límits i continuïtat de funcions - matessantboianes

Solucionari
Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan
definides, f ( x ) és contínua en (−1, +`) si és contínua en x = 0,
és a dir, si lim f( x) = f ( 0 ) .
f( 0 ) = a
x→0
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→0 − +
x→0 x→0
lim f( x)
= 3 ⎫⎪
− →0
⎪
⎬
⎪ → a = 3
lim f( x) = a ⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
119 Donada la funció:
⎧
x
f( x)=
⎪ 5+ 2 sin
⎨
⎩
⎪ 2
⎪−
x + ax + b
six
≤ 0
si x > 0
Per a quins valors dels paràmetres a i b la funció f ( x ) és contínua?
(Activitat de Selectivitat)
Per a qualsevol valor dels paràmetres a i b, les funcions són contínues en els
intervals en els quals estan definides.
Estudiem què succeeix en el punt x = 0:
f ( 0) = 5
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f( x)
.
x→0 − +
x→0 x→0
lim f( x)
= 5 ⎫⎪
− →0
⎪
⎬
⎪ → b = 5
lim f( x) = b ⎪
+ →0
⎭⎪
x
x
Així, doncs f ( x ) és contínua si b = 5, independentment del valor de a.
⎧ ⎪
2x + 1 si x ≤−2
120 Donada la funció f( x)=
⎪ 2
⎨ ax + bx si − 2< x ≤ 4,
determina a i b
⎪ x− 4 si 4<
x
⎩⎪
de manera que sigui contínua.
(Activitat de Selectivitat)
7
• Com que les funcions són contínues en els intervals en els quals estan definides,
f ( x ) és contínua si ho és en x = −2 i en x = 4.
• La funció és contínua en x = − 2 si: lim f( x) = f ( −2).
f ( − 2) =−3
x→−2
Existeix lim f( x) si lim f( x) = lim f ( x ).
− x→
−2
+ x→
−2
x→ −2 − +
x→−2 x→−2
lim f( x)
=−3
⎫ ⎪
⎬ →
lim f( x) = 4a−2b ⎪
⎭⎪
4a− 2b =−3
461