)=
4 , lim n( x)=
0 i lim p( x)=+`,
calcula,
x → 5
x → 5
x → 5
si és possible, el límit quan x tendeixi a 5 de les funcions.
a) m( x) + n( x) + p( x)
d)
b) m( x) ⋅ n( x) − p( x)
e)
n( x)
m( x)
m( x)
n( x)
p( x)
g)
m( x)
n( x)
h)
p( x)
→−2
g( x).
j) ( m( x)
)
k) ( n( x)
)
n( x )
c) m( x) ⋅ p( x)
f) n( x) ⋅ p( x)
i) ( m( x)
) l) ( p( x)
)
a) lim [ m( x) + n( x) + p( x)]
=+`
x→5
b) lim [ m( x) ⋅ n( x) − p( x)]
=−`
x→5
c) lim [ m( x) ⋅ p( x)]
=+`
x→5
⎡ n( x)
⎤
d) lim ⎢ ⎥ 0
x→5
⎣
⎢ m( x)
⎦
⎥ =
⎡ m( x)
⎤ 4
e) lim ⎢ ⎥ =
x→5
⎣
⎢ n( x)
⎦
⎥
→ No podem calcular el límit.
0
p( x )
p( x )
n( x )

f) lim [ n( x) ⋅ p( x)]
→ 0 ⋅+` Indeterminació
x→5
⎡ p( x)
⎤
g) lim ⎢ ⎥
x→5
⎢
⎣ m( x)
⎥
⎦
=+` p x
j) lim [( m( x))
]
x→5
⎡ n( x)
⎤
h) lim ⎢ ⎥ = 0
p x
x→5
⎢
⎣ p( x)
⎥
k) lim [( n( x))
]
⎦
x→5
( ) =+`
( ) =
n( x ) 0
n x
i) lim [( m( x))
] = 4 = 1 l) lim [ p x ] →
x→5
070 Si h( x)
=
ln x
1 , calcula’n el límit en els punts 6, −5, 1 i 0.
1 1
1
lim = = 056 ,
lim
x→6 ln x ln 6
ln
Solucionari
0
7
0
( ( ))
x→5
( ) +` Indeterminació
x→−5 x
no existeix.
lim h( x)
=−`
⎫⎪
1 1
−
⎪
x→1
lim = = ` →
⎬
⎪ → No existeix lim h( x).
x→1
ln x 0 lim h( x)
=+ ` ⎪
x→1
⎪
+ x→1
⎭⎪
1
lim
x→0
ln x
=
1
ln 0
lim h( x)
no existeix ⎫⎪
−
⎪
x→0
→
⎪
⎬ → No existeix lim h( x).
lim h( x)
= 0 ⎪
x→0
+
⎪
x→0
⎭⎪
071 observa la gràfica i determina els límits següents:
a)
b)
c)
Y
Y
2
2
Y
2
2
2
f ( x )
1
g( x )
h( x )
X
X
X
lim
x →−`
lim
−
x →−2
lim
+
x →−2
lim
x → + `
f( x)
f( x)
f( x)
f
( x )
lim g( x) lim g( x)
x→− ` x→+
`
lim g( x) lim g(
x )
− +
x→−2 x→−2
lim g( x) lim g( x)
− +
x→1 x→1
lim
x →−`
lim
−
x →−2
lim
+
x →−2
lim
x → + `
h( x)
h( x)
h( x)
h
( x )
d)
Y
1
1
m( x )
X
lim
→−`
m( x)
lim m( x)
x
− x → 1
lim
+ x → 1
x → + `
m( x)
lim m( x)
437

438
límits i continuïtat de funcions
a) lim f( x) = 1
lim f( x)
=+ `
x→ −` + x→
−2
lim
− x→
−2
f( x)
= − `
lim f( x)
= 1
x→
+ `
b) lim g( x) = 0
lim g( x) =+ `
lim g( x)
=−`
x→ −` + +
x→−2 x→1
lim g( x) =− ` lim g( x) =+ `
lim g( x)
= 0
− −
x→− 2 x→1 x→
+ `
c) lim h( x) =− ` lim h( x)
=+ `
x→ −` + x→−2
lim
− x→
−2
h( x)
=− ` lim ( x ) =+ `
x→
+ `
d) lim m( x) =− ` lim m( x)
=+ `
x→ −`
+ x→1
lim m( x)
=+ ` lim m( x)
=+ `
− x→1
x→
+ `
072 observa la gràfica de la funció f ( x ), i calcula els límits:
a) lim f( x)
x → 1
b) lim
x → 4− c) lim
x → 4 +
f( x)
f( x)
Y
1
1
a) lim f( x)=−
1
b) lim f( x)
= 3
c) lim f( x)
= 5
x→1
073 aquesta és la gràfica de la funció p ( x ).
Determina els límits següents:
a) lim p( x)
x → 0
b) lim p( x)
x →− − 1
x→0
c) lim
x →− + 1
d) lim
x → 1− − x→4
Y
1
p( x)
p( x)
x→
− + 1
1
f ( x )
p( x )
X
X
e) lim
x → 1 +
f) lim
x → +`
+ x→4
p( x)
p( x)
a) lim p( x)=
0
c) lim p( x)
=+ ` e) lim p( x)
=−`
x→
− − 1
x→1−
x→1
+
b) lim p( x)
=−`
d) lim p( x)
=+ ` f) lim p( x)
=+ `
x→
+ `

074 resol aquests límits:
2
x − 2x + 1
a) lim lim
x→2x−3x→2 − +
2
x − 2x + 1
b) lim lim
x→3x−3x→3 − +
2
x − 2x + 1
c) lim lim
x→3 2 x − 9
x→3
− +
2
x + x−6
d) lim lim
x→2 3 2 x − x − 8x+ 12
x→2
− +
2
x − 2x + 1
a) lim =−1
lim
x→2x−3x→2 − +
2
2
x − 2x + 1
2
x − 3
x − 2x + 1
2
x − 3
x − 2x + 1
3
x
2
− 9
2
x + x−6
x − x2−
8x+ 12
2
x − 2x + 1
=−1
x − 3
x − 2x + 1
x − 2x + 1
b) lim =−`
lim
=+ `
− +
x→3x−3x→3x−3 2
x − 2x + 1
x − 2x + 1
c) lim =−`
lim
=+ `
− x→3 2
+
x
x→3
2
− 9
x − 9
2
2
2
Solucionari
x + x −6
( x − 2)( x + 3)
d) lim = lim
− x→2 3 2
−
x − x − 8x+ 12x→2(
x − ) ( x + ) x x
=
− =−
1
lim `
2
−
2 3 →2
2
lim
+ x→2
075 calcula lim
− x → 1
x
3
2
2
x + x −6
=
− − +
− =+
1
lim `
2
+
x 8x 12x→2
x 2
x − 3x + 2
2 x − 2x + 1
.
(Activitat de Selectivitat)
2
x − 3x + 2
x 2 x 1
lim lim
− x→1 2
−
x − 2x + 1 x→1x1
=
( − )( − )
( − ) 2
− 2
=
1 − 1
=+
x
lim `
− x→
x
076 Determina els límits següents i, en cas que siguin infinit,
troba’n els límits laterals.
2
x − x−2
a) lim lim
x→22x −3x−2x→ 2 −1
3 2
x + 5x + 6x
b) lim lim
x→−2x + x −8x−12x→− c) lim
3 2 3
3 2
3x − 18x + 27x
x→12x→3 5x − 20x + 15
lim
2
x − x−2
2
2x −3x−2 3 2
x + 5 x + 6 x
3 2
x + x −8x−12 3
3x −18x
2
2
+ 27 x
5x − 20x + 15
7
439

3 2
440
límits i continuïtat de funcions
3x − 18x + 27x
=+ `
2 5x − 20x + 15
2
a)
x − x −2
x 2 x 1
lim lim
x→22 2x −3x − 2 x→2x2
=
( − )( + )
x 1 3
( − )( 2x+ 1)
x 2 2x1 5
2 x x 2
x 1 2 2x3 =
+
+ =
lim
→
− −
lim
→− − x − =
2
0
x + x + x
x x
b) lim lim
x→− x + x − x − x→−
=
3 2 5 6
( + 2)(
x + )
=
2 3 2 8 12
2 ( x − )( x + )
− 3 2
= `
2 3 2 0
lim
x→−3
3 2
x + x + x
lim lim
→− x + x − x − →−
=
5 6
2
3 2 8 12
2
− −
x x
3 2
x + x + x
lim lim
→− x + x − x − →−
=
5 6
2
3 2 8 12
2
+ +
x x
3 2
x + x + x
x + x − x − =
5 6
0
3 2 8 12
3 2
3x − 18x + 27x12
c) lim
= = `
x→1
2 5x − 20x + 15 0
3 2
x( x + 3)
( x − )( x + )
=−`
3 2
x( x + 3)
( x − )( x + )
=+ `
3 2
3x − 18x + 27x
3 x − 18 x + 27x
lim =+ ` lim
=−`
− x→1 2
+
5x − 20x + 15
x→1
2 5x − 20x + 15
+ x→1
3
2
3 x − 18 x + 27x
lim
=−`
2 5x − 20x + 15
3 2
3x − 18x + 27x
2
3x( x − 3)
3x( x 3)
lim = lim
0
x→32 5x − 20x + 15 x→35(
x −1)( x − 3)
x 3 5( x 1)
=
−
lim =
→ −
077 considera la funció f( x)=
(Activitat de Selectivitat)
x
. calcula lim f( x),
lim
x −1
x → 1 x
lim
x→1
2
x 1
= = ` →
x − 1 0
2
lim
− x→1
lim
+ x→1
→ +`
3
f( x)
i lim
2
x →−`
2 x
x − 1
2
x
x
=−
⎫⎪
` ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
⎪
x→1
=+
⎪
` ⎪
− 1
⎪
⎭⎪
2 2
x
x
lim lim
→+ x − →−
x
=+
− =−
` `
` 1 ` 1
x x
078 Troba els resultats d’aquests límits:
a) lim
x → 0 3
b) lim
x → 0
3
x
x
x
x
c) lim
x → 2 3 2
d) lim
x → 2
x − 2
x − 3x + 2
x − 2
x − 4
e) lim
x → 4
f) lim
x → 9
f( x).
x − 2
x − 4
x − 9
x −
3

x
6
a) lim = lim x = 0
x→03 x x→0
lim
3
x 1 1
x→0
b) lim = lim = = ` →
x→0xx→06 x 0
lim
− 6
+ x→0 6
x
x − 2
x − 2
c) lim = lim li
x→232x→23 x − 3x + 2
x −2 x − 1
= m
( )( ) x→2
d) lim
x→2
x − 2
=−
x − 4
2 − 2
2
Solucionari
7
1
⎫⎪
no existeix ⎪
x
⎬
⎪ → No existeix lim
1
⎪
=+ `
⎪
⎭⎪
6
3
x − 2
0
x − 1
=
x − 2
x − 4
1
e) lim = lim lim
x→4 x − 4 x→4 x − 4 x + 2 x→
4 x
=
( )( ) + =
1
2 4
x − 9
x 9 x 3
f) lim lim lim x
x→9 x − 3 x→9 x 9
x→9
=
( − )( + )
= ( + 3) = 6
−
3 2
x + 11x + 31x + 21
079 Si f( x)=
, determina:
3 2
x + 7 x
a) lim f( x)
x → 3
b) lim
x →−7
f( x)
a) lim
x→3
3 2
c) lim
x →−3
f( x)
d) lim f( x)
x → 0
x + 11x + 31x + 21 240 8
= =
3 2 x + 7x
90 3
3 2
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
x + 11x + 31x + 21 ( x + 1)(
x + 3)( x + 7)
b) lim = lim
=
x→−73 2 x + 7 x
x→−72
x ( x + 7 )
c) lim
x→
−3
d) lim
x→0
e) lim
x→
+ `
f) lim
x→
−`
3 2
=
x + 11x + 31x + 21
= 0
3 2 x + 7 x
( x + 1)( x + 3) 24
lim
=
2 x
49
x→
−7
f( x)
f( x)
1 .
x→0 6
x
3 2
lim f ( x ) =+ ` ⎫⎪
x + 11x + 31x + 21 21
−
⎪
x→0
= = ` →
⎬
⎪ → lim f( x)
=+`
3 2 x + 7x
0
lim f( x)
=+ ` ⎪ x→0
⎪
+ x→0
⎭⎪
3 2
x + 11x + 31x + 21
= 1
3 2 x + 7x
3 2
x + 11x + 31x + 21
= 1
3 2 x + 7x
441

442
límits i continuïtat de funcions
3 2
x + 6x + 9x
080 Si f( x)=
, calcula:
2 x + 10 x + 21
a) lim f( x)
x → 3
b) lim
x →−7
f( x)
c) lim
x →−3
f( x)
d) lim f( x)
x → 0
3 2 x + 6x + 9x108
9
a) lim
= =
x→3
2 x + 10 x + 21 60 5
2
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
3 2 x + 6x + 9x
x( x + 3)
b) lim = lim
x→−72 x + 10 x + 21 x→−7(
x + x + = lim
3)( 7)
3 2 x + 6x + 9x
x( x + 3)
c) lim = lim
x→−32 x + 10 x + 21 x→−3x+
7
3 2
x + 6x + 9x
d) lim
= 0
x→0
2 x + 10 x + 21
e) lim
x→
+ `
f) lim
x→
−`
3 2
x + 6x + 9x
=+ `
2 x + 10 x + 21
3 2
x + 6x + 9x
=−`
2 x + 10 x + 21
x→
−7
f( x)
f( x)
x( x + 3)
28
= = `
x + 7 0
f
x − −
lim ( x ) =− ⎫ ⎪
→ 7
→
⎬
⎪
f( x)
=+ ⎪
x − ⎭⎪
+
`
→ No existeix lim f( x).
lim `
x→−7
→ 7
= 0
081 considera la funció f( x)
=
(Activitat de Selectivitat)
x
. calcula lim f( x)
i lim
2 ( x −1) x → 1
x
x
lim
x→1
( x − 1)
2
x
lim
→ + ` ( x − 1)
x
1
= = ` →
0
2
3 2
= 0
082 calcula lim
x → 0
x − 8x + 7x
.
2 x − x
(Activitat de Selectivitat)
3 2
lim
− x→1
lim
+ x→1
x
2
( x − 1)
x
( x − )
1 2
⎫⎪
=+ ` ⎪
⎬
⎪
⎪
=+ `
⎪
⎭⎪
→ +`
f( x).
lim f( x)
=+ `
→
x→1
x − 8x + 7x x( x −1)( x −7)
lim = lim
= lim ( x − 7) =−7
x→02 x − x
x→0x(
x − 1)
x→0

083 considera la funció f( x)=
(Activitat de Selectivitat)
x
. calcula lim f( x),
lim f( x)
i lim
2 x −1
x →−1 x → 1
x
lim
x
x→
−1
2
lim
x
x→1
2
x 1
= = ` →
− 1 0
x 1
= = ` →
− 1 0
x
lim
→ + x − = 0
x
` 2 1
lim
− x→
−1
lim
+ x→
−1
lim
− x→1
lim
+ x→1
Solucionari
→ +`
f( x).
x
x −
x
=−`
2
1
f x
x 1
2 x − 1
=+
⎫ ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim ( ).
⎪
→−
`
⎪
⎭⎪
x
2 x − 1
x
2 x
=−
⎫⎪
` ⎪
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
⎪
x→1
=+ `
⎪
− 1
⎪
⎭⎪
084 Sigui f( x)=
2 12
− . calcula el límit de la funció quan x tendeix a −3.
x − 3 2 x − 9
(Activitat de Selectivitat)
x
lim lim
x→− x − x
x→−
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
=
2
2 12
2 − 12x+ x
3 3 2 9
3 x − x − x x x
=
−
− + =
2
18
2( 3)
lim
2 3 9 −3
2
( )( ) → ( 3) ( 3)
=
lim
x→
−3
085 calcula lim ( 2x+ 1)
x .
x → 0
(Activitat de Selectivitat)
1
1
+ = =
2 2
` →
x 3 0
− x→
−3
+ x→
−3
lim x x
lim x x e x
( 2 + 1) → 1`( 2 + 1)
=
x→0x→0
2
086 calcula lim ( cos x ) sin x .
x → 0
(Activitat de Selectivitat)
2
lim( cos x ) sin x → 1`
x→0
1
1
2
lim cos sin x
x→0
2
( x) = e sin x = e
x→0
1
= e
7
lim f( x)
=−`
⎫ ⎪
⎬
⎪
f( x).
lim f ( x ) =+ ` ⎪
x −
⎪
⎭⎪
→ No existeix lim
→ 3
1
⎡
lim ⎢
1 ⎤
( 2x+ 1−1)⋅⎥
2 x
→0
⎢
lim
⎣
x ⎦
x→0
x
1
lim ( cos x −1) ⋅ lim cos
lim
sin
cos
x −1
x −1
x→0
2 x→0
2
x
1−
cos x
= e =
cos x −1
−1
lim
lim
−
x→0( 1− cos x)( 1+
cos x) x→01+
cos x = e
e
1
2
1
= = =
e
⎥
= e = e
e
e
2
443

444
límits i continuïtat de funcions
⎛ 2 x −
087 calcula el límit d’aquesta funció si x → +`: f( x)=
⎜ 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎜
2 ⎟
1+
x ⎠⎟
lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
⎛ 2
⎜ x − 2 ⎞
⎜
⎝⎜
2 1+
x ⎠⎟
x+
2
x+
2
→ 1
⎛ x − ⎞
⎜
⎝⎜
+ x ⎠⎟
=
2 2
2 1
= e
088 calcula lim
x → 0
4+ x −
4 x
4−
x
.
(Activitat de Selectivitat)
089 calcula lim
`
x+
2
x
lim
e x
2 −2
1 2
→ + ` 2 1+
−
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
2 2
⎢
⋅ + ⎥
( x −−− 2 1 x )( x+
2 )
⎢
( x )
⎝⎜
⎠⎟
⎥ lim
⎣⎢
x
⎦⎥
x→
+ `
2 1+
x
= e
−3 x−6
lim
x→
+ ` 2 1+ x 0 = e = 1
4+ x − 4−
x
4+ x −( 4−x)
lim = lim
x→0 4 x
x→0
4 x 4+ x + 4 − x
x → 0
( ) =
=
( + + − ) =
2 x
1
lim lim
x→0 4 x 4 x 4 x x→0
2 4+ x + 4 − x
2
1− 1−
x
.
2 x
(Activitat de Selectivitat)
2
1− 1− x
1− 1−
x
lim = lim lim
x→02 x
x→02
2
x ( 1+ 1−
x ) =
( )
x
x→0
x 1+ 1−
x
x
090 Si saps que lim
x → 0 sin x
a) lim tg x
x → 0 x
b) lim
x → 0
1− cos
x
2
2
x
= lim
1
1+ 1−
x
x→0
2
= 1 , troba:
c) lim
x → 0
d) lim
x → 0
2
1
=
2
1− cos x
x
2
1− cos x
a) lim tg
lim sin
lim
cos
sin
x
x ⎛ x 1 ⎞
= = ⎜ ⋅ = 1
x→0 x x→0 x x x→0⎝⎜
x cos
x ⎠⎟
x
=
( ) =
2
( ) =
2 2
cos
b) lim
lim sin
lim sin
2
2
1− x
x ⎛ x ⎞
= = ⎜ ⋅
x→02 x
x→02 x
x→0⎝⎜
x ⎠⎟
=
sin x
1
x
1
8

Solucionari
cos
cos cos
2
1− x ( 1− x)( 1+
x)
1−
cos x
c) lim = lim
= lim
=
x→02 x
x→02
x ( 1+
cos x ) x→0
2
x ( 1+
cos x)
2
sin x ⎛ 2 x 1 ⎞
= lim
= lim
⎜ ⋅
⎟
x→0
2 x x x 0 2
( 1+
cos ) ⎝⎜
x 1+
x ⎠
sin
1
=
→
cos ⎟ 2
cos
cos cos
2
1−x( 1− x)( 1+
x)
1−
cos x
d) lim = lim
= lim
=
x→0 x
x→0
x ( 1+
cos
x ) x→0
x( 1+
cos x )
2 sin x ⎛
= lim
= ⎜ sin x sin x ⎞
lim ⎜ ⋅ = 0
x→0
x ( 1+ cos x ) x→0⎝⎜
x 1+
cos x ⎠ ⎟
⎧⎪
2
⎪ x − 1 si x < 3
091 Si g( x)=
⎪
⎨
⎪
3
, determina els límits:
⎪ si x ≥ 3
⎩⎪
x + 5
a) lim
x →−1
b) lim
x →−5
g( x)
g( x)
c) lim g( x)
x → 3
d) lim g( x)
x → 6
2 a) lim g( x) = lim ( x − 1) = 0
x→−1 x→−1
2 b) lim g( x) = lim ( x − 1) = 24
c)
x→−5 x→−1
e) lim
x → +`
f) lim
x →−`
g( x)
g( x)
7
2
lim g( x) = lim ( x − 1) = 8
− −
x→3 x→3
3 3
→ lim g x lim
−
lim g( x)
= lim
x→3 x→3
+
+
x→3
x→3
x + 5 8
=
⎫ ⎪
⎬ ( ) ≠ g( x) → No existeix lim g( x).
⎪
+
x→3
⎪
⎭⎪
3 3
d) lim g( x)=
lim
x→6 x→6
x + 5 11
=
e) lim g( x)
= lim
x→+ ` x→+
`
x + =
3
0
5
f) lim g( x) = lim ( x − ) =+ `
x→−` x→−`
2 1
⎧ ⎪
4
⎪
si x 3
a) lim
x →−5
h( x)
b) lim h( x)
x → 2
c) lim h( x)
x → 5
d) lim
x →−2
h( x)
e) lim h( x)
x → 3
f) lim
x → +`
h( x)
445

446
límits i continuïtat de funcions
a) lim h( x)
= lim
x→−5 x→−5
x − =−
4 4
2 7
2 b) lim h( x) = lim ( x + 4 x + 4) = 16
x→2 x→2
c) lim h( x)
= lim ( 2 + 9) = 73
d)
e)
x→5 x→5
lim h( x)
= lim
lim
x+
1
− −
x→−2 x→−2
+ x→
−2
h( x)
=
lim
+ x→
−2
x − =−
4
⎫⎪
1 ⎪
2
⎬
⎪→
lim h( x)
≠ lim h( x)
⎪
−
+
2 x→
−
x + x + = ⎪
2
x→
−2
( 4 4) 0 ⎪
⎭⎪
→ No existeix lim h( x).
x→−2
2
lim h( x) = lim ( x + 4 x + 4) = 25 ⎫ ⎪
− −
→3 →3
⎬
⎪→
lim h( x)
= lim h( x)
x+
1
lim h( x)
= ( + ) = ⎪
−
+
lim 2 9 25 ⎪ x→3
x→3
+
+
→3
x→3
⎭⎪
→ lim h( x)
= 25
x x
x
f) lim h( x)
= lim ( 2 + 9)
=+ `
x→+ ` x→+
`
x+
1
x→3
093 Dibuixa la gràfica aproximada d’una función que verifiqui simultàniament
les condicions següents:
lim f( x)=
2
x → 3
lim
x → + `
f( x)
=−`
lim
x →−1
lim
x →−`
Resposta oberta. Per exemple:
Y
1
1
f( x)
= 0
f( x)
= 0
094 Decideix si les funcions següents són contínues en els punts que s’indiquen.
Si no ho són, determina el tipus de discontinuïtat que presenten.
a) En x = 0 i x = 2. b) En x = 0 i x = 2.
Y
1
1
f ( x )
X
X
Y
1
1
f ( x )
X

c) En x = 1. e) En x = −2 i x = 2.
Y
Y
−1
1
f ( x )
X
d) En x = −1 i x = 2. f) En x = 1.
Y
Y
f ( x )
1
1
X
1
1 1
1
f ( x )
f ( x )
a) • f( 0) = 0 = lim f( x) → La funció és contínua en x = 0.
x→0
• f( 2) = 4=
lim f( x) → La funció és contínua en x = 2.
x→2
b) • No existeix f ( 0 ).
lim f( x) = lim f( x) = 05 , → Existeix lim f ( x ) = 05 , .
− +
x→0 x→0 x→0
Solucionari
La funció no és contínua en x = 0, té una discontinuïtat evitable.
• f( 2) = 2, 5= lim f( x) → La funció és contínua en x = 2.
x→2
c) No existeix f ( 1 ).
lim f( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→1
⎪
⎬ → lim f( x) ≠ lim f( x) → No existeix lim f( x).
lim f( x)
= 3 ⎪
− +
⎪ x→1
x→1
x→1
+ x→1
⎭⎪
La funció no és contínua en x = 1, té una discontinuïtat de salt finit.
d) • f( − 1) = 1=
lim f( x ) → La funció és contínua en x =−1.
• f ( 2) = 15 ,
x→−1
lim f( x) = lim f( x) = 25 , → Existeix lim f ( x ) = 25 , .
− +
x→2 x→2 x→2
f( 2)
≠ lim f( x ) → La funció no és contínua en x = 2, té una
x→2
discontinuïtat evitable.
e) • No existeix f ( −2 ).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
− ⎪
x→
−2
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→−2
⎪
+ x→
−2
⎭⎪
La funció no és contínua en x = −2, té una discontinuïtat de salt infinit.
X
X
7
447

448
límits i continuïtat de funcions
f)
• f ( 2) = 3
lim f( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→2
⎬
⎪ → lim f( x) ≠ lim f( x)
→ No existeix lim f( x).
lim f( x)
= 3 ⎪
− +
⎪ x→2 x→2 x→2
+ x→2
⎭⎪
La funció no és contínua en x = 2, té una discontinuïtat de salt finit.
f ( 1) =−1
lim f( x)
= 2 ⎫⎪
− ⎪
x→1
⎬
⎪ → lim f( x) ≠ lim f( x)
→ No existeix lim f( x).
lim f( x)
= 5 ⎪
− +
⎪ x→1 x→1 x→1
+ x→1
⎭⎪
La funció no és contínua en x = 1, té una discontinuïtat de salt finit.
095 Estudia la continuïtat de les funcions següents:
2 a) y = x − 5x+ 6 d) y = 4 − x
1
b) y =
2 x − 5x + 6
e) y = ln x
c) y = x − 2 4 f) y = log( 2 − x)
a) La funció és polinòmica; per tant, és contínua en R.
⎧
2 x = 2
b) x − 5x + 6 = 0 → ⎨
⎪
⎩
⎪ x = 3
Domini = R − {2, 3}
• No existeix f ( 2 ).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
−
⎪
→2
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→2
⎪
+ →2
⎭⎪
x
x
• No existeix f ( 3 ).
lim f( x)
=−`
⎫⎪
−
⎪
→3
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→3
⎪
+ →3
⎭⎪
x
x
La funció és contínua en R −{2, 3}, té discontinuïtats de salt infinit
en x = 2 i en x = 3.
⎧
2 x ≥ 2
c) x −4 ≥ 0 → ( x + 2)( x −2) ≥ 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x ≤−2
La funció està definida en (−`, −2] ∪ [2, +`), per tant, és contínua
en (−`, −2) ∪ (2, +`).
2
d) 4− x ≥ 0 → ( 2+ x)( 2− x) ≥ 0 → −2≤ x ≤ 2
La funció està definida en [−2, 2], per tant, és contínua en (−2, 2).
2

e) No existeix f ( 0 ).
lim f( x)
=−`
⎫⎪
− ⎪
→0
⎬
⎪ → lim f( x)=−`
lim f( x)
=−`⎪
x→0
⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
Solucionari
La funció és contínua en R − {0}, té una discontinuïtat de salt infinit
en x = 0.
f) 2− x > 0 → x < 2
La funció està definida en (−`, 2), per tant, és contínua en (−`, 2).
096 En quins punts presenten una discontinuïtat aquestes funcions? De quin tipus són?
5
a) y =
x − 2
6 x
b) y =
2 x − 2x + 3
3x−6 c) y =
2 x − 2x + 1
a) No existeix f ( 2 ).
2x+ 2
d) y =
2 x −2x−3 x − x
e) y =
2 2x + 4 x−6
2
2x + 4 x + 6
f) y =
2 x − x
lim f( x)
=−`
⎫⎪
−
⎪
→2
⎬
⎪ → No existeix lim f( x)
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→2
⎪
+ →2
⎭⎪
x
x
La funció té una discontinuïtat de salt infinit en x = 2.
2
7
2 b) x − 2x + 3≠ 0 per a qualsevol valor de x; per tant, no hi ha punts de discontinuïtat.
c)
2
x − 2x + 1= 0 → x = 1
lim f( x)
=−`
⎫⎪
− ⎪
x→1
⎬
⎪ → lim f( x)
=−`
lim f( x)
=−`⎪
x→1
⎪
+ x→1
⎭⎪
La funció té una discontinuïtat de salt infinit en x = 1.
⎧
2 x =−1
d) x −2x − 3= 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 3
• No existeix f ( −1 ).
x +
lim f x = lim
x→− x→− x + x −
lim
x→
−
=
2( 1)
( )
1 1 ( 1)( 3)
2
1 x − 3
1
2
=−
• No existeix f ( 3 ).
lim f( x)
=−`
⎫⎪
−
⎪
x→3
⎬
⎪ → No existeix lim f( x)
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→3
⎪
+ x→3
⎭⎪
La funció és contínua en R − {−1, 3}, té una discontinuïtat evitable
en x = −1 i una discontinuïtat de salt infinit en x = 3.
449

450
límits i continuïtat de funcions
⎧
2
x =−3
e) 2x + 4 x − 6 = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 1
• No existeix f ( −3 ).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
−
⎪
x→
−3
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→−3
⎪
+ x→
−3
⎭⎪
• No existeix f ( 1 ).
x( x − 1)
lim f( x)
= lim
x→1 x→1 2( x − 1)( x + 3) x
lim
x→1
2
=
( x + )
=
3
1
8
La funció és contínua en R − {−3, 1}, té una discontinuïtat evitable
en x = −3 i una discontinuïtat evitable en x = 1.
⎧
2 x = 0
f) x − x = 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ x = 1
• No existeix f ( 0 ).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
−
⎪
x→0
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→0
⎪
+ x→0
⎭⎪
• No existeix f ( 1 ).
lim f( x)
=−`
⎫⎪
− ⎪
x→1
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=+ ` ⎪
x→1
⎪
+ x→1
⎭⎪
La funció és contínua en R − {0, 1}, té discontinuïtats de salt infinit
en x = 0 i en x = 1.
2 12
097 Sigui f( x)=
− . comprova si la funció és contínua en x = 3.
x − 3 2 x − 9
(Activitat de Selectivitat)
No existeix f ( 3 ).
2
2 12
2x 12x
lim lim
x→3x−32 x 9 x→3
−
⎛
⎞
⎜
⎝⎜
− ⎠⎟
=
2
− +18
2( x 3)
2 3 9
3
2
( x − )( x − ) x ( x 3) ( x 3)
=
−
− + =
lim
→
= lim
x→3 x
2 1
+ 3 3
=
La funció no és contínua en x = 3, té una discontinuïtat evitable.
x x − −
3 3
098 Si f( x)=
e e
4 x
definida f ( x ).
(Activitat de Selectivitat)
, indica de manera raonada en quin valor x = a no està
La funció no està definida per als valors que anul·len el denominador,
és a dir, per a x = 0.

Solucionari
099 la funció f( x)=
x + 1−1 no está definida per a x = 0. Defineix f (0) de manera
x
que f ( x ) sigui una funció contínua en aquest punt.
(Activitat de Selectivitat)
x + 1− 1 x + 1−1 x
lim = lim lim
x→0 x
x→0 x( x + 1 + 1)
x→0
x x
=
+ 1 + 1
1 1
=
0 + 1 + 1 2
=
lim
x→ x
⎧ ⎪ x + 1−1 ⎪
La funció és contínua si: f( x)=
⎨
⎪ x
⎪ 1
⎪
⎩
⎪ 2
( ) =
si x ≠ 0
si x = 0
x −1
100 Estudia la continuïtat de la funció f( x)=
i classifica’n els diferents
2
tipus de discontinuïtat.
x + 3x + 2
(Activitat de Selectivitat)
⎧
2 x =−2
x + 3x + 2= 0 → ⎨
⎪
⎩
⎪ x =−1
• No existeix f ( −2 ).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
−
⎪
x→
−2
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→−2
⎪
+ x→
−2
⎭⎪
• No existeix f ( −1 ).
x + x −
lim f x = lim lim
x→− x→−
x + x + =
( 1)( 1)
x −
( )
1 1 ( 1)( 2)
x→−
x + =−
1
2
1 2
La funció és contínua en R − {−2, −1}, té una discontinuïtat de salt infinit
en x = −2 i una discontinuïtat evitable en x = −1.
( 2x− 1)( x + 2)
101 Quines són les diferències entre les funcions y = 2x − 1 i y =
.
Són contínues les dues funcions?
x + 2
Si tenen alguna discontinuïtat, decideix de quin tipus és.
Escriu, si és possible, la segona funció com a funció definida a trossos a partir
de la primera.
Les funcions tenen la mateixa gràfica excepte en el punt x = −2. La primera
és una recta i és contínua; la segona està formada per dues semirectes
i no és contínua en aquest punt.
( 2x − 1)( x + 2 )
lim = lim ( 2x− 1) =−5
→−2 x + 2
→−2
x x
La discontinuïtat de la segona funció en x = −2 és evitable.
Així, doncs, la segona funció és: f( x)= 2x −1 si
x ≠−2
2
7
451

452
límits i continuïtat de funcions
102 Estudia la continuïtat en x = −1 i x = 2 de la funció:
⎧ ⎪
3x− 2
f( x)
= ⎪ 2 ⎨ x + 4 x−1 ⎪
⎩⎪
11+ ln ( x−1) classifica els tipus de discontinuïtat.
si x 2
• f ( − 1) =−4
lim f( x)
=−5⎫⎪
− ⎪
x→
−1
⎪
⎬ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−4⎪
x→
−1
⎪
+ x→
−1
⎭⎪
La funció no és contínua en x = −1, té una discontinuïtat de salt finit.
• f ( 2) = 11
lim f( x)
= 11⎫⎪
− ⎪
x→2
⎬
⎪ → lim f( x) = 11= f ( 2)
lim f( x)
= 11⎪
x→2
⎪
+ x→2
⎭⎪
La funció és contínua en x = 2.
103 Estudia la continuïtat de la funció següent en els punts x = 0 i x = 3.
⎧ ⎪
4
⎪ si x < 0
⎪ x − 4
g( x)=
⎪
⎨ x− 1 si 0< x ≤ 3
⎪
⎪
1
⎪ si x > 3
⎪⎩
x − 3
• No existeix g ( 0 ).
lim g( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→0
⎬
⎪ → lim g( x)=−1
lim g( x)
=−1⎪
x→0
⎪
+ x→0
⎭⎪
La funció no és contínua en x = 0, té una discontinuïtat evitable.
• g(
3) = 2
lim g( x)
= 2 ⎫⎪
−
⎪
x→3
⎬
⎪ → No existeix lim g( x).
lim g( x)
=+ ` ⎪
x→3
⎪
+ x→3
⎭⎪
La funció no és contínua en x = 3, té una discontinuïtat de salt infinit.
104 Estudia si la funció:
⎧ ⎪
x si x ≤−1
f( x)=
⎪ 2 ⎨1−
x si − 1< x ≤ 2
⎪
⎩⎪
− 3 si 2<
x
és contínua en els punts x = −1 i x = 2.
(Activitat de Selectivitat)

Solucionari
• f ( − 1) =−1
lim f( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→
−1
⎪
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
= 0 ⎪
x→−1
⎪
+ x→
−1
⎭⎪
La funció no és contínua en x = −1, té una discontinuïtat de salt finit.
• f ( 2) =−3
lim f( x)
=−3⎫⎪
− ⎪
x→2
⎬
⎪ → lim f( x) =− 3= f ( 2)
lim f( x)
=−3⎪
x→2
⎪
+ x→2
⎭⎪
La funció és contínua en x = 2.
105 Estudia la continuïtat de la funció:
⎧⎪
2
⎪ x − 9
f( x)=
⎪
⎨
⎪ x − 3
⎪
⎩⎪
6
si x ≠ 3
si x = 3
en el punt x = 3.
(Activitat de Selectivitat)
f ( 3) = 6
( x − 3)( x + 3)
lim f( x)
= lim = lim ( x + 3) = 6 = f(
3)
x→3 x→3 x − 3
x→3
La funció és contínua en x = 3.
106 Donada la funció:
⎧ x
f( x)=
⎪ 2 + 5
⎨
⎩
⎪ 2
⎪ x + k
si x ≤1
si x > 1
determina k perquè f ( x ) sigui contínua en x = 1.
(Activitat de Selectivitat)
La funció és contínua si: lim f( x) = f ( 1)
x→1
f ( 1) = 7
Existeix lim f( x) si lim f( x)
= lim
x→1 − x→1x→1 +
f( x).
lim f( x)
= 7 ⎫⎪
−
⎪
x→1
⎪
⎬ → 7 = 1+
k → k = 6
lim f( x) = 1+
k ⎪
+ x→1
⎭⎪
107 Quin valor ha de tenir a en la funció següent perquè sigui contínua
en el punt x = 4?
⎧ ( x )
h( x)
= ⎪ −
⎨ x a
⎩
⎪
x <
x ≥
−
cos 4
2 2
si 4
si
4
7
453

454
límits i continuïtat de funcions
La funció és contínua si: lim h( x) = h(
4 )
4−2a x→4
h(
4) = 2
Existeix lim h( x) si lim h( x)
= lim
h( x).
x→ 4 − x→
4
lim h( x)
= 1
− x→
4
lim h( x ) = 2
+ x→
4
4−2a x→4
+
⎫ ⎪
⎬
⎪ 4− 2a → 2 = 1→ 4− 2a = 0 → a = 2
⎪
⎭⎪
108 completa la funció perquè sigui contínua en x = 2.
⎧⎪
2
⎪ x −2x− 1 si x < 2
⎪
p( x)=
⎪
si x = 2
⎨
⎪
1
⎪
si x > 2
⎪⎩
x − 3
La funció és contínua si: lim p( x) = p(
2)
x→2
Existeix lim p( x) si lim p( x) = lim p( x)
.
x→2 − +
x→2 x→2
lim p( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→2
⎬
⎪ → lim p( x)=−1
lim p( x)
=−1⎪
x→2
⎪
+ x→2
⎭⎪
⎧⎪
2
⎪ x −2x − 1 si x < 2
⎪
Aleshores, la funció és contínua si: p( x)=
⎪−
1 si x = 2
⎨
⎪
1
⎪
si x > 2
⎩⎪
x − 3
109 Sigui la funció f : R → R donada per:
En quins punts la funció és contínua?
(Activitat de Selectivitat)
⎧ 2 x − x + x ≤
f( x)=
⎪ 4 3 si 3
⎨
⎩
⎪ 2x− 4 si x > 3
La funció està formada per dues funcions polinòmiques,
per tant, contínues en els intervals en els quals estan definides.
Estudiem què succeeix en el punt x = 3:
f ( 3) = 0
lim f( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
x→3
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
= 2 ⎪
x→3
⎪
+ x→3
⎭⎪
Així, doncs, la funció no és contínua en x = 3, té una discontinuïtat
de salt finit.

Solucionari
110 Estudia la continuïtat d’aquesta funció, i especifica els tipus de discontinuïtats
que presenti.
⎧⎪
2
⎪1+
x
⎪
f( x)=
⎪ 2
⎨
⎪ 8
⎪
⎩
⎪ 3 − x
si x −1
2 • f( x)= 1+
x és una funció polinòmica; per tant, f ( x ) és contínua
en (−`, −1).
• f ( − 1) = 2
lim f( x)
= 2 ⎫⎪
− ⎪
x→
−1
⎬
⎪
lim f( x)
= 2 ⎪
+ x→
−1
⎪⎭
→
x→
−1
lim f( x)
= 2
lim f( x) = f( − 1) → f( x) és contínua en x = 2.
x→
−1
8
• f( x)=
està definida en R − {3}, per tant, f ( x ) és contínua
3 − x
en (−1, 3) ∪ (3, +`).
• No existeix f ( 3).
lim f( x)
=+ ` ⎫⎪
−
⎪
x→3
⎬
⎪ → No existeix lim f( x).
lim f( x)
=−`
⎪
x→3
⎪
+ x→3
⎭⎪
Així, doncs, la funció no és contínua en x = 3, té una discontinuïtat
de salt infinit.
111 Estudia la continuïtat de la funció:
⎧ ⎪
3 ln ( x + 2) si x −1
• g( x) = 3ln( x + 2 ) està definida en (−2, +`), per tant, g ( x ) és contínua
en (−2, −1).
• g(
− 1) = 2
lim g( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
x→
−1
⎬
⎪ → lim g( x)
= 0
lim g( x ) = 0 ⎪ x→
−1
⎪
+ x→
−1
⎪⎭
lim
x→
−1
g( x) ≠ g( −1)
→ g( x ) no és contínua en x = −1, té una discontinuïtat
evitable.
• g( x)= x − 2 1 és una funció polinòmica; per tant, g ( x ) és contínua
en (−1, +`).
7
455

456
límits i continuïtat de funcions
112 Estudia la continuïtat d’aquesta funció:
⎧ ⎪
4
⎪
si x 1
⎩⎪
x + 7
4
• h( x)=
està definida en R − {−3}, per tant, h ( x ) és contínua
x + 3
en (−`, −3) ∪ (−3, −2).
No existeix h(
−3).
lim h( x)
=−`
⎫ ⎪
⎬
⎪
lim h( x)
=+ ` ⎪
−
⎪
⎭⎪
→ No existeix lim h( x).
x→
3
− x→
−3
+ x→
−3
Així, doncs, la funció no és contínua en x = −3, té una discontinuïtat
de salt infinit.
• Estudiem què succeeix en el punt x = −2:
h(
− 2) = 4
lim h( x)
= 4 ⎫ ⎪
⎬
⎪
lim h( x)
= 4 ⎪
⎭⎪
− x→
−2
+ x→
−2
lim
x→
−2
→ lim
x→
−2
h( x)
= 4
h( x) = h( − 2) → h( x) és contínua en x =−2.
2
• h( x)= x + 2x + 4 és una funció polinòmica; per tant h ( x ) és contínua
en (−2, 1).
3
• h( x)=
està definida en R − {−7} , per tant, h ( x ) és contínua en (1, +`).
x + 7
• Estudiem què passa en el punt x = 1:
No existeix h ( 1 ).
lim h( x)
= 7 ⎫⎪
− ⎪
x→1
3 ⎬
⎪ → No existeix lim h( x).
lim h x =
⎪
x→1
( ) ⎪
+ x→1
8
⎪
⎭⎪
Així, doncs, la funció no és contínua en x = 1, té una discontinuïtat
de salt finit.
113 Estudia la continuïtat de la funció:
(Activitat de Selectivitat)
⎧ ⎪
1
x
f( x)= ⎪
si ≤ 1
⎨ 2 − x
⎪ 2
⎩⎪
− x + 4 x− 2 si x > 1

Solucionari
1
• f( x)=
està definida en R − {2}, per tant, f ( x ) és contínua en (−`, 1).
2 − x
2
• f( x)=− x + 4 x −2
és una funció polinòmica; per tant, f ( x ) és contínua
en (1, +`).
• Estudiem què passa en el punt x = 1:
f ( 1) = 1
lim f( x)
= 1⎫⎪
− ⎪
x→1
⎬
⎪
lim f( x)
= 1 ⎪
+ x→1
⎭⎪
→ lim
x→1
f( x)=
1
lim f( x) = f( 1) → f( x) és contínua en x = 1.
x→1
114 considera la funció real de variable real definida per:
⎧ 3
x
f( x)
= ⎪ −2 ⎨
⎩
⎪ x( x− 2) si x ≥ 2
. Estudia’n la continuïtat.
si x < 2
(Activitat de Selectivitat)
3
• f( x)= x −2està
definida en R, per tant, f ( x ) és contínua en (2, +`).
7
• f( x) = x( x −2 ) és una funció polinòmica; per tant, f ( x ) és contínua en (−`, 2).
• Estudiem què succeeix en el punt x = 2:
f ( 2) = 0
lim f( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
→2
⎬
⎪
lim f( x)
= 0 ⎪
+ →2
⎭⎪
x
x
→ lim
x→2
f( x)=
0
lim f( x) = f( 2) → f( x) és contínua en x = 2.
x→2
115 Expressa aquestes funcions com a funcions definides a trossos i estudia’n la continuïtat.
a) y = x
c) y = 3−2 x
e) y = 6 − x
2 6
b) y = x + 5 d) y = x − x −
⎧ x x ≥
a) f( x)=
⎨
⎪ si 0
⎩⎪ − x si x < 0
• f ( 0) = 0
lim f( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
→0
⎬
⎪
lim f( x)
= 0 ⎪
+ →0
⎪⎭
⎪
x
x
→
x→0
lim f( x)
= 0
lim f( x) = f( 0) → f( x) és contínua en x = 0.
x→0
• La funció està formada per funcions polinòmiques; per tant,
f ( x ) és contínua en R.
2
457

458
límits i continuïtat de funcions
⎧ x + x ≥−
b) f( x)=
⎨
⎪ 5 si 5
⎩⎪ −x − 5 si x
⎩⎪
2
⎛ 3 ⎞
• f ⎜ 0
⎝⎜
2 ⎠⎟
f x 0
3
x
2
f x
3
x
2
=
lim ( ) = ⎫⎪
− ⎪
→ ⎪
⎬
⎪ → lim f( x)
= 0
lim ( )= 0 ⎪ 3 ⎪ x→
+ ⎪
→
⎪ 2
⎪
⎭⎪
3
lim f( x) = f → f( x )
3
2
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
x→
2
és contínua en x = 3
2 .
• La funció està formada per funcions polinòmiques; per tant,
f ( x ) és contínua en R.
⎧
2 x =−2
d) x − x − 6 = 0 → ⎨
⎪
⎩
⎪ x = 3
⎧⎪
2
⎪ x − x −6 si x ≤−2
⎪
f( x)=
⎪ 2
⎨−
x + x + 6 si − 2< x ≤ 3
⎪ 2 ⎪ x − x −6
si x >
⎩⎪
3
• f ( − 2) = 0
lim f( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
x→
−2
⎬
⎪
lim f( x)
= 0 ⎪
+ x→
−2
⎭⎪
lim
x→
−2
→ lim
x→
−2
f( x)
= 0
f( x) = f( − 2) → f( x) és contínua en x =−2.

• f ( 3) = 0
lim f( x)
= 0 ⎫⎪
− ⎪
→3
⎬
⎪
lim f( x)
= 0 ⎪
+ →3 ⎪⎭
⎪
x
x
→
x→3
lim f( x)
= 0
lim f( x) = f( 3) → f( x) és contínua en x = 3.
x→3
• La funció està formada per funcions polinòmiques; per tant,
f ( x ) és contínua en R.
2
e) 6− x = 0 → x =± 6
⎧ ⎪ x − x ≤−
f( x)=
⎨ − x − < x ≤
x − x >
2 6 si 6
⎪ 2 6 si 6 6
⎪ 2 ⎪ 6 si 6
⎩⎪
• f ( − 6 )= 0
lim
−
x→(
− 6 )
lim
+
x→(
− 6 )
lim
x→−
6
• f ( 6 )= 0
lim
−
x→(
6 )
lim
+
x→(
6 )
lim
x→
6
f( x)
= 0 ⎫ ⎪
⎬
⎪
f( x)
= 0 ⎪
⎭⎪
→ lim
x→−
6
f( x)
= 0
f( x) = f( − 6 ) → f( x) és contínua en x =− 6 .
f( x)
= 0 ⎫ ⎪
⎬
⎪
f( x)
= 0 ⎪
⎭⎪
→
x→
6
lim f( x)
= 0
f( x) = f( 6 ) → f( x) és contínua en x = 6 .
• La funció està formada per funcions polinòmiques; per tant,
f ( x ) és contínua en R.
1
116 considera la funció f( x) = sin 4x
− . Estudia’n la continuïtat
en l’interval (0, π).
2
(Activitat de Selectivitat)
Solucionari
⎧⎪
π π
⎪
1
1
⎪ 4 x = → x =
6 24
sin 4 x − = 0 → sin 4x
= → ⎨
⎪
2
2 ⎪ 5π
5π
⎪ 4 x = → x =
⎩⎪
6 24
en linterval ‘ ( 0,
π)
⎧ ⎪ 1
⎪ − sin 4 x
⎪ 2
⎪
1
f( x)=
⎨
⎪ sin 4 x −
⎪ 2
⎪ 1
⎪ − sin 4x
⎩
⎪ 2
π
si 0<
x <
6
π 5π
si ≤ x ≤
6 6
si
5
< x <
6
π
π
7
459

460
límits i continuïtat de funcions
⎛ π ⎞
• f ⎜ 0
⎝⎜
6 ⎠⎟
f x 0
π
x
6
f x
π
x
6
=
lim ( ) = ⎫⎪
− ⎪
→
⎪
⎬
⎪ → lim f( x)
= 0
lim ( )= 0 ⎪ π ⎪ x→
+ ⎪
→
⎪ 6
⎪
⎭⎪
π
lim f( x) = f → f( x )
π
6
⎛ ⎞
⎜
⎝⎜
⎠⎟
x→
6
⎛ 5π
⎞
• f ⎜ 0
⎝⎜
6 ⎠⎟
f x 0
5π
x
6
f
5π
x
6
=
lim ( ) = ⎫⎪
− ⎪
→
⎪
⎬ →
lim ( x ) = 0 ⎪
+ ⎪
→
⎪
⎭⎪
lim
5π
x→
6
és contínua en x = π
6 .
lim f( x)
= 0
π
x→
5
6
5π
f( x) = f → f( x )
6
⎛ ⎞
⎜
és contínua en x =
⎝⎜
⎠⎟
5π
.
6
La funció és contínua en (0, π).
⎧ ⎪
6 − x
x <
117 Troba el valor de k per al qual la funció f( x)=
⎪
si 2
⎨ 2
és contínua.
⎪ 2
⎩⎪
x + kx si x ≥ 2
(Activitat de Selectivitat)
• La funció està formada per funcions polinòmiques; per tant, és contínua
en els intervals en els quals estan definides. Estudiem el punt en què canvia
l’expressió algebraica.
• La funció és contínua en x = 2 si: lim f( x) = f ( 2)
f( 2) = 4+ 2k
x→2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→2 − +
x→2 x→2
lim f( x)
= 2 ⎫⎪
− x→2
⎪
⎬ → 2= 4+
2k → 2k =− 2 → k =−1
lim f( x) = 4+ 2k
⎪
+ x→2
⎭⎪
118 Sabem que la funció f :( − 1, + `) → R definida per:
⎧⎪
2
⎪ x − 4 x + 3 si −< 1 x < 0
f( x)=
⎪
⎨ 2
⎪
x + a
⎪
si x ≥ 0
⎩⎪
x + 1
és contínua en (−1, +`). Troba el valor de a.
(Activitat de Selectivitat)

Solucionari
Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan
definides, f ( x ) és contínua en (−1, +`) si és contínua en x = 0,
és a dir, si lim f( x) = f ( 0 ) .
f( 0 ) = a
x→0
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→0 − +
x→0 x→0
lim f( x)
= 3 ⎫⎪
− →0
⎪
⎬
⎪ → a = 3
lim f( x) = a ⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
119 Donada la funció:
⎧
x
f( x)=
⎪ 5+ 2 sin
⎨
⎩
⎪ 2
⎪−
x + ax + b
six
≤ 0
si x > 0
Per a quins valors dels paràmetres a i b la funció f ( x ) és contínua?
(Activitat de Selectivitat)
Per a qualsevol valor dels paràmetres a i b, les funcions són contínues en els
intervals en els quals estan definides.
Estudiem què succeeix en el punt x = 0:
f ( 0) = 5
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→0 − +
x→0 x→0
lim f( x)
= 5 ⎫⎪
− →0
⎪
⎬
⎪ → b = 5
lim f( x) = b ⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
Així, doncs f ( x ) és contínua si b = 5, independentment del valor de a.
⎧ ⎪
2x + 1 si x ≤−2
120 Donada la funció f( x)=
⎪ 2
⎨ ax + bx si − 2< x ≤ 4,
determina a i b
⎪ x− 4 si 4<
x
⎩⎪
de manera que sigui contínua.
(Activitat de Selectivitat)
7
• Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides,
f ( x ) és contínua si ho és en x = −2 i en x = 4.
• La funció és contínua en x = − 2 si: lim f( x) = f ( −2).
f ( − 2) =−3
x→−2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f ( x ).
− x→
−2
+ x→
−2
x→ −2 − +
x→−2 x→−2
lim f( x)
=−3
⎫ ⎪
⎬ →
lim f( x) = 4a−2b ⎪
⎭⎪
4a− 2b =−3
461

462
límits i continuïtat de funcions
• La funció és contínua en x = 4 si: lim f( x) = f ( 4 )
f( 4) = 16a+ 4b
x→4
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→ 4 − +
x→4 x→4
lim f( x) = 16 a+ 4 b⎫⎪
− x→
4
⎪
⎬ → 16 a+ 4b = 0
lim f( x)
= 0 ⎪
+ x→
4
⎭⎪
⎧ 1
4a− 2b =−3⎫
⎪
a
Així doncs ⎬
⎪
⎪ =−
→
⎪
⎨ 4
16 a+ 4b = 0 ⎭⎪ ⎪
⎩⎪
b = 1
121 calcula els valors dels paràmetres a i b perquè la funció següent sigui contínua
en tots els punts.
⎧ ⎪
ax − b
f( x)=
⎪ 2
⎨ ax − bx + 3
⎪ 3
⎩⎪
− bx + a
si x 2
(Activitat de Selectivitat)
Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides,
f ( x ) és contínua si ho és en x = −1 i en x = 2.
• La funció és contínua en x = −1 si: lim f( x) = f ( −1)
f( − 1) = a+ b + 3
x→−1
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f ( x ).
− x→
−1
+ x→
−1
x→ −1 − +
x→−1 x→−1
lim f( x) =−a−b ⎫ ⎪
⎬ →−a− b = a+ b+ 3→ 2a+ 2b =−3
lim f( x) = a+ b+
3 ⎪
⎪
⎭
• La funció és contínua en x = 2 si: lim f( x) = f ( 2)
f( 2) = 4a− 2b+ 3
x→2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→2 − +
x→2 x→2
lim f( x) = 4a− 2b+ 3⎫⎪
− x→2
⎪
⎬ → 4a− 2b+ 3=− 8b+ a → 3a+ 6b =−3
lim f( x) =− 8b+
a ⎪ + x→2
⎭⎪
⎧ a 2
2a+ 2b =−3⎫
⎪
Així doncs: ⎬
⎪
⎪
=−
→
⎪
⎨ 1
3a+ 6b =−3⎭⎪
⎪ b =
⎩⎪
2
122 Sigui f : R → R la funció contínua definida per:
⎧ x x a
f( x)=
⎪ 2 − si <
⎨
⎪ 2
⎩⎪
x − 5x + 7 si x ≥ a
en què a és un nombre real. Determina a.
(Activitat de Selectivitat)

Solucionari
⎧ − x x < a
• Si a ≤ 2, aleshores la funció és de la forma: f( x)=
⎨
⎪ 2
si
⎩
⎪ 2
⎪ x − 5x + 7 si x ≥ a
Com que són funcions contínues en els intervals en els quals estan definides,
f ( x ) és contínua si ho és en x = a, és a dir, si: lim f( x) = f( a)
2 f( a)= a − 5a+ 7
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→a − +
x→a x→a x→a lim f( x) = 2 − a ⎫⎪
− x→a ⎪
⎬
⎪
2 2
→ 2− a = a − 5a+ 7 → a − 4a+ 5= 0
2
lim f( x) = a − 5a+ 7 ⎪
+ x→a ⎭⎪
→ No té solució.
⎧
⎪
2− x si x ≤ 2
• Si a > 2, l’expressió de la funció és: f( x)=
⎪
⎨−
2+ x si 2<
x < a
⎪ 2
⎩⎪
x − 5x + 7 si x ≥ a
Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides,
f ( x ) és contínua si ho és en x = 2 i en x = a.
La funció és contínua en x = 2 perquè lim f( x) = f ( 2) = 0.
Estudiem la funció en x = a:
2 f( a)= a − 5a+ 7
x→2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→a − +
x→a x→a 7
lim f( x) =− 2 + a ⎫⎪
− x→a ⎪
⎬
⎪
2 2
→− 2+ a = a − 5a+ 7 → a − 6a+ 9 = 0 → a = 3
2
lim f( x) = a − 5a+ 7⎪
⎪
+ x→a ⎪⎭
123 Per a qualsevol valor real de a, considera la funció:
⎧⎪
2
⎪ x + 2x si − ` < x ≤ 0
f( x)
= ⎪
⎨ sin ax si 0 < x < π
⎪
2
⎩⎪
( x− π) + 1 si π ≤ x

464
límits i continuïtat de funcions
• La funció és contínua en x = π si: lim f( x) = f ( π )
f ( π ) =1
x→π
lim f( x) = sin aπ⎫⎪
− →π
⎪
π
1
⎬ → sin aπ= 1→
aπ = + 2kπ→
a = + 2k,
amb k ∈ Z
lim f( x)
= 1 ⎪
2
2
+ →π
⎭⎪
x
x
124 considera la funció f :( −` , 10 ) → R definida per:
⎧ x a x
f( x)=
⎪ − 6 si < 2
⎨
⎪
⎩⎪
x−5 si 2 ≤ x < 10
Determina el valor de a > 0 si saps que f és contínua.
(Activitat de Selectivitat)
Com que f ( x ) està formada per funcions contínues en els intervals
en els quals estan definides, és contínua en (−`, 10) si ho és en x = 2,
és a dir, si: lim f( x) = f ( 2)
f ( 2) = 3
x→2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→2 − +
x→2 x→2
2
lim f( x) = a −6⎫⎪
−
⎪
x→2
2
⎬
⎪
2
→ a − 6 = 3→ a = 9 → a = ± 3
lim f( x)
= 3 ⎪
+ x→2
⎭⎪
Com que a > 0, la funció és contínua si a = 3.
3 2 3
125 Demostra que la funció f( x)=
x − x −
2x+ 1
s’anul·la en l’interval [1, 3].
Esmenta els resultats teòrics en què et bases per fer les teves afirmacions.
f ( x ) és contínua en R − −
⎧
⎨
⎪ 1 ⎫
⎬
⎪;
per tant, és contínua en [1, 3].
⎩⎪ 2 ⎭⎪
f ( 1) =− 1< 0
15
f ( 3)
= > 0
7
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (1, 3), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (1, 3).
126 Sigui f( x) = 2 − x + ln x amb x ∈ (0, +`). Prova que existeix un punt c ∈
e
⎡ 1 ⎤
⎢ 1⎥
⎣
⎢ 2
⎦
⎥
,
tal que f ( c ) = 0.
(Activitat de Selectivitat)
f ( x ) és contínua en (0, +`); per tant, és contínua en 1 ⎡ ⎤
⎢ , 1⎥
2
⎣
⎢ e ⎦
⎥ .
⎛ 1 ⎞ 1
f ⎜ =− < 0
⎝⎜
2 2
e ⎠⎟
e
f ( 1) = 1> 0

Solucionari
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈
e
⎛
⎜ 1 ⎞
⎜ , 1 , tal que f ( c ) = 0,
⎝⎜
2 ⎠⎟
⎛ 1 ⎞
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval ⎜ , 1
⎝⎜
⎠⎟
.
2 e
7
127 Demostra que existeix almenys un nombre real x per al qual es verifica sin x = x − 2.
(Activitat de Selectivitat)
Considerem la funció f ( x ) = sin x − x + 2.
f ( x ) és contínua en R; per tant, és contínua en [2, 3].
f ( 2 ) = sin 2 = 0,909 > 0
f ( 3 ) = sin 3 − 1 = − 0,858 < 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (2, 3), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (2, 3); per tant, l’equació
té almenys una solució en aquest interval.
128 Determina si el polinomi x 4 − 4x 2 − 1 té alguna arrel real negativa.
(Activitat de Selectivitat)
4 2
Considerem la funció f( x)= x −4 x − 1.
f ( x ) és contínua en R; per tant, és contínua en [−3, −2].
f ( −3 ) = 44 > 0
f ( −2 ) = −1 < 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (−3, −2), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (−3, −2);
així, doncs, el polinomi té alguna arrel real negativa.
129 considera l’equació x 3 + x 2 + mx − 6 = 0. utilizant el teorema de Bolzano, demostra:
a) Si m > −3 aleshores l’equació té almenys una arrel real més petita que 2.
b) Si m < −3 aleshores l’equació té almenys una arrel real més gran que 2.
(Activitat de Selectivitat)
3 2
a) Considerem la funció f( x)= x + x + mx −6.
f ( x ) és contínua en R; per tant, f ( x ) és contínua en [0, 2].
f ( 0 ) = −6 < 0
f( 2) = 2m+ 6> 0 → 2m>− 6 → m>−3
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 2), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 2);
per tant, l’equació té almenys una arrel real més petita que 2.
3 2
b) Considerem la funció f( x)= x + x + mx −6
contínua en R.
f( 2) = 2m+ 6< 0 → 2m 0.
Aleshores, si apliquem el teorema de Bolzano, tenim que existeix c ∈ (2, b),
tal que f ( c ) = 0, és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (2, b)
amb b > 2; per tant, l’equació té almenys una arrel real més gran que 2.
465

466
límits i continuïtat de funcions
130 Prova que l’equació x = cos x té solució positiva.
(Activitat de Selectivitat)
Considerem la funció f ( x ) = x − cos x.
f ( x ) és contínua en R; per tant, f ( x ) és contínua en [0, 1].
f ( 0 ) = −1 < 0
f ( 1 ) = 1 − cos 1 = 0,459 > 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 1), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 1); per tant,
l’equació té almenys una solució positiva.
131 Pot assegurar-se, mitjançant el teorema de Bolzano, que la funció f ( x ) = tg x
⎡ π 3π
⎤
té una arrel en l’interval ⎢ , ⎥?
raona la resposta.
⎣
⎢ 4 4 ⎦
⎥
(Activitat de Selectivitat)
Considerem la funció f( x) = tg x .
f ( x ) no està definida en x = π
⎡ π 3π
⎤
; per tant, la funció no és contínua en ⎢ , ⎥
2 ⎣
⎢ 4 4 ⎦
⎥
i no podem aplicar el teorema de Bolzano; així, doncs, no podem assegurar que la
funció tingui una arrel en aquest interval.
132 calcula, amb un error més petit que un dècim, una arrel positiva
del polinomi x 3 + x − 1.
(Activitat de Selectivitat)
3 Considerem la funció f( x)= x + x − 1 contínua en R.
f ( 0 ) = − 1 < 0
f ( 1 ) = 1 > 0
Com que f ( x ) és contínua en [0, 1] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 1), tal que f ( c ) = 0.
f ( 0,5 ) = −0,375 < 0
Com que f ( x ) és contínua en [0,5; 1] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0,5; 1), tal que f ( c ) = 0.
f ( 0,9 ) = 0,629 > 0
Com que f ( x ) és contínua en [0,5; 0,9] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0,5; 0,9), tal que f ( c ) = 0,184.
f ( 0,6 ) = −0,184 < 0
Com que f ( x ) és contínua en [0,6; 0,9] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0,6; 0,9), tal que f ( c ) = 0.
f ( 0,7 ) = 0,043 > 0
Com que f ( x ) és contínua en [0,6; 0,7] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0,6; 0,7), tal que f ( c ) = 0.

Solucionari
2 x
133 Demostra que existeix un punt x = c en el qual la funció f( x)= x + x ⋅ 2 pren
el valor 2. Troba’l i aproxima’n l’expressió fins als centèsims.
Si f( c) = 2 → f( c)
− 2= 0
2 x
Considerem la funció g( x)= x + x ⋅2 −2.
g ( x ) és contínua en R; per tant, g ( x ) és contínua en [0, 1].
g ( 0 ) = −2 < 0
g ( 1 ) = 1 > 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 1), tal que g( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 1);
per tant, f ( c ) − 2 = 0 → f ( c ) = 2.
g ( 0,5 ) = −1,043 < 0 g ( 0,7 ) = −0,372 < 0
g ( 0,9 ) = 0,489 > 0 g ( 0,75 ) = −0,176 < 0
g ( 0,6 ) = −0,73 < 0 g ( 0,79 ) = −0,009 < 0
g ( 0,8 ) = 0,032 > 0
Com que g ( x ) és contínua en [0,79; 0,8] podem aplicar el teorema
de Bolzano → Existeix c ∈ (0,79; 0,8), tal que g ( c ) = 0; per tant, f ( x ) pren
el valor 2 en algun punt de l’interval (0,79; 0,8).
134 Donades les funcions f( x)= x sin x i g ( x ) = ln x, justifica que existeix un punt
de l’interval [2, 3] on totes dues funcions prenen el mateix valor.
Considerem la funció h ( x ) = x sin x − ln x.
f ( x ) és contínua en R i g ( x ) ho és en (0, +`); per tant, h ( x ) és contínua
en [2, 3].
h ( 2 ) = 1,125 > 0
h ( 3 ) = −0,675 < 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (2, 3), tal que h ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (2, 3);
per tant, h ( c ) = f ( c ) − g ( c ) = 0 → f ( c ) = g ( c ).
135 Demostra que les gràfiques de les funcions f ( x ) = e x i g( x)=
x
1 es tallen
en un punt x > 0.
(Activitat de Selectivitat)
x
Considerem la funció h( x)= e −
x
1 .
f ( x ) és contínua en R i g ( x ) és contínua en R − {0}; per tant, h ( x ) és contínua
en R − {0}.
h ( 0,5 ) = −0,351 < 0
h ( 1 ) = 1,718 > 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0,5; 1), tal que h ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0,5; 1);
per tant, h ( c ) = f ( c ) − g( c ) = 0 → f ( c ) = g ( c ), és a dir, les funcions es tallen
en un punt d’aquest interval.
7
467

468
límits i continuïtat de funcions
⎛ ⎞
136 Donada la funció f( x)= x sin ⎜ x ⎟
⎝⎜
⎟
⎠⎟
π
, demostra que existeix α ∈ (0, 4)
4
tal que f (α ) = f (α + 1). Esmenta els resultats teòrics que fas servir.
(Activitat de Selectivitat)
⎛
Considerem la funció g( x) = x ⎜ π ⎞
⎛
⎜ x − ( x + ) ⎜ π ⎞
sin 1 sin ( x + )
⎝⎜
⎠⎟
⎜ 1
4
⎝⎜
4 ⎠⎟
.
f ( x ) és contínua en R; per tant, g ( x ) és contínua en [0, 4].
g( 0 )
2
5 2
=− < 0
g( 4 ) = > 0
2
2
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix α ∈ (0, 4), tal que g ( α ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 4);
per tant: g( α) = f( α) − f( α + 1) = 0 → f( α) = f ( α + 1)
PREPARA LA SELECTIVITAT
(Activitat de Selectivitat)
1 calcula:
a) lim
n → + `
⎛
⎜ 2 + n ⎞
⎜
⎟
⎝⎜
⎟
1+
n ⎠⎟
a) lim
n→
+ `
lim
n→
+ `
b) lim
n→
+ `
lim
n→
+ `
1−5n ⎛
⎜ 2 + n ⎞
⎜
⎝⎜
1+
n ⎠⎟
⎛ 2 + n ⎞
⎜
⎝⎜
1+
n ⎠⎟
=
=
=
1−5n 1−5n → 1
= e
`
b) lim
n → + `
2+
1
1+
−
⎡ ⎛ n ⎞ ⎤
lim ⎢ ⋅( 1−5n) ⎥
n→
+ ` ⎝⎜
n ⎠⎟
⎥
⎣⎢
⎦⎥
1−5n lim
n→
+ ` 1+ n −5
1
= e = e =
5 e
4 3 4
n + 2n −3 − n − n
→ ` − `
n + 5
4 3 4
n + 2n −3 − n − n
=
n + 5
lim
n→
+ `
lim
n→
+ `
n→
+ `
4 3 4
n + 2n −3 − n − n
=
n + 5
( 2+ n−1−n)( +
e n
1−5n) lim
→ ` 1+
n
( 4 3 4 + − − − ) 4 3 4
n 2n 3 n n n + 2n − 3 + n − n
( )
( 4 3 4 )
( n + 5)
n + 2n − 3 + n − n
4 3 4
n + 2n −3− n + n
( ) =
4 3 4
( n+ 5) n + 2n − 3 + n − n
3
lim
2n + n−3
( n+ 5) n + 2n − 3 + n − n
( ) =
4 3 4
1
=
=

2 calcula:
a) lim
n → + `
( 2 n − 5n+ 4 − n )
a) lim
n→
+ `
( 2 n − 5n+ 4 − n ) → ` − `
2 lim ( n − 5n+ 4 + n )= lim
n→+ ` n→+
`
=
⎛ n − ⎞
b) lim
⎜
lim
n→
n ⎝⎜
⎠⎟
n→
=
2 8 ⎛
⎜ 2
⎜
2
⎝⎜
2
b) lim
2 2
n → + `
n
2 − 8
n+
2 1
Solucionari
2 2
( n − 5n+ 4 + n) n − 5n + 4 + n
lim
n − 5n+ 4−n
= lim
→+ n − 5n+ 4 + n →+
2
( )
n − 5n+ 4 + n
n ` 2 n ` 2
+ ` + 1 + ` n+
1
n
3
2
−
2
⎞ ⎛ 1 2
= lim
⎜ −
⎠⎟
⎝⎜
2 2
n+ 1 n→ + `
n
3 Determina el valor de a per al qual:
lim ( 2x− 2 4 x + ax + 1 )= 1
lim
x→
+ `
lim
x→
+ `
x → + `
2
( 2x − 4 x + ax + 12
lim ( 2x − 4 x )= + ax + 1 )=
=
x→
+ `
7
=
− 5n+ 4
5
=−
n − 5n+ 4 + n 2
2
⎞ 1
=
⎠⎟
2
2 ( 2x − 4 x + ax + 12 2
) ( 2x
+ 4 x + ax + 12
( 2x − 4 x + ax + 1) 2x
+ 4 x ) + ax + 1
= lim
=
x→
+ `
2
2x + 4 x x+ + ax + x12 2 4 + ax + 1
a
=− = 1→a=−4 4
4 Determina el valor de a per al qual:
lim
x→
+ `
x→
+ `
⎛
⎜ x + 3 ⎞
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
ax
ax
( )
= lim
2 2 4 x −4 x − ax − 1
= lim
−ax −1
=
x→+ ` 2x + 2 4 x + ax + 1 x→+
` 2x + 2 4 x + ax + 1
→ 1
lim
x → + `
`
ax
⎛ x + ⎞
⎜
⎟ e
⎝⎜
⎟
x ⎠⎟
=
3
⎛ + ⎞
−
+ ⎝⎜
⎠⎟
⋅
⎡
⎢
x
ax
⎣ x
e x
3 ⎤
lim
1 ⎥
→ ` ⎢
⎥
⎦
( x+− 3 x ) ⋅ ax
3 ax
lim lim
x→+ ` x
x→+
` x
⎛ x +
lim ⎜ 3 ⎞
⎜
⎝⎜
x ⎠⎟
=
= e = e =
3 a 1
= e = e → 3a = 1→
a =
3
=
469

470
límits i continuïtat de funcions
5 Estudia si la funció:
és contínua en els punts = −1 i x = 2.
⎧ ⎪
x si x ≤−1
f( x)=
⎪ 2
⎨1−
x si − 1< x ≤ 2
⎪
⎪−
3 si 2<
x
⎩⎪
• f ( − 1) =−1
lim f( x)
=−1⎫⎪
− ⎪
x→
−1
⎪
⎬ → No existeix lim f ( x) → f ( x) noéscontínua en x =−1.
lim f( x)
= 0 ⎪
x→
−1
+ ⎪
x→
−1
⎭⎪
La funció té una discontinuïtat de salt finit en el punt x = −1.
• f ( 2) =−3
lim f( x)
=−3⎫⎪
− ⎪
x→2
⎪
⎬ → lim f( x) =− 3= f( 2) → f( x) és contínua en x = 2.
lim f( x)
=−3⎪
x→2
+ ⎪
x→2
⎭⎪
6 Determina els valors de a i b perquè la funció següent sigui contínua
en tots els punts.
⎧⎪
2
⎪ ax + b si x < 0
⎪
f( x)=
⎪ x−a si 0≤ x < 1
⎨
⎪
a
⎪
+ b si 1≤
x
⎪⎩
x
f ( x ) està formada per dues funcions polinòmiques i, per tant, contínues,
i una funció racional que no està definida en x = 0, però que és contínua
en l’interval (1, +`). Així, doncs, la funció és contínua en tots els punts
si ho és en els punts en els quals canvia l’expressió algebraica.
• La funció és contínua en x = 0 si: lim f( x) = f ( 0 )
x→0
f( 0 ) =− a iexisteix lim f( x) silim
f( x) = lim f( x).
lim f( x) = b ⎫⎪
− x→0
⎪
⎬
⎪ → b =−a
lim f( x) =−a
⎪
+ x→0
⎭⎪
x→0 − +
x→0 x→0
• La funció és contínua en x = 1 si: lim f( x) = f ( 1)
x→1
f( 1 ) = a+ b iexisteix lim f( x) silim
f( x) = lim f( x).
x→1 − +
x→1 x→1
lim f( x) = 1−
a ⎫⎪
−
⎪
x→1
⎬
⎪ → 1−
a = a+ b
lim f( x) = a+ b ⎪
+ x→1
⎭⎪
b =−a⎫
a
Aleshores:
⎬
⎪
⎧ =
⎨
⎪ 1
→
2a+ b = 1 ⎭⎪ ⎩⎪ b =−1

7 Busca algun criteri que et permiti afirmar que l’equació:
3 2 x + x − 7x+ 1= 0
té almenys una solució en l’interval (0, 1). Què et diu aquest criteri
per a l’interval (−1, 0)? raona la resposta.
3 2
Considerem la funció f( x)= x + x − 7x+ 1.
f ( x ) és contínua en R; per tant, f ( x ) és contínua en [0, 1].
f ( 0 ) = 1 > 0
f ( 1 ) = −4 < 0
Solucionari
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (0, 1), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (0, 1);
així, doncs, l’equació té alguna solució en aquest interval.
f (−1) = 8 > 0 → No podem aplicar el teorema de Bolzano en (−1, 0)
perquè f ( 0 ) i f (−1) no tenen signes diferents.
8 3 Demostra que l’equació x + x−
5= 0 té almenys una solució en l’interval.
3
Considerem la funció f( x)= x + x − 5.
f ( x ) és contínua en R; per tant, f ( x ) és contínua en [1, 2].
f ( 1 ) = − 3 < 0
f ( 2 ) = 5 > 0
Apliquem el teorema de Bolzano → Existeix c ∈ (1, 2), tal que f ( c ) = 0,
és a dir, la funció s’anul·la en algun punt de l’interval (1, 2);
així, doncs, l’equació té almenys una solució en aquest interval.
9 Determina el valor de a perquè la funció següent sigui contínua:
⎧ a x x a
f( x)=
⎪ − si <
⎨
⎩
⎪ 2
⎪ x − 5x + 4 si x ≥ a
Calculem els límits laterals en el punt x = a:
lim f( x) = lim a− x = 0
− −
x→a x→a 2 2
lim f( x) = lim ( x − 5x + 4) = a − 5a+ 4
+ +
x→a x→a I, com que han de ser iguals, tenim que:
a 2 − 5a + 4 = 0 → a = 1 i a = 4
7
471